3.2.1 函数的单调性及最大（小）值（解析版）

.2.1函数的单调性与最大（小）值知识点一定义法判断函数的单调性【【解题思路】利用定义证明函数单调性的步骤：1.取值：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2；2.作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断正负的关系式；3.定号：确定f(x1)－f(x2)的符号；4.结论：根据f(x1)－f(x2)的符号与定义确定单调性.【例1-1】（24-25高一上·全国·假期作业）函数，判断函数在上的单调性，并加以证明.【答案】函数在上单调递减，证明见解析【解析】函数在上单调递减，证明如下：函数，任取，设，则，因为，，所以，故，即，故函数在上单调递减.【例1-2】（24-25高一上·上海·课堂例题）判断函数在区间上的单调性，并证明你的结论．【答案】函数在上为严格减函数，证明见解析【解析】当时，函数在区间上为严格减函数．证明：设，则．因为，，所以，，，，所以，所以．所以当时，函数在上为严格减函数．【变式】1．（24-25高一福建）证明：函数在上是严格减函数．【答案】证明见解析【解析】设是区间上的任意给定的两个实数，且，则．∵，∴，，，∴，即，所以，∴函数在上是严格减函数．2．（2024高一·全国·专题练习）已知函数的定义域为，判断在上的单调性，并用定义证明；【答案】在上单调递增，证明见解析【解析】在上单调递增，证明如下：设，；因为，，，，所以，所以是在上单调递增.3．（24-25湖南）判断函数在区间上的单调性，并证明你的结论．【答案】函数在上是严格增函数，证明见解析【解析】当时，在上是严格增函数．任取，且，则．∵，∴，，．∵，∴，∴，∴，∴时，函数在上是严格增函数．知识点二性质法判断函数单调性【【解题思路】常见函数的单调性函数单调性一次函数y＝ax＋b(a≠0)a＞0时，在R上单调递增；a＜0时，在R上单调递减反比例函数y＝eq\f(a,x)(a≠0)a＞0时，减区间是(－∞，0)和(0，＋∞)；a＜0时，增区间是(－∞，0)和(0，＋∞)二次函数y＝a(x－m)2＋n(a≠0)a＞0时，减区间是(－∞，m]，增区间是[m，＋∞)；a＜0时，减区间是[m，＋∞)，增区间是(－∞，m]【例2】（24-25高一上北京）下列函数在定义域上为严格减函数的是（）A． B．C． D．【答案】D【解析】对于A:当，当，,在定义域上不是严格减函数，错误；对于B:当，当，，在定义域上不是严格减函数，错误；对于C:,当，，在定义域上不是严格减函数，错误；对于D:因为在定义域内为严格减函数,正确.故选：D.【变式】1．（23-24高一上·北京·期中）下列函数中，在区间上是减函数的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】选项A：任取，则，又，所以，即，所以函数在为减函数，故A正确；选项B：任取，则，又，所以，即，所以函数在为增函数，故B错误；选项C：任取，则，又，所以，即，所以函数在为增函数，故C错误；选项D：任取，则，又，所以，即，所以函数在为增函数，故D错误；故选：A.2．（2023·全国·高一假期作业）下列命题正确的是（

）A．函数在上是增函数 B．函数在上是减函数C．函数和函数的单调性相同 D．函数和函数的单调性相同【答案】C【解析】对于A：定义域为，由二次函数的图像可知，在是增函数，在是减函数，故A错误；对于B：的定义域为，由反比例函数的图像可知，在和上是减函数，故B错误；对于C：在是增函数，在是减函数，，当时，，易知为增函数，当时，，易知为减函数，所以函数和函数的单调性相同，故C正确；对于D：定义域为，由反比例函数的图像可知，在和上是减函数；设定义域为，取，则，当时，，即在上单调递减，当，，即在上单调递减，同理可证，在上单调递减，在上单调递增，故D错误，故选：C．3．（23-24高一上·四川内江·期中）（多选）下列函数中，满足“，都有”的有（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】，都有，知是在上单调递减的函数，对于A，在R上是增函数，不合题意；对于B，在R上是减函数，符合题意；对于C，为二次函数，其开口向下且对称轴为，所以在上单调递减，符合题意；对于D，由反比例函数的单调性可得是上的增函数，不合题意.故选：BC知识点三图像法、分离常数法等求单调区间【例3-1】（23-24高一上·陕西西安·期中）已知函数，则函数的单调递增区间是（

）A． B．C．和 D．和【答案】C【解析】因为函数的对称轴为直线，由可得或，作出函数的图象如下图所示：由图可知，函数的单调递增区间为和.故选：C.【例3-2】（23-24高一上·湖北十堰·期中）函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，解得,所以函数的定义域为，令，其图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为，该函数在上单调递减，则函数的单调递增区间是.故选：C.【例3-3】（23-24高一上·广东广州·期中）已知函数，则函数（

