第一章 第3讲 等式性质与不等式性质

第一章集合、常用逻辑用语与不等式第3讲等式性质与不等式性质

课标要求命题点五年考情命题分析预测梳理等式

的性质，

理解不等

式的概

念，掌握

不等式的

性质.比较两个数(式)的

大小2022全国卷甲T12；2020全国卷ⅢT12本讲很少单独命题，常与其他知识综合

命题，命题热点有比较大小，不等式性

质的应用等，主要考查学生的数学运算

和逻辑推理素养.题型以选择题和填空题

为主，难度中等，预计2025年高考命题

点变化不大，复习备考时要掌握等式与

不等式的性质，并能充分运用.不等式的性质及其应用2020新高考卷

ⅠT11；2019全国卷ⅡT6

1.两个实数比较大小的方法关系方法作差法作商法a＞ba－b＞0a＝ba－b＝0a＜ba－b＜0＜

＞

2.等式的性质对称性如果a＝b，那么b＝a传递性如果a＝b，b＝c，那么a＝c可加(减)性如果a＝b，那么a±c＝b±c可乘性如果a＝b，那么ac＝bc可除性3.不等式的性质性质性质内容对称性a＞b⇔③

⁠传递性a＞b，b＞c⇒④

⁠可加性a＞b⇔a＋c＞b＋c可乘性a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒⑤

⁠同向可加性a＞b，c＞d⇒⑥

⁠同向同正可乘性a＞b＞0，c＞d＞0⇒⑦

⁠同正可乘方性a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N，n≥2)b＜a

a＞c

ac＜bc

a＋c＞b＋d

ac＞bd

1.已知

t

＝2

a

＋2

b

，

s

＝

a

2＋2

b

＋1，则(

C

)A.t＞sB.t≥sC.t≤sD.t＜s[解析]因为

t

－

s

＝(2

a

＋2

b

)－(

a

2＋2

b

＋1)＝－(

a

－1)2≤0，所以

t

≤

s

.故选C.C1234

A.A≤BB.A≥BC.A＜BD.A＞B

B12343.[多选]下列说法不正确的是(

AD

)A.一个不等式的两边同时加上或同时乘以同一个数，不等号方向不变D.若x＞y，则x2＞y2AD12344.[教材改编]已知2＜

a

＜3，－2＜

b

＜－1，则2

a

－

b

的取值范围是

⁠.[解析]

∵2＜

a

＜3，∴4＜2

a

＜6

①.∵－2＜

b

＜－1，∴1＜－

b

＜2

②.①＋②

得，5＜2

a

－

b

＜8.(5，8)

1234

A.A＜BB.A＞BC.A＝BD.不确定A

例1训练1例2例3训练2(2)eπ·πe与ee·ππ

的大小关系为

⁠.

eπ·πe＜ee·ππ

例1训练1例2例3训练2方法技巧比较数(式)大小的常用方法1.作差法：(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)得出结论.2.作商法：(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小关系；(4)得出结论.3.构造函数，

利用函数的单调性比较大小.例1训练1例2例3训练2训练1

(1)若

a

＞

b

＞1，

P

＝

a

e

b

，

Q

＝

b

e

a

，则

P

，

Q

的大小关系是(

C

)A.P＞QB.P＝QC.P＜QD.不能确定C

例1训练1例2例3训练2(2)[多选/2023江苏省南京市调研]已知

a

＞

b

＞0，则(

AC

)C.a3－b3＞2(a2b－ab2)AC例1训练1例2例3训练2

例1训练1例2例3训练2

例1训练1例2例3训练2命题点2

不等式的性质及其应用

角度1

不等式的性质例2

(1)[全国卷Ⅱ]若

a

＞

b

，则(

C

)A.ln(a－b)＞0B.3a＜3bC.a3－b3＞0D.｜a｜＞｜b｜[解析]

解法一由函数

y

＝lnx

的图象(图略)知，当0＜

a

－

b

＜1时，ln(

a

－

b

)＜

0，故A不正确；因为函数

y

＝3

x

在R上单调递增，所以当

a

＞

b

时，3

a

＞3

b

，故B不

正确；因为函数

y

＝

x

3在R上单调递增，所以当

a

＞

b

时，

a

3＞

b

3，即

a

3－

b

3＞0，

故C正确；当

b

＜

a

＜0时，｜

a

｜＜｜

b

｜，故D不正确.故选C.C解法二当

a

＝0.3，

b

＝－0.4时，ln(

a

－

b

)＜0，3

a

＞3

b

，｜

a

｜＜｜

b

｜，故排除

A，B，D.故选C.例1训练1例2例3训练2(2)[多选/2023湖南省邵阳二中模拟]如果

a

，

b

，

c

满足

c

＜

b

＜

a

，且

ac

＜0，那么

下列结论一定正确的是(

ACD

)A.ab＞acB.cb2＜ab2C.c(b－a)＞0D.ac(a－c)＜0[解析]由

c

＜

b

＜

a

，且

ac

＜0，得

a

＞0，

c

＜0.对于A，由

c

＜

b

，

a

＞0得

ac

＜

ab

，故A正确.对于B，取

c

＝－1，

b

＝0，

a

＝1，显然B不一定正确.对于C，

b

－

a

＜0，

c

＜0，故

c

(

b

－

a

)＞0，故C正确.对于D，

ac

＜0，

a

－

c

＞0，故

ac

(

a

－

c

)＜

0，故D正确.故选ACD.ACD例1训练1例2例3训练2方法技巧判断不等式是否成立的常用方法(1)利用不等式的性质验证，应用时注意前提条件；(2)利用特殊值法排除错误选项，进而得出正确选项；(3)根据式子特点，构造函数，利用函数的单调性进行判断.例1训练1例2例3训练2

A.(－3，－1)C.(－2，－1)

A例1训练1例2例3训练2(2)[2024湖北孝感部分学校模拟]已知实数

a

，

b

满足－3≤

a

＋

b

≤2，－1≤

a

－

b

≤4，则3

a

－2

b

的取值范围为

⁠.

