第六章 第3讲 平面向量的数量积及应用

第六章平面向量、复数第3讲平面向量的数量积及应用

课标要求命题点五年考情命题分析预测1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.2.了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.4.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角.5.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的应用.平面向量的数量积运算2023全国卷乙T6；2022全国卷乙T3；2022全国卷甲T13；2021新高考卷ⅡT15；2020北京T13；2019全国卷ⅡT3本讲每年必考，主要考查向量的数量积运算、向量的夹角、模长、垂直问题，一般以客观题形式出现，难度不大.预计2025年高考命题稳定，常规备考的同时要关注向量与三角、解析几何等的综合以及坐标法在解题中的应用.课标要求命题点五年考情命题分析预测1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.2.了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.4.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角.5.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的应用.平面向量数量积的应用2023新高考卷ⅠT3；2023新高考卷ⅡT13；2023全国卷甲T4；2022全国卷乙T3；2022新高考卷ⅡT4；2022天津T14；2021新高考卷ⅠT10；2021全国卷甲T14；2021全国卷甲T14；2021全国卷乙T14；2020全国卷ⅠT14；2020全国卷ⅡT13；2020新高考卷ⅠT7；2019全国卷ⅠT7本讲每年必考，主要考查向量的数量积运算、向量的夹角、模长、垂直问题，一般以客观题形式出现，难度不大.预计2025年高考命题稳定，常规备考的同时要关注向量与三角、解析几何等的综合以及坐标法在解题中的应用.课标要求命题点五年考情命题分析预测1.理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积.2.了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义.3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.4.能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角.5.会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的应用.平面向量的应用2023全国卷乙T12；2020天津T15本讲每年必考，主要考查向量的数量积运算、向量的夹角、模长、垂直问题，一般以客观题形式出现，难度不大.预计2025年高考命题稳定，常规备考的同时要关注向量与三角、解析几何等的综合以及坐标法在解题中的应用.

1.向量的夹角定义图示范围共线与垂直

设θ是a与b的夹

角，则θ的取值

范②

⁠.θ＝0或π⇔

③

⁠，④

⇔

a⊥b.注意

确定向量的夹角时应注意“共起点”.∠AOB

[0，π]

a∥b

2.平面向量的数量积已知两个非零向量

a

与

b

的夹角为θ，我们把数量⑤

叫做向量

a

与

b

的数量积，记作⑥

⁠.注意

零向量与任一向量的数量积为0.｜

a

｜｜

b

｜cosθ

a

·

b

3.投影与投影向量

投影

投影向量

4.向量数量积的运算律对于向量

a

，

b

，

c

和实数λ，有(1)

a

·

b

＝

b

·

a

；(2)(λ

a

)·

b

＝λ(

a

·

b

)＝

a

·(λ

b

)；(3)(

a

＋

b

)·

c

＝

a

·

c

＋

b

·

c

.注意

(1)向量数量积的运算不满足乘法结合律，即(

a

·

b

)·

c

不一定等于

a

·(

b

·

c

)，

这是由于(

a

·

b

)·

c

表示一个与

c

共线的向量，

a

·(

b

·

c

)表示一个与

a

共线的向量，而

c

与

a

不一定共线.(2)

a

·

b

＝

a

·

c

(

a

≠0)⇏

b

＝

c

，等式两边不能约去同一个向量.(3)平方差公式、完全平方公式仍适用.5.平面向量数量积的有关结论已知非零向量

a

＝(

x

1，

y

1)，

b

＝(

x

2，

y

2)，

a

与

b

的夹角为θ.几何表示坐标表示数量积a·b＝｜a｜｜b｜cosθ.a·b＝⑨

⁠.模｜a｜＝⑩

⁠.夹角cosθ＝⑪

⁠.x1x2＋y1y2

几何表示坐标表示a⊥b的充要

条件a·b＝0.⑫

⁠.a∥b的充要

条件a＝λb(λ∈R).⑬

⁠.｜a·b｜与｜a｜｜b｜的关系｜a·b｜≤｜a｜｜b｜

(当且仅当a∥b时等号成立).x1x2＋y1y2＝0

x1y2－x2y1＝0

1.以下说法正确的是(

A

)A.两个向量的数量积是一个实数，向量的加法、减法、数乘运算的运算结果是向量B.由a·b＝0可得a＝0或b＝0C.(a·b)·c＝a·(b·c)D.已知两个非零向量a与b的夹角为θ，若a·b＞0，则θ为锐角A123452.[教材改编]已知向量