）A．在上单调递增 B．在上单调递减C．在上单调递增 D．在上单调递减【答案】D【解析】，所以函数的图象可由反比例函数的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到.因为在和上单调递减，所以在和上单调递减.故选：D【变式】1．（23-24高一上·江苏连云港·期中）函数的单调减区间是．【答案】【解析】画出函数的图象，如下：

故单调递减区间为.故答案为：2．（22-23高一上·上海浦东新·期末）函数的增区间为．【答案】【解析】若的单调递增区间为，任取，，因为，，可得恒成立，即，解得或（舍去），所以函数的增区间为．故答案为：3．（23-24高一上·江西抚州·期中）函数的单调递减区间是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，作出图象，可以得到函数的单调递减区间是．故选：B.4．（2024高三·全国·专题练习）函数的单调递增区间为．【答案】和【解析】由函数，作出函数的大致图象，如图所示，可得函数的单调递增区间是和.故答案为：和.5．（2024高一·全国·专题练习）函数的单调区间为【答案】增区间为和，无单调递减区间，【解析】，所以的单调递增区间为和故答案为：单调递增区间为和，无单调递减区间，6．（23-24高一上·广东茂名·阶段练习）已知，则函数的单调递增区间为.【答案】【解析】，画出函数图象，

结合图象得函数的单调递增区间为.故答案为：.知识点四利用单调性解不等式【【解题思路】函数f(x)的解析式未知时，欲求解不等式，可以依据函数单调性的定义和性质，将符号“f”去掉，列出关于自变量的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域．【例4-1】（2024高一·全国·专题练习）若函数在单调递增，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为函数在单调递增，且，所以，即，解得.故选：D.【例4-2】（2024·湖北武汉·二模）已知函数，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，故在上单调递增，由，有，即.故选：A.【例4-3】（23-24高一上·广东茂名·期末）已知函数是R上的减函数，，是其图象上的两点，那么的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由，得或，因为函数是R上的减函数，，，所以有，，所以或.故选：A．【变式】11．（23-24高一上·四川成都·期末）已知定义在上的函数满足：且都有.若，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可得在上单调递减，若可得.故选：D.2．（24-25高一上·上海·课后作业）函数在上是严格增函数，且，则的取值范围是．【答案】【解析】因为函数在上是严格增函数，且，所以，解得.3．（23-24高一上·青海西宁·期末）若函数在上是减函数，且，则实数的取值范围是.【答案】【解析】由函数在上是减函数，因为，可得，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：.答案为：.知识点五求函数的最值【【解题思路】求最值的实质--单调性的应用（1）图象法求函数最值（2）单调性求函数的最值（3）换元法求函数最值（4）分离常数法求函数最值【例5-1】（23-24高一上·广东广州·期中）（多选）下列说法正确的是（

）A．函数在上的值域为B．函数的值域为C．函数的值域为D．函数的值域是【答案】BCD【解析】对于A，，则当时，，当时，，所以函数的值域为，错误；对于B，函数的图象如下:

