4.5 函数的应用（二）（解析版）

.5函数的应用（二）知识点一求函数的零点【【解题思路】探究函数零点的两种求法(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点．(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点【例1】（2024·山东青岛·二模）函数的零点为（

）A．0 B．1 C． D．【答案】B【解析】因为，令，解得，即函数的零点为1.故选：B.【变式】1．（23-24北京顺义·期末）函数的零点是（

）A． B． C．10 D．【答案】A【解析】令，可得，解得，故函数的零点是.故选：A.2．（2024湖南）函数的零点是（

）A．0 B．1 C．2 D．【答案】C【解析】由，设，则得，解得，从而，所以.故选：C.3．（2023高一上·全国·专题练习）若函数的两个零点是2和3，则函数的零点是．【答案】1和【解析】∵函数的两个零点是2和3，∴，解得，∴，令，解得或1∴的零点为1和.故答案为：1和4．（23-24高一上·河北石家庄·阶段练习）已知定义在上的函数为单调函数，且对任意，恒有，则函数的零点是.【答案】0【解析】令，由函数为上的单调函数，且，，得为常数，则，且，于是，又函数在上单调递增，且，因此，即，由，得，所以函数的零点是0.故答案为：0知识点二判断零点所在的区间【【解题思路】确定函数f(x)零点所在区间的常用方法(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上．(2)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．【例2-1】（2024辽宁·期末）已知函数，则的零点所在的区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数的定义域为，又函数，，在上单调递增，所以函数在上单调递增，又，，所以，所以零点所在的大致区间为.故选：B.【例2-2】（23-24高一下·云南曲靖·阶段练习）若函数在上是单调函数，且满足对任意，都有，则函数的零点所在的区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为函数在上是单调函数，，设，所以，所以，因为与在上单调递增，所以有唯一解，解得，所以，又，，故的零点所在的区间为.故选：B.【例2-3】（23-24高三上·浙江绍兴·期末）已知命题：函数在内有零点，则命题成立的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函数在上单调递增，由函数在内有零点，得，解得，即命题成立的充要条件是，显然成立，不等式、、都不一定成立，而成立，不等式恒成立，反之，当时，不一定成立，所以命题成立的一个必要不充分条件是.故选：D【变式】1．（23-24高一下·江苏扬州·期末）方程的解所在区间为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令，在上连续，且单调递增，对于A，因为，，所以的零点不在内，所以A错误，对于B，因为，，所以的零点不在内，所以B错误，对于C，因为，，所以的零点在内，所以方程的解所在区间为，所以C正确，对于D，因为，，所以的零点不在内，所以D错误，故选：C2．（2024安徽芜湖·阶段练习）已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为函数在单调递减，函数在上单调递增，所以在上单调递减，又，，所以函数在上存在唯一零点.故选：D.3．（23-24高一下·海南·阶段练习）函数的零点所在区间为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】当时，设，则，故在上是单调递增函数；又，，由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间为.故选：C.4．（23-24高一上·湖南株洲·期末）若方程的实根在区间上，则（

）A． B．2 C．或2 D．1【答案】C【解析】方程化为，分别做出方程左右两边的图象，从图象可知，方程，方程有两个分别在和之间的根，下面证明：方程在和之间各有一个实根，设，根据函数性质得在区间上是增函数，又，，则，由零点存在性定理知，在区间上仅有一个零点，即方程区间上仅有一个实根，同理可得方程区间上仅有一个实根，结合题意可知，或，故选：C.知识点三二分法概念的理解【【解题思路】运用二分法求函数的零点应具备的条件(1)函数图象在零点附近连续不断．(2)在该零点左右函数值异号．只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点．【例3-1】（23-24高一上·吉林延边·期末）下列函数中，不能用二分法求零点的是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】不能用二分法求零点的函数，要么没有零点，要么零点两侧同号；对于A，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；对于B，有唯一零点，但恒成立，故不可用二分法求零点；对于C，有两个不同零点，且在每个零点左右两侧函数值异号，故可用二分法求零点；对于D，有唯一零点，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点.故选：B.【例3-2】（23-24高一上·天津·阶段练习）下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是下图中的（