a

＝(1＋

x

，

x

－3)，

b

＝(1－

x

，2)，

a

·

b

＝－4，则

a

＋2

b

与

b

的夹角为(

B

)

B123453.[2022全国卷甲]已知向量

a

＝(

m

，3)，

b

＝(1，

m

＋1).若

a

⊥

b

，则

m

＝

⁠.

12345

123455.[易错题]已知平面内三个向量

a

，

b

，

c

两两夹角相等，且｜

a

｜＝｜

b

｜＝1，｜

c

｜＝3，则｜

a

＋

b

＋

c

｜＝

⁠.

2或5

12345

B.3D.5

B例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5

例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5

11

例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5方法技巧求非零向量

a

，

b

的数量积的方法1.定义法：

a

·

b

＝｜

a

｜｜

b

｜cosθ.2.基底法：选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量

分别表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解.3.坐标法：已知条件中有(或隐含)正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，利用

a

·

b

＝

x

1

x

2＋

y

1

y

2求解.例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5

A.－2B.－1C.1D.2

C例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5

A.－3B.－2C.2D.3

C例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5命题点2

平面向量数量积的应用角度1

向量的模问题例2

(1)[2022全国卷乙]已知向量

a

＝(2，1)，

b

＝(－2，4)，则｜

a

－

b

｜＝

(

D

)A.2B.3C.4D.5

D例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5

例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5方法技巧求平面向量模的两种方法公式法几何法利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角

形法则作出向量，再利用余弦定理等求解.例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5

[解析]

∵

a

＋

b

＋

c

＝0，∴

c

＝－

a

－

b

，等式两边同时平方得2＝

a

2＋

b

2＋2

a

·

b

＝1＋1＋2

a

·

b

，∴

a

·

b

＝0.D例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5

例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5

例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5

例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5(2)[2022新高考卷Ⅱ]已知向量

a

＝(3，4)，

b

＝(1，0)，

c

＝

a

＋

tb

，若＜

a

，

c

＞＝

＜

b

，

c

＞，则

t

＝(

C

)A.－6B.－5C.5D.6

C例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5解法二因为＜

a

，

c

＞＝＜

b

，

c

＞，且

c

＝

a

＋

tb

，所以由向量加法的平行四边

形法则得｜

a

｜＝

t

｜

b

｜，易知｜

a

｜＝5，｜

b

｜＝1，所以

t

＝5.例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5方法技巧求平面向量夹角问题的三种方法定义法坐标法解三角形法可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解.注意向量夹角与三

角形内角的关系.例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5角度3

向量的垂直问题例4

(1)[2023新高考卷Ⅰ]已知向量

a

＝(1，1)，

b

＝(1，－1).若(

a

＋λ

b

)⊥(

a

＋μ

b

)，

则(

D

)A.λ＋μ＝1B.λ＋μ＝－1C.λμ＝1D.λμ＝－1[解析]因为

a

＝(1，1)，

b

＝(1，－1)，所以

a

＋λ

b

＝(1＋λ，1－λ)，

a

＋μ

b

＝(1＋

μ，1－μ)，因为(

a

＋λ

b

)⊥(

a

＋μ

b

)，所以(

a

＋λ

b

)·(

a

＋μ

b

)＝0，所以(1＋λ)(1＋μ)

＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.故选D.D例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5(2)[全国卷Ⅱ]已知单位向量

a

，

b

的夹角为60°，则在下列向量中，与

b

垂直的是

(

D

)A.a＋2bB.2a＋bC.a－2bD.2a－b

D例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5解法二根据条件，分别作出向量

b

与A，B，C，D四个选项对应的向量的位置关

系，如图所示.