在为增函数，在为减函数，故值域为，正确；对于C，函数，可得其定义域为，又由，可得所以函数的值域为，正确；对于D，设，，则，，所以，，当时，有最大值2，所以.故函数的值域为，正确.故选：BCD.【例5-2】（23-24高一上·甘肃白银·期中）函数.(1)判断函数在上的单调性，并加以证明.(2)求函数在上的最值.【答案】(1)函数在上单调递减，证明见解析(2)【解析】（1）函数在上单调递减，证明如下：函数，任取，设，则，因为，，则，故，即，故函数在上单调递减；（2）由（1）知函数在上单调递减，故.【变式】1.（23-24江苏扬州·阶段练习）（多选）下列各函数中，最小值为2的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【解析】对于A，，故A错误；对于B，，，当时取最小值2，故B正确.对于C，当时，，故C错误；对于D，设，则，当且仅当，即时等号成立，故D正确；故选：BD.2．（2024高一·全国·专题练习）函数的定义域是，则其值域为【答案】【解析】由题意知函数均在上单调递增，故在定义域上为增函数，所以，，即的值域为，故答案为：3．（22-23高一上·吉林长春·期末）的最大值为．【答案】【解析】由，故，而，所以，当时，即函数的最大值为.故答案为：4．（2024·上海嘉定·二模）函数的值域为．【答案】【解析】由函数，当时，；当时，.综上所述，函数的值域为.故答案为：.5．（23-24高一上·上海浦东新·期末）已知函数．(1)证明函数在区间上是严格减函数；(2)求函数在区间上的最值．【答案】(1)证明见解析(2)最大值为8，最小值为【解析】（1）任取，，由，可得，，所以，又，所以，即，所以函数在区间上是严格减函数．（2）由于函数在单调递减，在单调递增，又，所以的最大值为8，最小值为重难点一已知单调性求参数【例6-1】（23-24高二下·江苏南京·期末）“”是“函数在上单调递减”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为函数的图象开口向上，对称轴为，若函数在上单调递减，等价于，显然是的真子集，所以“”是“函数在上单调递减”的充分不必要条件.故选：A.【例6-2】（2024·全国·模拟预测）若函数在区间上不单调，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为函数在上单调递减，在上单调递增．又函数在区间上不单调，所以，故选：B．【例6-3】（23-24高一上·湖南邵阳·阶段练习）已知函数在R上单调递增，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为函数，在上单调递增，当时，由于和均在单调递增函数，故在上单调递增，所以，解得，当时，根据对勾函数的性质可知，若在上单调递增，则，解得，当时，，此时，显然满足在上单调递增，综上，．故选：B【变式】1．（2024·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】函数的图象对称轴为，依题意，，得，所以的取值范围为.故选：C2．（23-24高一上·北京·期中）已知函数是上的增函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为函数是上的增函数，所以，解得，即的取值范围是.故选：D3．（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数在上是严格增函数，则的取值范围是．【答案】【解析】由题意得，解得.故答案为：4．（2024高三·全国·专题练习）若函数在集合内为单调递增函数，则实数t的取值范围为.【答案】【解析】由对勾函数的性质知在内为单调递增函数.要使在内为单调递增函数，则，即，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：5．（23-24高一上·广东河源·阶段练习）已知函数在区间上具有单调性，则实数a的取值范围是．【答案】【解析】当时，，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减，由函数在区间上具有单调性，可得或，解得或，所以实数a的取值范围是.故答案为：.6．（23-24高一上·北京·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是．【答案】【解析】因为，所以在上单调递增，在上单调递减，又函数在上单调递减，所以，解得，即实数的取值范围是.故答案为：重难点二含参一元二次函数最值的讨论求二次函数最值的常见类型及解法求二次函数最值的常见类型及解法1、类型一：是函数定义域为实数集R法一：根据开口方向，用配方法即可求出最大(小)值法二：根据开口和对称轴求出最值2.类型二：定义域为某一区间开口方向和对称轴的位置来决定对于含参数的二次函数的最值问题，一般有如下几种类型：(1)区间固定，对称轴变动(含参数)，求最值；(2)对称轴固定，区间变动(含参数)，求最值；(3)区间固定，最值也固定，对称轴变动，求参数.通常都是根据区间端点和对称轴的相对位置进行分类讨论.求二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)在区间[m，n]上的最值一般分为以下几种情况：①若x＝－eq\f(b,2a)在区间[m，n]内，则最小值为feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)))，最大值为f(m)，f(n)中较大者(或区间端点m，n中与x＝－eq\f(b,2a)距离较远的一个对应的函数值为最大值)；②若x＝－eq\f(b,2a)＜m，则f(x)在区间[m，n]上单调递增，最大值为f(n)，最小值为f(m)；③若x＝－eq\f(b,2a)＞n，则f(x)在区间[m，n]上单调递减，最大值为f(m)，最小值为f(n)．【例7】（24-25高一上·上海·课堂例题）已知函数定义在区间上，求的最值．【答案】答案见解析【解析】函数的图像开口向上，对称轴为．①当时，函数在上递增，则当时，函数取最小值为；当时，函数取最大值为．②当，即时，函数在上递减，∴当时，函数取最大值为；当时，函数取最小值为．③当时，当时，函数取最小值为；当时，函数取最大值为．④当时，当时，函数取最小值为；当时，函数取最大值为．⑤当时，当时，函数取最小值为；当或时，函数取最大值为．【变式】1．（2024高三·全国·专题练习）(多选)若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为[－，－4]，则实数m的取值范围可以是（

）A．[0，4] B．[，2]C．[，2] D．[1，2]【答案】BC【解析】∵y＝x2－3x－4＝(x－)2－，作出函数y＝x2－3x－4在区间[0，m]上的图象如图所示．由图象可知，当x＝时，ymin＝－.令y＝x2－3x－4＝－4得出x＝0或x＝3.当0＜m＜时，函数y＝x2－3x－4在区间[0，m]上单调递减，此时ymin＝m2－3m－4＞－，不符合题意；当≤m≤3时，且当x∈[0，m]时，由图象可知ymin＝－，ymax＝－4，符合题意；当m＞3时，且当x∈[0，m]时，由图象可知ymin＝－，ymax＝m2－3m－4＞－4，不符合题意．综上所述，实数m的取值范围是[，3].故选BC.2．（24-25高一上·上海·课堂例题）若函数在上的最小值为，求的值．【答案】1【解析】函数图像的对称轴为，图象开口向上．①当时，函数在上单调递增，则的最小值为，由，得，不符合；②当时，在上单调递减，在上单调递增，则的最小值为，由，得或，∵，∴符合；③当时，函数在上单调递减，则的最小值为，由，得，∵，∴不符合．综上可得，.3（2024湖北）求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值M(a)和最小值m(a)．【答案】见解析【解析】f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a.(1)当a<0时，由图①可知，f(x)在区间[0,2]上单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a.(2)当0≤a≤1时，由图②可知，对称轴在区间[0,2]内，所以f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a.(3)当1<a≤2时，由图③可知，对称轴在区间[0,2]内，所以f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1.(4)当a>2时，由图④可知，f(x)在[0,2]上单调递减，所以f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1.综上，M(a)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－4a，a≤1，,－1，a>1，))m(a)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1，a<0，,－1－a2，0≤a≤2，,3－4a，a>2.))单选题1．（2024·江苏·高一）函数的单调增区间为（