）A．B．C． D．【答案】C【解析】根据零点存在定理可知，能用二分法求零点的函数，在零点左右两侧的函数值应该是正负符号相反，对于A，两侧函数值符号相反，故可用二分法求交点横坐标；对于B，两侧函数值符号相反，故可用二分法求交点横坐标；对于C，图象与x轴有交点，图象在x轴及其上方，两侧函数值符号相同，故不可用二分法求交点横坐标；对于D，两侧函数值符号相反，故可用二分法求交点横坐标；故选：C【变式】1．（23-24高一上·湖北恩施·期末）下列方程中，不能用二分法求近似解的为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】对于A，在上单调递增，且，可以使用二分法，故A错误；对于B，在R上连续且单调递增，且，可以使用二分法，故B错误；对于C，，故不可以使用二分法，故C正确；对于D，在上单调递增，且，可以使用二分法，故D错误.故选：C2．（2023高一上·全国·专题练习）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】由二分法的定义，可知只有当函数在区间上的图象连续不断，且，即函数的零点是变号零点时，才能将区间一分为二，逐步得到零点的近似值．对各选项分析可知，选项A，B，D都符合，而选项C不符合，因为在零点两侧函数值不异号，因此不能用二分法求函数零点的近似值．故选：C.3．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）多选下列函数图象与轴均有交点，其中能用二分法求函数零点近似值的有（

）A．

B．

C．

D．

【答案】BCD【解析】根据二分法的定义，知函数在区间上的图象连续不断，且，即函数的零点是变号零点，才能将区间一分为二，逐步得到零点的近似值．对于A，因为零点左右两侧的函数值不变号，所以不能用二分法求函数零点的近似值，故A错误．对于BCD，三个函数图象均符合二分法求函数零点近似值的条件，故BCD正确；故选：BCD.知识点四用二分法求方程的近似解【【解题思路】利用二分法求方程的近似解的步骤(1)构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常取区间(n，n＋1)，n∈Z.(2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M.(3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点．【例4-1】（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）用二分法研究函数的零点时，第一次经过计算得，，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【解析】因为，由零点存在性知：零点，根据二分法，第二次应计算，即.故选：B.【例4-2】（23-24高一上·湖南·期末）用二分法求函数的一个正零点的近似值（精确度为时，依次计算得到如下数据；，关于下一步的说法正确的是（

）A．已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值B．已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值C．没有达到精确度的要求，应该接着计算D．没有达到精确度的要求，应该接着计算【答案】C【解析】由二分法的定义，可得正零点所在区间不断缩小，时的区间长度为，故没有达到精确的要求，应该接着计算的值.故选：C【变式】1．（23-24高一上·江苏苏州·期末）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程的一个近似根精确度为可以是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度为因为，所以，所以函数在内有零点，因为，满足精确度为，所以方程的一个近似根精确度为可以是区间内任意一个值包括端点值.故选：C.2．（23-24高一上·云南昆明·期末）若函数的一个正零点用二分法计算，零点附近函数值的参考数据如下：，，，，，，那么方程的一个近似根（精确度）为（

）A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5【答案】C【解析】因为，所以不必考虑端点；因为，所以不必考虑端点和；因为，，所以，所以函数在内有零点，因为，所以满足精确度0.1；所以方程的一个近似根（精确度0.1）是区间内的任意一个值（包括端点值），根据四个选项可知：.故选：C.3．（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）用二分法求函数的一个零点的近似值（精确度为0.1）时，依次计算得到如下数据：，，，，则下列说法正确的是（

）A．函数在上不一定有零点B．已经达到精确度，可以取1.375作为近似值C．没有达到精确度，应该接着计算D．没有达到精确度，应该接着计算【答案】D【解析】对于A，由，且连续，则根据函数零点存在定理知，在上一定有零点，故A错误；对于B，C，D，，没有达到精确度的要求，应该接着计算，故B错误，C错误，D正确．故选：D．重难点一零点的个数【【解题思路】判断函数零点个数的四种常用方法(1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点．(2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数．(3)结合单调性，利用函数零点存在定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数．(4)转化成两个函数图象的交点个数问题．【例5-1】（2025高三·全国·专题练习）函数的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】由函数的零点的个数，即为方程解的个数，即为函数与的图象的交点的个数，作出函数与的图象，如图所示，当时，函数与的图象有且仅有一个交点；当时，函数与的图象的交点为，有两个公共点，综上可得，函数有3个零点.故选：D.【例5-2】（23-24陕西汉中·期末）设函数,则的零点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】当时，令或，有2个零点；当时，令，即，结合函数的图象可知二者在时有1个交点，即此时有1个零点.综合可知，的零点个数为3.故选：D【例5-3】（23-24高一下·广东韶关·阶段练习）函数的零点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】函数的定义域为，当时，，显然函数在上都单调递减，因此函数在上单调递减，而，则函数在上有唯一零点；当时，，显然，因此函数在区间上至少各有一个零点，当时，由，得，则在上的零点即为函数的图象与直线的交点横坐标，在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图，