ABCD由图易知，只有选项D满足题意.故选D.例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5

例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5方法技巧1.证明两个向量垂直的解题策略先计算出这两个向量的坐标或表示出两个向量，然后根据数量积的运算公式，计算

出这两个向量的数量积为0即可.2.已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数.例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5训练2(1)[2023广州市二检]已知两个非零向量

a

，

b

满足｜

a

｜＝3｜

b

｜，(

a

＋

b

)⊥

b

，则cos〈

a

，

b

〉＝(

D

)

D例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5(2)[2021全国卷甲]若向量

a

，

b

满足｜

a

｜＝3，｜

a

－

b

｜＝5，

a

·

b

＝1，则｜

b

｜

＝

⁠.

例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5命题点3

平面向量的应用例5

在日常生活中，我们会看到两人共提一个行李包的情况(如图).假设行李包所受

重力为

G

，所受的两个拉力分别为

F

1，

F

2.若｜

F

1｜＝｜

F

2｜，

F

1与

F

2的夹角为

θ，则下列结论不正确的是(

D

)D例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5

例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5方法技巧用向量方法解决实际问题的步骤例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5

B.6km/hC.7km/hC例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5[解析]连接

PM

，由题意得，当小货船的航程最短时，其航线为线段

PM

.

设小货船航行的速度为

v，水流的速度为v1，水流的速度与小货船航行的速度的合

速度为

v

2，作出示意图，如图所示.

在Rt△

PQM

中，(根据“

PQ

与河流的方向垂直”得到△

PMQ

的形状)

例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5易知

v

＝

v

2－

v1，｜

v

1｜＝3，｜v2｜＝5，

所以小货船航行速度的大小为7km/h，故选C.例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5

A.[－5，3]B.[－3，5]C.[－6，4]D.[－4，6]

D例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5

例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5

例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5

A.－2D.－1B例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5

例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5

例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5

例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5

例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5

例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5

例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5

思维帮·提升思维

快速解题

例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5

例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5

例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5

例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5

例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5

例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5

A.内心B.外心C.垂心D.重心

B例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5

例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5

A.外心B.重心C.内心D.垂心C例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5

例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5

例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5

例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5

①②③④

例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5

例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5

例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5

例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5(2)[多选/2023安徽淮北师大附中模拟]数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何

学》一书中有这样一个定理：三角形的重心、垂心和外心共线.这条线就是三角形的

欧拉线.在△

ABC

中，

O

，

H

，

G

分别是外心、垂心和重心，

D

为

BC

边的中点，则

下列四个选项中正确的是(

ABD

)A.GH＝2OGC.AH＝ODD.S△ABG＝S△BCG＝S△ACGABD例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5[解析]根据题意画出图形，如图所示.

例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5

例1训练1例2例3例4训练2例5训练3例6训练4例7例8例9例10训练5

A.｜e1－e2｜＝1D.a在e1上的投影向量为2e1ABD123

123

123

123

123

A.30°B.60°C.120°D.150°D123456789101112131415

123456789101112131415

123456789101112131415

A.0

C1234567891011121314153.[2023吉林长春质监]已知向量

a

与

b

的夹角为60°，｜

a

｜＝2，｜

b

｜＝1，则｜

a

－2

b

｜＝(

C

)A.1C.2

C123456789101112131415

1234567891011121314154.已知单位向量

a

，

b

满足｜

a

＋

b

｜＞1，则

a

与

b

夹角的取值范围是(

B

)

B123456789101112131415

1234567891011121314155.[2023河南安阳模拟]已知

a

＝(1，0)，

b

＝(0，1)，

c

＝

a

＋

tb

，

t

∈R，若

sin＜

a

，

c

＞＝sin＜

b

，

c

＞，则

t

＝(

B

)A.－1B.±1C.2D.±2

B1234567891011121