4.3 对数（原卷版）-高中数学教学资料

.3对数知识点一对数的概念【【解题思路】对数的概念底数大于0且不等于1真数大于0【例1】（23-24高一上·贵州贵阳·阶段练习）使式子有意义的的取值范围是（

）A． B． C．且 D．，【变式】1．（2023高一·全国·专题练习）在中，实数的取值范围是（

）A．或 B．或C． D．2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若对数有意义，则的取值范围是．3．（23-24高一上·上海徐汇·期中）若对于任意实数，代数式均有意义，则实数的取值范围是．知识点二指数式与对数式的互化【【解题思路】指数式与对数式互化的思路(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式【例2-1】（22-23高一·全国·随堂练习）将下列指数式改写为对数式：(1)；(2)；(3)；(4)．【例2-2】（22-23高一·全国·随堂练习）将下列对数式改写为指数式：(1)；(2)；(3)；(4).【变式】1．（2023高一·全国·专题练习）将下列指数式与对数式互化．(1)；(2)；(3)；(4).(5)；(6)；(7)；(8)．(9)；(10)；(11)；(12)．知识点三对数的计算【【解题思路】1.对数求值（1）将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题．（2）利用幂的运算性质和指数的性质计算．2.利用对数的性质求值的方法(1)求解此类问题时，应根据对数的两个结论loga1＝0和logaa＝1(a>0且a≠1)，进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算．(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．【例3-1】（2024湖北）求值：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．【例3-2】（24-25高一上·上海·假期作业）求下列各式中的值：(1)；(2)；(3)；(4).【例3-3】（23-24高一·江苏·假期作业）求下列各式中x的值．(1)；(2)；(3).【变式】1．（2024湖南·课后作业）求下列各式中的值：(1)；(2)；(3)；(4)．2．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列各式中的值：(1)；(2)；(3)；(4)．3．（23-24高一·江苏·假期作业）求下列各式中x的值．(1)(2)重难点一对数运算性质的应用【【解题思路】对数式化简与求值的基本原则和方法(1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．(2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．【例4】（24-25高一上·上海·随堂练习）计算下列各式的值：(1)；(2)．【变式】1.（24-25高一上·全国·课堂例题）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．2．（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)．重难点二换底公式的应用【【解题思路】利用换底公式进行化简求值的原则和技巧1.原则：化异底为同底2.技巧（1）先利用对数的运算性质进行部分运算，再换成同底（2）借助换底公式一次性同一换成常用对数或自然对数，再化简通分求值（3）借助对数恒等式或常用结论，提高解题效率【例5】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，求：(1)；(2)；(3)．【变式】1．（2024·四川·模拟预测）若实数，，满足且，则（

）A． B．12 C． D．2．（2024·广东佛山）已知，，，则（

）A． B． C． D． E．均不是3．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）设，求的值；（2）已知，且，求的值．重难点三对数运算性质的综合应用【【解题思路】利用对数式与指数式互化求值的方法(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化．(2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解．【例6】（2024山东）求下列各式的值．(1)．(2)(3)．(4)(5)(6)；【变式】（2024河北）计算化简：(1)(2)(3)；(4)．(5)．(6)；(7)；(8)；单选题1．（2023高一·上海·专题练习）在对数式中，实数的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2023·湖南）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（

）A．与 B．与C．与 D．与3．（23-24高一下·江苏盐城·期末）若，，则用，表示（

）A． B． C． D．4．（2024广东）化简的值为（

）A． B． C． D．-15．（2023秋·浙江）已知，，且，则的最小值是（

）A．18 B．16 C．10 D．46．（2024云南）已知，则下列能化简为的是（

）A． B． C． D．7（2023·全国·高一专题练习）17世纪，法国数学家马林·梅森在欧几里得､费马等人研究的基础上，对（为素数）型的数作了大量的研算，他在著作《物理数学随感》中断言：在的素数中，当，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，是素数，其它都是合数.除了和两个数被后人证明不是素数外，其余都已被证实.人们为了纪念梅森在型素数研究中所做的开创性工作，就把型的素数称为“梅森素数”，记为.几个年来，人类仅发现51个梅森素数，由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们答为“数海明珠”.已知第7个梅森素数，第8个梅森素数，则约等于（参考数据：）（

）A．17.1 B．8.4 C．6.6 D．3.68．（23-24高一上·浙江宁波·期末）若，则说法错误的是（

）A．的最小值是B．的最小值是C．的最大值是0D．的最大值是多选题9．（23-24高一上·全国·课后作业）下列指数式与对数式的互化，正确的一组是（）A．与B．与C．与D．与10．（23-24高三上·河南焦作·阶段练习）下列等式成立的是（）A． B．C． D．11．（23-24高一上·山东枣庄·期末）以下运算中正确的有（

）A．若，则B．C．D．填空题12．（24-25高一上·上海·课后作业）求下列各式中的值：（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则．13．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列式子中正确的是．（填序号）①；②；③；④．14．（2024四川省）已知，若，则的最大值为．解答题15．（2023高一·全国·专题练习）将下列指数式与对数式进行互化．(1)(2)(3).(4)；(5)；(6)；(7).16．（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）利用关系式证明换底公式：；（2）利用（1）中的换底公式求值：；（3）利用（1）中的换底公式证明：．17．（22-23高一·全国·随堂练习）求值：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．18．（23-24高一上·上海静安·期中）（1）已知，用a、b表示;（2）已知求b的值；（3）已知，试用表示；（4）已知，试用表示求.19.（2024广东潮州）求下列各式子的值：(1)；(2)；(3)；(4).(5)2log32－log3