观察图象知，函数的图象与直线有两个交点，即有两个解，所以函数的零点个数为3.故选：D【变式】1．（23-24高一下·广西南宁·阶段练习）已知分段函数，则方程的解的个数是（

）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】B【解析】函数，由，得或，解得或，解得，所以方程有3个解.故选：B2．（2024高一上·湖南邵阳·竞赛）函数的零点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】函数的零点个数等价于方程的解得个数，即函数与的交点个数，作出函数与的图象如下图所示，由图象可知：函数与有且仅有两个不同交点，函数的零点个数为2.故选：C.3．（23-24高一上·甘肃武威·期末）已知函数则函数的零点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】当时，由，得或0（舍去）；当时，由解得或.故共有3个零点.故选：C.4（23-24高一下·浙江·期中）已知函数则函数的零点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】由题意可知，的零点个数可以转化为和函数的图象交点个数，它们的函数图象如图所示.故选：C．重难点二根据零点情况求参数范围【例6-1】（23-24浙江宁波·期末）若函数在区间内恰有一个零点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】若时，，则，满足题意，若，当，解得且，此时满足题意，若时，，此时，此时方程在只有一根，满足题意，若时，，此时，此时方程在只有一根，满足题意，当，得时，此时，此时方差的根为，满足题意，综上可得或故选：C【例6-2】（23-24高一上·广东茂名·期中）已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】方程有三个不同的实数根，即函数与函数的图象有三个不同交点.作函数的图象如下图所示，由图可得，.所以实数的取值范围是：.故选：B.【变式】1．（23-24高一上·安徽亳州·期末）若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为．【答案】【解析】因为在上均为增函数，所以函数在区间上为增函数，且函数图象连续不间断，故若在区间上存在零点，则解得．故常数a的取值范围为．故答案为：2．（22-23甘肃定西·阶段练习）已知函数，若关于的方程恰有三个实数根，则的取值范围为．【答案】【解析】关于的方程恰有三个实数根等价于函数与的图象的交点个数为3，的图象如图所示，由图可知当时，两函数图象有3个交点，所以的取值范围为，故答案为：3．（2024·宁夏银川）函数有两个零点,求a的范围【答案】【【解析】的零点两个,即的根有两个.即的交点有两个.而互为反函数,图像关于对称.当两个图像均与相切时,设切点横坐标为.分别求导,所以,所以.,即,所以.当时候,两图像有一个交点,当,两图像有两个交点,即的零点两个.综上所.故答案为:.4．（23-24高一下·辽宁抚顺·期中）若函数只有1个零点，则的取值范围是．【答案】【解析】由，得，设函数，由指数函数性质可知，函数在上单调递减，在上单调递增，且，，可作出的大致图象，如图所示，由图可知，的取值范围是．故答案为：.5．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若关于的方程有3个不相等的实数根，则的取值范围是．【答案】【解析】由的解析式作出的大致图像．如图所示：

方程有3个不等实数根等价于的图象与直线有3个不同的公共点，则．故答案为：.重难点三零点大小的比较【例7-1】（2024·广东梅州）三个函数，，的零点分别为，则之间的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为函数，，，都是增函数，所以函数，，均为增函数，因为，所以函数的零点在上，即，因为，所以函数的零点在上，即，因为，所以函数的零点在上，即，综上，．故选：B．【变式】1．（23-24高一下·河南·开学考试）已知函数的零点分别是，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，得，则为函数与交点的横坐标，为函数与交点的横坐标，为函数与交点的横坐标，在同一直角坐标系中，分别作出和的图象，如图所示，

由图可知，.故选：B2（23-24高一上·湖南株洲·期末）.已知函数的零点分别为，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为函数的零点分别为，可转化为与三个函数的交点的横坐标为，在同一坐标系下，画出函数与函数的图象，如图所示，结合图象可得：.故选：B.3（23-24高一上·湖北·阶段练习）已知函数，，的零点分别为则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题知得，即为函数与函数交点的横坐标，同理可知为函数与函数交点的横坐标，为函数与函数交点的横坐标，分别作出，，和的图像，由图像交点可得.故选：B4．（23-24高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）函数，，的零点分别为a，b，c，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】令，可得，因为，所以，，可得，所以；令，可得，因为，所以，，可得，所以；令，可得，因为，所以，，可得，所以；综上，.故选：A.重难点四零点之和【例8-1】（22-23高一上·全国·单元测试）是上的偶函数，若方程有五个不同的实数根，则这些根之和为（