）A． B． C．和 D．【答案】C【解析】由可得且，因为开口向下，其对称轴为，所以的减区间为和所以的单调增区间为和故选：C2．（2024河北）已知函数，则函数的最小值为（

）A．0.4 B． C．2 D．【答案】D【解析】因为，由于在上单调递增，则在上单调递减，故在上单调递增，所以．故选：D．3．（23-24高一上·浙江杭州·期末）如果函数在区间上是单调递增的，则实数的取值范围（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由函数在区间上为单调递增函数，当时，在上为单调递增函数，符合题意；当时，则满足，解得，综上可得，实数的取值范围为.故选：D.4．（2023·广东·肇庆市实验中学高一期中）已知函数，且其对称轴为，则以下关系正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根据题意，函数，其对称轴为，其开口向上，在，上单调递增，，则有；故选：．5．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为函数是上的增函数，则，解得.故选：B6．（2024·山东·二模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（

）．A． B．C． D．【答案】A【解析】由函数的对称轴是，因为函数在区间上是增函数，所以，解得，又因为，因此，所以的取值范围是.故选：A．7．（2023山东）某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为()A．90万元 B．60万元C．120万元 D．120.25万元【答案】C【解析】设公司在甲地销售x辆，则在乙地销售(15－x)辆，公司获利为L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(19,2)))2＋30＋eq\f(192,4)，∴当x＝9或10时，L最大为120万元．8．（23-24高一上·海南海口·阶段练习）已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，可化为，又函数，可知在上单调递增，不等式在恒成立，即不等式在恒成立，即在恒成立，即在恒成立，即，解得故实数的取值范围是.故选：B多选题9．（23-24高一上·广西南宁·期中）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中正确的是（

）

A．的单调递减区间为B．的最大值为2C．的最小值为D．的单调递增区间为和【答案】ACD【解析】对于A，由图象可知：的单调递减区间为，A正确；对于B，当时，，B错误；对于C，当时，，C正确；对于D，由图象可知：的单调递增区间为和，D正确．故选：ACD10．（23-24高一上·湖南邵阳·期末）已知函数，在上单调递增，则实数的可能取值为（

）A． B． C．0 D．3【答案】ABC【解析】当时，若单调递增，则或，即，当时，单调递增，则，即，又函数在上单调递增，所以，解得，综上，实数的取值范围为，故选：ABC11．（23-24高一上·新疆·阶段练习）下列四个函数中，在上为增函数的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】对于A选项，函数在上为增函数，A满足条件；对于B选项，函数在上为减函数，在上为增函数，B不满足条件；对于C选项，函数在上为增函数，C满足条件；对于D选项，当时，，则函数在上为减函数，D不满足条件.故选：AC.填空题12．（23-24高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间是．【答案】【解析】设，由可得，或，则函数，由在单调递减，在单调递增，而在单调递增，由复合函数的单调性可知，函数的单调递减区间是.故答案为：13．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数在上是减函数，则实数的取值范围为．【答案】【解析】∵，∴的减区间是．又∵已知在上是减函数，∴，即．∴所求实数的取值范围是，故答案为：．14．（23-24高一上·重庆云阳·阶段练习）已知函数，则满足的的取值范围是．【答案】【解析】当时，，，故，故，不成立；当时，，，不成立，当时，要使得，有两种情况：第一种情况，，即，此时由于在上单调递增，只需，解得，第二种情况，，即时，只需，解得，与取交集得，综上，的取值范围是．故答案为：解答题15．（23-24高一上·辽宁朝阳·阶段练习）已知函数，且．(1)求a的值；(2)判断在区间上的单调性，并用单调性的定义证明你的判断．【答案】(1)(2)减函数，证明见解析【解析】（1）由，得，解得．（2）在区间上是减函数，证明过程如下：由（1）得，对任意，且，则，所以，由，得，，又由，得，于是，即，所以在区间上是减函数．16．（23-24·江苏徐州·阶段练习）已