[－4，11]

例1训练1例2例3训练2方法技巧利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，解决的方法是先利用待定系数法建

立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再利用不等式的性质求解.例1训练1例2例3训练2

A例1训练1例2例3训练2

例1训练1例2例3训练2(2)[多选/2024山东省鄄城县第一中学模拟]已知

a

，

b

，

c

∈R，则下列命题为真命题

的是(

ABC

)A.若bc2＜ac2，则b＜aABC例1训练1例2例3训练2

例1训练1例2例3训练2

1.[命题点1/多选/2024黑龙江哈尔滨模拟]已知偶函数

f

(

x

)在(－∞，0)上单调递减，

且

f

(－1)＝0.若

a

＝

f

(20.7)，

b

＝

f

(0.5－0.9)，

c

＝

f

(log0.70.9)，则(

ACD

)A.b2＞a2D.b＞a＋cACD12

12

B.｜a｜＋b＞0D.lna2＞lnb2AC12

121.[2024四川广安模拟]已知

P

＝

a

2＋3，

Q

＝4

a

－1，则

P

，

Q

的大小关系是(

A

)A.P≥QB.P＞QC.P≤QD.P＜Q[解析]

P

＝

a

2＋3，

Q

＝4

a

－1，

P

－

Q

＝

a

2＋3－4

a

＋1＝(

a

－2)2≥0，故

P

≥

Q

，故选A.A1234567891011121314152.[2022上海高考]已知实数

a

，

b

，

c

，

d

满足：

a

＞

b

＞

c

＞

d

，则下列选项中正确

的是(

B

)A.a＋d＞b＋cB.a＋c＞b＋dC.ad＞bcD.ac＞bd[解析]对于选项A，如取

a

＝4，

b

＝3，

c

＝2，

d

＝－4，此时

a

＋

d

＜

b

＋

c

，故

A错误；对于选项B，

a

＋

c

＞

b

＋

c

＞

b

＋

d

，故B正确；对于选项C，D，如取

a

＝4，

b

＝－1，

c

＝－2，

d

＝－3，此时

ad

＜

bc

，

ac

＜

bd

，故C，D错误.故选B.B1234567891011121314153.[2024陕西西安模拟]若

a

＜

b

＜0＜

c

＜

d

，则(

C

)A.ac＜adB.a－c＞b－d

C123456789101112131415

A.m＜n＜pB.n＜m＜pC.p＜m＜nD.p＜n＜m

A1234567891011121314155.[2024山东烟台模拟]已知

x

＞

y

＞

z

，

x

＋

y

＋

z

＝0，则下列不等式成立的是

(

B

)A.xy＞yzB.xy＞xzC.xz＞yzD.x｜y｜＞｜y｜z[解析]因为

x

＞

y

＞

z

，

x

＋

y

＋

z

＝0，所以

x

＞0，

z

＜0，

y

的符号无法确定.对于A，由题意得

x

＞

z

，若

y

＜0，则

xy

＜0＜

yz

，故A错误；对于B，因为

y

＞

z

，

x

＞0，所以

xy

＞

xz

，故B正确；对于C，因为

x

＞

y

，

z

＜0，

所以

xz

＜

yz

，故C错误；对于D，当｜

y

｜＝0时，

x

｜

y

｜＝｜

y

｜

z

，故D错误.故选B.B1234567891011121314156.[2024广西柳州模拟]一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户

面积与地板面积的比应该不小于10％，而且这个比值越大，采光效果越好.若同时增

加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果(

B

)A.变坏了B.变好了C.不变D.无法判断B123456789101112131415

1234567891011121314157.[多选]若

a

＞0＞

b

＞－

a

，

c

＜

d

＜0，则下列结论正确的是(

BCD

)A.ad＞bcC.a－c＞b－dD.a(d－c)＞b(d－c)

BCD1234567891011121314158.[多选]若

a

＞0，

b

＞0，则使

a

＞

b

成立的充要条件是(

ABD

)A.a2＞b2B.a2b＞ab2

ABD1234567891011121314159.[多选/2024安徽模拟]已知2＜

x

＜3，－2＜

y

＜1，则下列选项正确的是(

CD

)B.2＜xy2＜12C.－6＜xy＜3D.3＜2x－y＜8

CD12345678910111213141510.[2024安徽省淮南市模拟]已知1≤

a

－

b

≤2，2≤

a

＋

b

≤4，则4

a

－2

b

的取值范

围是

⁠.

[5，10]

123456789101112131415

A.a＜b＜cB.c＜b＜aC.c＜a＜bD.b＜a＜c

B

123456789101112131415

A.①B.②C.③D.④C123456789101112131415[解析]设原价为1，对于①，降价后的价格为(1－

a

％)(