）A．2 B．1 C．0 D．【答案】C【解析】因为函数是上的偶函数，所以函数图象关于轴对称，那么，即有5个实数根，可知其中4个实数根，有两对关于轴对称，另外一个为，所以这些根的和为0.故选：C【例8-2】（2024山东菏泽·期末）若，分别是方程，的根，则（

）A．2022 B．2023 C． D．【答案】B【解析】由题意可得是函数的图象与直线交点的横坐标，是函数图象与直线交点的横坐标，因为的图象与图象关于直线对称，而直线也关于直线对称，所以线段的中点就是直线与的交点，由，得，即线段的中点为，所以，得，故选：B【变式】1．（23-24高一上·宁夏石嘴山·期中）（多选）已知函数，若存在，使得，则的取值可以是（

）A． B．3 C． D．【答案】CD【解析】设，作出函数与的图象，如图：观察图形知，当时，直线与函数的图象有三个交点，点、关于直线对称，则，且函数在上为增函数，由，，得，因此，所以的取值可以是，.故选：CD2．（22-23江西南昌·期末）（多选）已知函数，若有四个不同的解且，则可能的取值为（）A． B． C． D．【答案】BC【解析】当时，，当时，，当时，，作出函数的图象如下，

则由图象可知，的图象与有4个交点，分别为，因为有四个不同的解且，所以，且，且，，又因为所以即，所以，所以，且，构造函数，因为函数在上都是减函数，所以函数在上单调递减，所以，即，所以.故选：BC.重难点五函数模型的应用【【解题思路】应用函数模型解决问题的基本过程1．审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．2．建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型．3．求模——求解数学模型，得出数学模型．4．还原——将数学结论还原为实际问题．【例9-1】（24-25高一上·全国·课堂例题）天文学中天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足．其中星等为的星的亮度为．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“宿二”的亮度是“天津四”的倍，则与最接近的是（）（注：当较小时，）A．1.24 B．1.25 C．1.26 D．1.27【答案】C【解析】根据题意可得，所以，解得，根据参考公式可得，故与最接近的是1.26．故选：C.【变式】1．（23-24高一上·云南昆明·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车，都属于违法驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时的速度减少，要保证他不违法驾车，则他至少要休息(结果精确到小时，参考数据：)（

）A．小时 B．小时 C．小时 D．小时【答案】C【解析】设此人休息小时才能驾驶，由题意可得，即，由于函数再定义域内单调递减，所以，所以此人至少要休息小时.故选：C2．（24-25高一上·上海·随堂练习）2020年12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆．嫦娥五号返回舱之所以能达到如此高的再入精度，主要是因为它采用弹跳式返回弹道，实现了减速和再入阶段弹道调整，这与“打水漂”原理类似（如图所示）．现将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的90%，若要使石片的速率低于，则至少需要“打水漂”的次数为．（参考数据：，）【答案】6【解析】设石片第n次“打水漂”时的速率为，则．由，得，则，即，则，故至少需要“打水漂”的次数为6．故答案为：6.3．（23-24高一上·广西崇左·期中）双碳战略之下，新能源汽车发展成为乘用车市场转型升级的重要方向．根据工信部最新数据显示，截至2022年一季度，我国新能源汽车已累计推广突破1000万辆大关．某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产（千辆）获利（万元），；该公司预计2022年全年其他成本总投入为万元．由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求．记2022年的全年利润为（单位：万元）．(1)求函数的解析式；(2)当2022年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由．【答案】(1)(2)产量为5千辆时，该企业利润最大，最大利润是380万元【解析】（1）由已知，，又整理得（2）当时，，则当时，；当时，，即时，，，的最大值为380，故当2022年产量为5千辆，该企业利润最大，最大利润是380万元．单选题1．（2024湖北）下列关于二分法的叙述中，正确的是（

）A．用二分法可求所有函数零点的近似值B．用二分法可求函数零点的近似值，可精确到小数点后任一位C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成D．只能用二分法求函数的零点【答案】B【解析】A选项，由二分法求函数零点近似值需要函数图象在零点附近连续且区间端点函数值异号，A错误；B选项，二分法，反复求区间中点，确定函数值符号，故可求函数零点的近似值，可精确到小数点后任一位，B正确；C选项，二分法是一种程序化的运算过程，反复求区间中点，确定函数值符号，因而可以通过编程，在计算机上完成，C错误；D选项，求零点的方法有解方程法、作图法等，D错误．故选：B．2．（23-24高一下·江西吉安·期末）已知某种铅蓄电池由于硫酸浓度的降低，每隔一个月其性能指数都要损失10%，且一般认为当该种类型的电池的性能指数降低到原来的以下时就需要更换其中的硫酸来达到持久续航，则最多使用（

