4.1 指数（原卷版）-高中数学教学资料

.1指数知识点一由根式的意义求范围【【解题思路】对于eq\r(n,a)，当n为偶数时，要注意两点(1)只有a≥0才有意义．(2)只要eq\r(n,a)有意义，eq\r(n,a)必不为负．【例1】（2023高一·江苏·专题练习）若有意义，则a的取值范围是（）A．B．C．D．【变式】1.（2024广东湛江）若有意义，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．2．（2024湖北黄冈）已知a∈R，n∈N*，给出四个式子：①；②；③；④，其中没有意义的是________.(只填式子的序号即可)3．（2023吉林松原·阶段练习）若代数式有意义，则.知识点二利用根式的性质化简或求值【【解题思路】1.正确区分eq\r(n,an)与(eq\r(n,a))n(1)(eq\r(n,a))n已暗含了eq\r(n,a)有意义，根据n的奇偶性可知a的范围．(2)eq\r(n,an)中的a可以是全体实数，eq\r(n,an)的值取决于n的奇偶性．2.有限制条件根式的化简(1)有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简．(2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．【例2-1】（23-24高一上·江苏无锡·期中）当有意义时，化简的结果是（

）．A． B． C． D．【例2-2】（2023高三·全国·专题练习）求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)．【变式】1．（23-24高一上·甘肃兰州·期中）（多选）若，化简的结果可能为（

）A． B． C． D．2．（2023高一上·全国·专题练习）求使等式成立的实数a的取值范围为．3．（22-23高一·全国·课堂例题）化简下列各式：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．知识点三根式与分数指数幂的互化【【解题思路】根式与分数指数幂互化的规律(1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子．(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．【例3-1】（22-23高一·全国·课堂例题）求值：(1)；(2)；(3)；(4)．【例3-2】（2024·上海高一专题练习）将下列根式化成有理数指数幂的形式：（1）（a>0）；（2）（x>0）；（3）（b>0）.【变式】1．（24-25高一上·全国·假期作业）下列根式与分数指数幂的互化错误的是（

）A． B．C． D．2．（2023高一·全国·专题练习）（多选）下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（

）A．（） B．（）C．（） D．（）3．（2024福建）用有理数指数幂的形式表示下列各式（a>0，b>0）.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.知识点四利用分数指数幂的运算性质化简求值【【解题思路】指数幂运算的常用技巧(1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算．(2)负指数幂化为正指数幂的倒数．(3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质．【例4-1】（22-23高一·全国·随堂练习）化简（式中的字母均为正实数）：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．【例4-2】（2024高三·全国·专题练习）计算下列各式.(1)；(2)(3)；(4)；(5)；(6)；【变式】1．（23-24高一上·广东广州·期中）计算下列各式：(1)；(2)(3)；(4)(5)；(6)．2．（23-24高一上·广东广州·期中）用分数指数幂表示并计算下列各式（式中字母均正数），写出化简步骤.(1)；(2)（3）（4）

（5）().知识点五整体代换法求分数指数幂【【解题思路】利用整体代换法求分数指数幂(1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键．(2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式．【例5】（22-23高一·全国·随堂练习）已知，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)【变式】1．（23-24高一上·江苏连云港·期中）已知，求下列各式的值.(1)(2)(3)2．（2013北京）已知，且，求下列代数式的值：(1)；(2)；(3)．（注：立方和公式）3．（2024上海）（1）若，求的值；（2）已知，求的值．单选题1．（2024广东潮州）设a>0，b>0，化简的结果是（）A． B． C． D．-3a2．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）下列关于的形式的运算正确的是（

）A． B．C． D．3．（23-24高一上·四川雅安·期中）“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．（2024广东）若xn＝a（x≠0），则下列说法中正确的个数是（）①当n为奇数时，x的n次方根为a；②当n为奇数时，a的n次方根为x；③当n为偶数时，x的n次方根为±a；④当n为偶数时，a的n次方根为±x.A．1 B．2C．3 D．45．（23-24高一上·江苏连云港·期中）下列各式正确的是（

）A． B．C． D．6．（2024江苏）计算结果正确的是（）A．﹣6x2y3÷x2y2=﹣12yB．C．16x5y7÷（﹣2x3y2）=﹣32x2y5D．7．（2025·南京）已知，则下列运算中正确的是（）A． B．C． D．8．（23-24高一下·辽宁·期末）人们发现，可以通过公式来求方程（均为正实数）的正实数根.例如，方程的正实数根为，我们知道是的唯一正实数根，所以，这里规定.根据以上材料可得（

）A．3 B．6 C．9 D．4多选题9．（23-24高一上·广东广州·期中）下列说法中正确的是（

）A．16的4次方根是 B．C． D．10．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期中）若，则实数的取值可以是（

）A． B． C． D．111．（22-23高一上·甘肃庆阳·期末）若，化简的结果可能（

）A． B．. C． D．填空题12．（2022高一下·江苏南京·竞赛），求．13．（22-23高一下·河北石家庄·阶段练习）若，则.14．（22-23高一·全国·假期作业）化简：．解答题15．（22-23高一·全国·课后作业）化简：(1)；(2)；(3)．16．（2023高一·全国·专题练习）计算下列各式的值.(1)(2)(3)(4)；(5).(6)计算：；17．（2024·江苏）（1）已知，且，