4.3 对数（解析版）-高中数学教学资料

.3对数知识点一对数的概念【【解题思路】对数的概念底数大于0且不等于1真数大于0【例1】（23-24高一上·贵州贵阳·阶段练习）使式子有意义的的取值范围是（

）A． B． C．且 D．，【答案】C【解析】由式子有意义，则满足，解得且.故选：C.【变式】1．（2023高一·全国·专题练习）在中，实数的取值范围是（

）A．或 B．或C． D．【答案】B【解析】由对数的定义可知，解得，且，故选：B．2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若对数有意义，则的取值范围是．【答案】【解析】依题意，，解得且，所以的取值范围是.故答案为：3．（23-24高一上·上海徐汇·期中）若对于任意实数，代数式均有意义，则实数的取值范围是．【答案】【解析】对任意的，代数式有意义，则对任意的，且，当时，则且，解得且，不合乎题意；当时，由题意可知，必有，由二次函数的基本性质可知，对任意的，，则，所以，，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：.知识点二指数式与对数式的互化【【解题思路】指数式与对数式互化的思路(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式【例2-1】（22-23高一·全国·随堂练习）将下列指数式改写为对数式：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】（1）（且）化为对数式是，所以化为对数式是；（2），对数式是；（3），对数式是；（4），对数式是.【例2-2】（22-23高一·全国·随堂练习）将下列对数式改写为指数式：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】（1）由得.（2）由得.（3）由得.（4）由得.【变式】1．（2023高一·全国·专题练习）将下列指数式与对数式互化．(1)；(2)；(3)；(4).(5)；(6)；(7)；(8)．(9)；(10)；(11)；(12)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)(12)【解析】（1）因为，所以；（2）因为，所以；（3）因为，所以；（4）因为，所以.（5），可得.（6），可得.（7），可得.（8），可得.（9）（10）（11）（12）知识点三对数的计算【【解题思路】1.对数求值（1）将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题．（2）利用幂的运算性质和指数的性质计算．2.利用对数的性质求值的方法(1)求解此类问题时，应根据对数的两个结论loga1＝0和logaa＝1(a>0且a≠1)，进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算．(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．【例3-1】（2024湖北）求值：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．【答案】(1)2(2)(3)(4)4(5)2(6)(7)(8)【解析】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）【例3-2】（24-25高一上·上海·假期作业）求下列各式中的值：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.【例3-3】（23-24高一·江苏·假期作业）求下列各式中x的值．(1)；(2)；(3).【答案】(1)；(2)；(3).【解析】（1）∵，∴，∴；（2）∵，∴，∴；（3）由可得，，故，所以.【变式】1．（2024湖南·课后作业）求下列各式中的值：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)125(2)(3)(4)【解析】（1）解：因为，所以；（2）解：因为，所以，解得（3）解：因为，所以，所以；（4）解：因为，所以，所以.2．（24-25高一上·上海·课堂例题）求下列各式中的值：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)1000.【解析】（1）∵，∴，即，∴，解得．（2）∵，∴，∴．（3）∵，∴，∴．（4）∵，∴，∴．3．（23-24高一·江苏·假期作业）求下列各式中x的值．(1)(2)【答案】(1)；(2).【解析】（1）由可得，，则，所以.（2）由可得，，故，所以.重难点一对数运算性质的应用【【解题思路】对数式化简与求值的基本原则和方法(1)基本原则：对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．(2)两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．【例4】（24-25高一上·上海·随堂练习）计算下列各式的值：(1)；(2)．【答案】(1)2(2)1【解析】（1）原式．（2）原式．【变式】1.（24-25高一上·全国·课堂例题）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)2；(2)；(3)；(4)-4.【解析】（1）原式．（2）（方法一）原式．（方法二）原式．（3）分子；分母．原式．（4）原式．2．（24-25高一上·全国·课堂例题）求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)0；(2)2；(3)2；(4)4.【解析】（1）原式．（2）原式．（3）原式．（4）原式．重难点二换底公式的应用【【解题思路】利用换底公式进行化简求值的原则和技巧1.原则：化异底为同底2.技巧（1）先利用对数的运算性质进行部分运算，再换成同底（2）借助换底公式一次性同一换成常用对数或自然对数，再化简通分求值（3）借助对数恒等式或常用结论，提高解题效率【例5】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，求：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)；(2)；(3).【解析】（1）因为，．所以．（2）．（3）．【变式】1．（2024·四川·模拟预测）若实数，，满足且，则（

