4.4 对数函数（解析版）

.4对数函数知识点一对数函数的概念及应用【【解题思路】判断一个函数是对数函数的方法【例1-1】（23-24高一·全国·课堂例题）下列函数是对数函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】在对数函数的定义表达式（且）中，前面的系数必须是1，自变量在真数的位置上，否则不是对数函数，所以只有选项C满足定义.故选：C.【例1-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）设（且），若图象经过和，则．【答案】/【解析】因为，所以．故答案为：.【变式】1．（2024高一·全国·专题练习）已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（

）A．①②③ B．③④⑤C．③④ D．②④⑥【答案】C【解析】根据对数函数的定义，只有符合（且）形式的函数才是对数函数，其中x是自变量，a是常数，易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；③中，是对数函数；④中，是对数函数；⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数.故选：C.2．（22-23高一上·全国·课后作业）（多选）下列函数为对数函数的是（

）A．（，且） B．C． D．【答案】AC【解析】形如（，且）的函数为对数函数，对于A，由，且，可知，且，故A符合题意；对于B，不符合题意；对于C，符合题意；对于D，不符合题意；故选：AC.3．（23-24高三上·上海静安·阶段练习）点，都在同一个对数函数上，则t=.【答案】9【解析】设对数函数为，因为在函数上，所以，解得；因为也在函数上，所以，解得.故答案为：9知识点二对数函数有关的定义域【【解题思路】求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则(1)分母不能为0.(2)根指数为偶数时，被开方数非负．(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.【例2-1】（23-24高二上·四川成都·期末）函数的定义域为.【答案】【解析】由题意或，解得或，所以函数的定义域为.故答案为：【例2-2】（2024高一·全国·专题练习）若函数的定义域为，则的范围为.【答案】【解析】由于函数的定义域是，故条件即为，这等价于对任意实数成立.若对任意实数成立，取知，即；若，则对任意实数都有，故对任意实数成立.综上，的取值范围是.故答案为：.【变式】1．（23-24高一上·湖北荆门·期末）函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由.所以函数的定义域为故选：B2．（24-25高一上·上海·课后作业）函数的定义域为．【答案】【解析】函数的定义域需满足不等式，得或，所以函数的定义域是.故答案为：3．（24-25高一上·上海·课后作业）求下列函数的定义域：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【解析】（1）要使函数有意义，需满足，解得或．故所求函数的定义域为．（2）要使函数有意义，需，且，即，且，所以，解得，故所求函数的定义域为知识点三对数函数模型的应用【【解题思路】对数函数应用题的解题思路(1)依题意，找出或建立数学模型．(2)依实际情况确定解析式中的参数．(3)依题设数据解决数学问题．(4)得出结论．【例3】（23-24贵州遵义·期末）年一位丹麦生物化学家提出溶液值，亦称氢离子浓度指数、酸碱值，是溶液中氢离子活度的一种标度，其中源自德语，意思是浓度，代表氢离子.的定义式为：，指的是溶液中氢离子活度.若溶液甲中氢离子活度为，溶液乙中氢离子活度为.则溶液甲的值与溶液乙的值的差约为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可知，溶液甲的值与溶液乙的值的差为.故选：C.【变式】1．（2024山东青岛）中国的技术世界领先，其数学原理之一便是著名的香农公式：.它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率（单位：）取决于信道宽度（单位：）､信道内信号的平均功率（单位：）、信道内部的高斯噪声功率（单位：）的大小，其中叫做信噪比，按照香农公式，若信道宽度变为原来倍，而将信噪比从提升至，则大约增加了（

）（附：）A． B． C． D．【答案】D【解析】当时，；当时，信道宽度变为原来倍，.因为.故选：D.2．（2024湖南衡阳·期末）2018年5月至2019年春，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蝗虫迅速繁衍量指数增长，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为6%，最初有只，则大约经过（）天能达到最初的1600倍(参考数据：ln1.06≈0.0583，ln1.6≈0.4700，ln1600≈7.3778，ln6000≈8.6995.A．126 B．150 C．197 D．199【答案】A【解析】设经过天能达到最初的1600倍故故故选：A3．（2024北京海淀·期末）声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为；一般说话时，声音的等级约为，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（

