第六章 第4讲 余弦定理、正弦定理

第六章平面向量、复数第4讲余弦定理、正弦定理

课标要求命题点五年考情命题分析预测借助向量的运算，探索三角

形边长与角度的关系，掌握

余弦定理、正

弦定理.利用正、

余弦定理解三角形2023新高考卷ⅠT17；2023新高考卷ⅡT17；2023全国卷乙T4；2023全国卷甲T16；2022新高考卷ⅠT18；2022新高考卷ⅡT18；2022全国卷甲T16；2021全国卷甲T8；2021全国卷乙T15；2021新高考卷ⅠT19；2021浙江T14；2020全国卷ⅠT16；2020全国卷ⅡT17；2020全国卷ⅢT7；2020新高考卷ⅠT17；2019全国卷ⅠT17；2019全国卷ⅡT15；2019全国卷ⅢT18本讲每年必考，主要考查正、余弦定理的应用，如求解三角形的边长、角度、周长、面积等问题，也会作为方法求解其他章节问题，难度中等.预计2025年高考命题稳定，备考时要重视正、余弦定理的应用.课标要求命题点五年考情命题分析预测借助向量的运

算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理.判断三角形的形状2021新高考卷ⅡT18本讲每年必考，主要考查正、余弦定理的应用，如求解三角形的边长、角度、周长、面积等问题，也会作为方法求解其他章节问题，难度中等.预计2025年高考命题稳定，备考时要重视正、余弦定理的应用.与面积、周长有关的问题2023全国卷乙T18；2022全国卷乙T17；2022新高考卷ⅡT18；2022北京T16；2021北京T16；2021新高考卷ⅡT18；2020全国卷ⅡT17；2019全国卷ⅢT18

1.余弦定理、正弦定理

在△

ABC

中，若角

A

，

B

，

C

所对的边分别是

a

，

b

，

c

，

R

为△

ABC

的外接圆半

径，则定理余弦定理正弦定理内容a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝①

⁠；c2＝②

⁠.c2＋a2－2cacosB

a2＋b2－2abcosC

2R

定理余弦定理正弦定理变形

2RsinB

2RsinC

sinA∶sinB∶sinC

2.在△

ABC

中，若已知角

A

，

B

所对的边

a

，

b

和角

A

，则解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形

关系式a＜bsinAa＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的个数无解⑪

⁠⑫

⁠⑬

⁠一解无解一解

两解

一解

内切圆

1.以下说法正确的是(

A

)A.在△ABC中，A＞B是sinA＞sinB的充要条件B.在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则△ABC为锐角三角形C.在△ABC中，若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形D.三角形中的三边之比等于相应的三个内角之比

A12345

A.1D.3[解析]由余弦定理得

AC

2＝

AB

2＋

BC

2－2

AB

·

BC

·cos

B

，得

BC

2＋2

BC

－15＝

0，解得

BC

＝3或

BC

＝－5(舍去).故选D.D123453.[多选]记△

ABC

的内角

A

，

B

，

C

的对边分别为

a

，

b

，

c

，则符合下列条件的△

ABC

有且只有一个的是(

AC

)B.a＝1，b＝2，c＝3C.b＝c＝1，B＝45°D.a＝1，b＝2，A＝100°

AC123454.已知2

a

＋1，

a

，2

a

－1是钝角三角形的三边，

则实数

a

的取值范围是

⁠.

(2，8)

12345

12345

C例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4

例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4

例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4

A.6B.5C.4D.3

A例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4

B例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4

A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

A例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4

例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4

等边三角形

例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4方法技巧判断三角形形状的方法(1)化为边：通过正、余弦定理将角化边，利用因式分解、配方等得出边之间的关系

进行判断.判断技巧：a2＋b2＜c2cosC＜0C为钝角三角形为钝角三角形a2＋b2＝c2cosC＝0C为直角三角形为直角三角形a2＋b2＞c2cosC＞0C为锐角无法判断(只有C为最大角时才可得出三

角形为锐角三角形)例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4(2)化为角：通过正、余弦定理将边化角，通过三角恒等变换公式、三角形的内角和

定理得出角的大小或角之间的关系.注意(1)不能随意约掉公因式，要移项、提取公因式，否则会有遗漏一种形状的可

能.(2)注意挖掘隐含条件，在变形过程中注意角的范围对三角函数值的影响.例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4训练2

[2021新高考卷Ⅱ]在△

ABC

中，角

A

，

B

，

C

所对的边分别为

a

，

b

，

c

，

b

＝

a

＋1，

c

＝

a

＋2.(1)若2sin

C

＝3sin

A

，求△

ABC

的面积.

例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4(2)是否存在正整数

a

，使得△

ABC

为钝角三角形？若存在，求

a

；若不存在，说明

理由.

例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4命题点3

与面积、周长有关的问题角度1

面积问题例3

[2023全国卷乙]在△

ABC

中，已知∠

BAC

＝120°，

AB

＝2，

AC

＝1.(1)求sin∠

ABC

；

例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4(2)若

D

为

BC

上一点，且∠

BAD

＝90°，求△

ADC

的面积.