）A． B．12 C． D．【答案】D【解析】因为且，易知且，所以，，所以，，所以，则.故选：D．2．（2024·广东佛山）已知，，，则（

）A． B． C． D． E．均不是【答案】D【解析】由题意知，，，，因为，，所以由换底公式可得，，又因为（），所以，所以由换底公式可得.故选：D.3．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）设，求的值；（2）已知，且，求的值．【答案】（1）1；（2）【解析】（1）因为，则，则所以；（2）因为，则，，可得，，则．由题意可得，则，且，所以．重难点三对数运算性质的综合应用【【解题思路】利用对数式与指数式互化求值的方法(1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和结论之间的关系，进行正确的相互转化．(2)对于连等式可令其等于k(k>0)，然后将指数式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化为同底的对数，从而使问题得解．【例6】（2024山东）求下列各式的值．(1)．(2)(3)．(4)(5)(6)；【答案】(1)(2)(3)1(4)1(5)(6)2【解析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）【变式】（2024河北）计算化简：(1)(2)(3)；(4)．(5)．(6)；(7)；(8)；【答案】(1)(2)8(3)0(4)2(5)(6)(7)0(8)1【解析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）单选题1．（2023高一·上海·专题练习）在对数式中，实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】要使对数式有意义，需满足，解得或，所以实数的取值范围是．故选:D.2．（2023·湖南）下列指数式与对数式互化不正确的一组是（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】B【解析】由对数的概念可知：可转化为，故A正确；由对数的概念可知：可转化为，故B错误；由对数的概念可知：可转化为，故C正确；由对数的概念可知：可转化为，故D正确；故选：B3．（23-24高一下·江苏盐城·期末）若，，则用，表示（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由对数运算性质可得，故选：D.4．（2024广东）化简的值为（

）A． B． C． D．-1【答案】A【解析】故选：A.5．（2023秋·浙江）已知，，且，则的最小值是（

）A．18 B．16 C．10 D．4【答案】B【解析】因为，，且，所以，所以，所以，当且仅当即时，等号成立，所以的最小值是16.故选：B6．（2024云南）已知，则下列能化简为的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】对于A，，A错误；对于B，，B正确；对于C，，C错误；对于D，，D错误.故选：B.7（2023·全国·高一专题练习）17世纪，法国数学家马林·梅森在欧几里得､费马等人研究的基础上，对（为素数）型的数作了大量的研算，他在著作《物理数学随感》中断言：在的素数中，当，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，是素数，其它都是合数.除了和两个数被后人证明不是素数外，其余都已被证实.人们为了纪念梅森在型素数研究中所做的开创性工作，就把型的素数称为“梅森素数”，记为.几个年来，人类仅发现51个梅森素数，由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们答为“数海明珠”.已知第7个梅森素数，第8个梅森素数，则约等于（参考数据：）（

）A．17.1 B．8.4 C．6.6 D．3.6【答案】D【解析】由已知可得.故选：D8．（23-24高一上·浙江宁波·期末）若，则说法错误的是（

）A．的最小值是B．的最小值是C．的最大值是0D．的最大值是【答案】A【解析】若，则，，，即.对于A，，当且仅当，即，时，等号成立，可得，故A错误；对于B，由，可得，所以，当且仅当，即，时，等号成立，故B正确；对于C，由，可得，所以，当且仅当，时，等号成立，故C正确；对于D，由，可得，可知，故，令，可知，，故，当且仅当，即，时，等号成立，故的最大值是，故D正确.故选：A多选题9．（23-24高一上·全国·课后作业）下列指数式与对数式的互化，正确的一组是（）A．与B．与C．与D．与【答案】ABD【解析】根据指数式与对数式的互化公式且可知，ABD正确；对于C，，故C错误.故选：ABD10．（23-24高三上·河南焦作·阶段练习）下列等式成立的是（）A． B．C． D．【答案】AC【解析】，A成立；，B不成立；，C成立；，D不成立.故选：AC11．（23-24高一上·山东枣庄·期末）以下运算中正确的有（

）A．若，则B．C．D．【答案】AC【解析】对于A：，故A正确；对于B：，故B错误；对于C：，故C正确；对于D：，故D错误，故选：AC．填空题12．（24-25高一上·上海·课后作业）求下列各式中的值：（1）若，则；（2）若，则；（3）若，则；（4）若，则．【答案】9984或【解析】（1）；（2）；（3）；（4）.故答案为：；998；4或；.13．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列式子中正确的是．（填序号）①；②；③；④．【答案】④【解析】对于①，当为负数时没有意义，不成立，错误；对于②，时，左边等于1，右边等于2，等式不成立，错误；对于③，当为负数时没有意义，不成立，错误；对于④，时，成立，正确.故答案为：④.14．（2024四川省）已知，若，则的最大值为．【答案】/【解析】因为，所以，所以，，解得或，因为，所以，所以，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为.故答案为：解答题15．（2023高一·全国·专题练习）将下列指数式与对数式进行互化．(1)(2)(3).(4)；(5)；(6)；(7).【答案】(1)(2)(3)(4)；(5)；(6)；(7).【解析】（1）由可得.（2）由，可得.（3）由，可得.（4）由，可得；（5）由，可得；（6）由，可得；（7）由，可得.16．（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）利用关系式证明换底公式：；（2）利用（1）中的换底公式求值：；（3）利用（1）中的换底公式证明：．【答案】（1）证明见解析；（2）8；（3）证明见解析；【解析】（1）证明：设，则，化为，又，所以；（2）解：；（3）证明：．所以．17．（22-23高一·全国·随堂练习）求值：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)【解析】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.18．（23-24高一上·上海静安·期中）（1）已知，用a、b表示;（2）已知求b的值；（3）已知，试用表示；（4）已知，试用表示求.【答案】（1）；（2）或；（3）（4）【解析】（1）因为，则，所以；（2），设则则即或即或或.（3），则.，，则（4），19.（2024广东潮州）求下列各式子的值：(1)；(2)；(3)；(4).(5)2log32－log3＋log38－；(6)(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258).(7)lg25＋lg2＋lg＋lg(0.01)－1；(8)(lg2)2＋lg2·lg50＋lg25；(9)(log32＋log92)·(log43＋log83)；(10)2log32－log3＋log38－3log55；【答案】(1)(2)-1(3)1(4)2(5)－1(6)13(