）个月就需要更换纯硫酸（参考数据，）A．11 B．12 C．13 D．14【答案】C【解析】设最初该种电池的性能指数为k，通过月后性能指数变为，则．由题意得，即，两边取常用对数，可得．∵，∴．又，故最多使用13个月就需要更换纯硫酸．故选：C.3．（2023·宁夏银川）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】若函数在区间上存在零点，由函数在的图象连续不断，且为增函数，则根据零点存在定理可知，只需满足，即，解得，所以实数的取值范围是.故选：D.4．（2023高一上·江苏·专题练习）若函数在存在零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．∪【答案】D【解析】当时，，不存在零点；当时，是一次函数，必然单调，故只需即可，即，解得或，即的取值范围是∪，故选：D5．（2024四川德阳·期末）函数有两个零点的充分不必要条件是（

）A． B．C．或 D．【答案】A【解析】函数有两个零点，则有2个不等实数根，即或，由于，故为函数有两个零点的充分不必要条件，显然，均不能推出或，不符合题意；或是函数有两个零点的充分必要条件，故选：A6．（2024广东江门·期末）已知，，的零点分别是，，，则，，的大小顺序是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函数，，的零点，即为函数分别与函数、、的图象交点的横坐标，如图所示：由图可得.故选：B7．（2024江苏南通·阶段练习）已知，若互不相等的实数，，满足，则的取值范围为（

）．A． B． C． D．【答案】A【解析】作函数的图象,如下图，当时,的图象为开口向上的抛物线的一部分,对称轴为,最小值为；当时,为直线的一部分.设,,由图象可知,,令,解得,则,且,则,即.故选：A8．（2023·上海·专题练习）已知函数，且m，n是方程的两个根（m＜n），则实数a、b、m、n的大小关系可能是（

）A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．m＜a＜n＜b D．a＜m＜b＜n【答案】B【解析】因为函数，令，a、b为的零点，函数的图象是由的图象向上平移一个单位得到的，又m，n是方程的两个根（m＜n），如图所示：由图知：a＜m＜n＜b，故选：B.多选题9．（23-24高一上·浙江温州·期末）设，某同学用二分法求方程的近似解精确度为，列出了对应值表如下：依据此表格中的数据，方程的近似解不可能为（

）A． B． C． D．【答案】ABD【解析】由题中参考数据可得根在区间内，故通过观察四个选项，符合要求的方程近似解可能为，不可能为ABD选项．故选：ABD．10．（23-24高一上·河南驻马店·阶段练习）若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下：，；，；．那么可以作为方程的一个近似解的是（精确度为0.1）（

）A．1.35 B．1.40 C．1.43 D．1.50【答案】BC【解析】因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以不满足精确度；因为，所以，所以函数在内有零点，因为，所以满足精确度；所以方程的一个近似根（精确度）是区间内的任意一个值，根据四个选项可知选BC.故选：BC11．（23-24高一上·河南郑州·期中）若二次函数的一个零点恰落在内，则实数的值可以是（

）A． B． C． D．1【答案】BC【解析】，则，函数在上单调递增，当，，BC满足.故选：BC.填空题12．（23-24高一下·河南信阳·开学考试）函数，若关于的方程恰有三个实数根，则的取值范围是.【答案】【解析】作出函数和的图象，如图所示由图象可知，在上单调递增，在上单调递减.方程恰有三个实数根转化为函数的图象与的图象恰有三个交点，结合函数的图象知，要使函数的图象与的图象恰有三个交点，只需满足，所以的取值范围为.故答案为：.13．（23-24高一上·上海虹口·期末）设，则函数的所有零点之和为．【答案】【解析】由一元二次函数的图象和性质可知函数的图象如图所示，根据图象可知共有个零点，且个零点关于对称，所以零点之和为，故答案为：14．（22-23高一上·云南昆明·期末）已知是定义在区间的函数，则函数的零点是；若方程有四个不相等的实数根，，，，则.【答案】2，820【解析】由题意可知，令，即，解得或，故函数在内的零点为和；方程有四个不相等的实数根，，即为与的四个交点的横坐标，方程即，，即，当即时，方程可转化为即；当时，方程可转化为即；故要有四个实数根，则两种情况都有两个不同的实数根，不妨设为的两根，则，则为的两根，则，则；故答案为:2，8;20.解答题15．（23-24高一上·吉林延边·阶段练习）我们一般使用分贝（符号是）来表示声音强度（瓦/平方米，符号是）的等级，强度为的声音对应的等级为，科学研究表明，它们满足关系：，其中为修正系数（常数），为