例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4

例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4

例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4角度2

周长问题例4

[2022全国卷乙]记△

ABC

的内角

A

，

B

，

C

的对边分别为

a

，

b

，

c

，

已知sin

C

sin(

A

－

B

)＝sin

B

sin(

C

－

A

).(1)证明：2

a

2＝

b

2＋

c

2；

例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4解法二因为

A

＋

B

＋

C

＝π，所以sin

C

sin(

A

－

B

)＝sin(

A

＋

B

)sin(

A

－

B

)＝sin2

A

cos2

B

－cos2

A

sin2

B

＝

sin2

A

(1－sin2

B

)－(1－sin2

A

)sin2

B

＝sin2

A

－sin2

B

.

同理有sin

B

sin(

C

－

A

)＝sin(

C

＋

A

)sin(

C

－

A

)＝sin2

C

－sin2

A

，所以sin2

A

－sin2

B

＝sin2

C

－sin2

A

，由正弦定理可得2

a

2＝

b

2＋

c

2.例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4

(2)由(1)及

a

2＝

b

2＋

c

2－2

bc

cos

A

得，

a

2＝2

bc

cos

A

，所以2

bc

＝31.因为

b

2＋

c

2＝2

a

2＝50，所以(

b

＋

c

)2＝

b

2＋

c

2＋2

bc

＝81，得

b

＋

c

＝9，所以△

ABC

的周长为

a

＋

b

＋

c

＝14.例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4方法技巧与周长有关问题的解题思路(1)若边长易求，直接求出边长，进而求出周长；(2)若边长不易求，可利用整体思想，构造以两边长的和为未知数的方程求解，进而

求出周长.例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4

例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4

例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4

C.12D.16B例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4

例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4

例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4方法技巧射影定理：在△

ABC

中，

a

，

b

，

c

分别为内角

A

，

B

，

C

的对边，则

a

＝

b

cos

C

＋

c

cos

B

，

b

＝

a

cos

C

＋

c

cos

A

，

c

＝

a

cos

B

＋

b

cos

A

.

例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4

例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4

例1训练1例2训练2例3例4训练3例5训练4

B12345

12345

123453.[命题点1/2024杭州市质检]已知四边形

ABCD

是一个圆的内接四边形，如图，若

AB

＝1，

BC

＝3，

CD

＝

DA

＝2.(1)求线段

BD

的长；

12345

12345

12345

12345

12345

12345

12345

12345

A.1B.2C.3D.4[解析]由余弦定理得

b

2＝

a

2＋

c

2－2

ac

cos

B

＝9＋

c

2－3

c

＝13，即

c

2－3

c

－4＝

0，解得

c

＝－1(舍去)或

c

＝4，∴

c

＝4.故选D.D12345678910111213141516

A12345678910111213141516

A.6B.8C.4D.2

A123456789101112131415164.在△

ABC

中，

D

为边

BC

上一点，

AD

＝6，

BD

＝3，∠

ABC

＝45°，则

sin∠

ADC

的值为(

C

)

C123456789101112131415165.

[设问创新/多选]黑板上有一道解三角形的习题，求解过程是正确的，但一位同学

不小心把其中一部分擦去了，现在只能看到：在△

ABC

中，内角

A

，

B

，

C

的对边

分别为

a

，

b

，

c

，已知

a

＝2，……，解得

B

＝60°.根据以上信息，你认为下面哪个

选项可以作为这个习题的其余已知条件？(

ABD

)B.A＝30°，c＝4ABD12345678910111213141516

123456789101112131415166.[多选]在△

ABC

中，内角

A

，

B

，

C

的对边分别为

a

，

b

，

c

，下列条件能判断△

ABC

是钝角三角形的有(

BC

)A.a＝6，b＝5，c＝4D.b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosCBC12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

钝角三角形

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

12345678910111213141516

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定C12345678910111213141516

12345678910111213141516解法二延长

AD

到

E

使

AD

＝

DE

，连接

BE

，

CE

，则四边形

ABEC

是平行四边

形，

AE

＝2

AD

，所以

AE

2＋

BC

2＝2(

AB

2＋

AC

2)，所以

BC

2＝14＞

AB

2＋

AC

2，则

△

ABC

为钝角三角形.故选C.

1234567891011121314151612.

[2024湖北部分学校联考]在△

ABC

中，角

A

，

B

，

C

的对边分别为

a

，

b

，

c

，

b

＝3，

BD

为

AC

边上的中线，

BD

＝2，且

a

cos

C

－2

b

cos∠

ABC

＋

c

cos

A

＝0，则

△

ABC

的面积为(

C

)A.2

C12345678910111213141516

1234567891011121314151613.[多选]在△

ABC

中，内角

A

，

B

，

C

所对的边分别为

a

，

b

，

c

，已知(

b

＋

c

)∶(

c

＋

a

)∶(

a

＋

b

)＝4∶5∶6，则下列结论正确的是(

ABD

)A.sinA∶sinB∶sinC＝7∶5∶3C