）A．105倍 B．108倍 C．1010倍 D．1012倍【答案】B【解析】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为，，，，，所以，因此，喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍.故选：B知识点四对数函数过定点【例4-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）函数（且）恒过定点．【答案】【解析】令，得，此时，所以函数（且）恒过定点.故答案为：.【例4-2】（24-25高一上·上海·随堂练习）指数函数（且）过点，则经过点.【答案】【解析】由（且）可知，时，，则点为，由可得，两边取对数得，，交换可得，，即与是一对反函数，图象关于轴对称，故经过点.故答案为：【例4-3】（2024·陕西渭南）已知直线（，）过函数（，且）的定点T，则的最小值为.【答案】【解析】令时，可得，可知函数，且的图象恒过定点，因为定点在直线上，可得，且，则，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故答案为：.【变式】1．（24-25高一上·上海·单元测试）函数（且）过定点．【答案】【解析】令且可得，将代入可得，故定点为，故答案为：2（24-25高一上·上海·课堂例题）设且，函数的图像恒过定点，则点的坐标是．【答案】【解析】因为的图象恒过定点,所以函数的图象恒过定点.故答案为：.3．（2024·陕西西安）函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为．【答案】8【解析】因为，（且），所以函数（且）的图象恒过定点，所以，所以，，，当且仅当，即等号成立，即的最小值为.故答案为：.知识点五对数函数的图象及应用【【解题思路】对数函数图象的变换方法(1)作y＝f(|x|)的图象时，保留y＝f(x)(x≥0)图象不变，x<0时y＝f(|x|)的图象与y＝f(x)(x>0)的图象关于y轴对称．(2)作y＝|f(x)|的图象时，保留y＝f(x)的x轴及上方图象不变，把x轴下方图象以x轴为对称轴翻折上去即可．(3)有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律．(4)y＝f(－x)与y＝f(x)关于y轴对称，y＝－f(x)与y＝f(x)关于x轴对称，y＝－f(－x)与y＝f(x)关于原点对称．【例5-1】（23-24高一上·云南昆明·期末）如图所示，函数图像①②③④⑤⑥⑦⑧中不属于函数：，的是（

）A．①⑤ B．②⑥C．③⑦ D．④⑧【答案】B【解析】由指数函数的图像性质可知，①②③④为指数函数图像，且③④为单调递增的指数函数，取可知，③④分别对应，又①④图像关于轴对称，则①对应，即②不属于；由对数函数的图像性质可知，⑤⑥⑦⑧为对数函数图像，其中⑦⑧为单调递减的对数函数，由“底大图低”可知⑧对应，⑦对应，且⑤⑧图像关于轴对称，则⑤对应，即⑥不属于；故选：B【例5-2】（2024·广东深圳）已知，且，则函数的图象一定经过（

）A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限【答案】D【解析】当时，，则当时，函数图象过二、三、四象限；则当时，函数图象过一、三、四象限；所以函数的图象一定经过三、四象限.故选：D【例5-3】（24-25高一上·上海·随堂练习）作出下列函数的图象：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】答案见解析；【解析】（1）作出关于轴对称的图像，可得的图像，如图（1）．（2）作出关于轴对称的图像，可得的图像，如图（2）．（3）作出，将轴下方的图像翻折到轴上方，可得的图像，如图（3）．（4）作出的图像，再作出关于轴对称的图像，即得到另外一半图像，可得的图像，如图（4）．【变式】1．（24-25高一上·全国·课后作业）当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象是（

）．A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】当时，函数与分别在各自的定义域内单调递减、单调递增，故可排除BCD，且函数与图象分别过定点，经检验，A符合题意.故选：A.2．（23-24高一下·青海西宁·开学考试）函数的图象是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，故排除D；当时，，故排除BC；结合对数函数的性质可知A正确.故选：A.3．（23-24高一上·上海·假期作业）作出下列函数的大致图像：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】（1）的图象可由的图象向左平移个单位得到，（2）的图象可由的图象先根据轴对称，再向右平移个单位得到，（3）的图象可由的图象先根据轴对称，再向右平移个单位得到，（4）的图象由组成，其中的图象可由的图象根据轴对称得到，知识点六比较对数值的大小【【解题思路】比较对数值大小时常用的四种方法(1)同底数的利用对数函数的单调性．(2)同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化．(3)底数和真数都不同，找中间量．(4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论．【例6-1】（23-24高一上·上海·假期作业）利用对数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小.(1)和；(2)和；(3)和，其中且；(4)和.【答案】(1)(2)(3)答案见解析(4)【解析】（1）因为函数在上单调递增，且，所以.（2）因为函数在上单调递减，且，所以.（3）令，当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，又，所以当时，，当时，.（4）因为，，所以.【例6-2】（23-24高一下·内蒙古赤峰·期末）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】当时，，所以在上单调递增，又，所以，即.故选：D【例6-3】（2024·天津南开）已知，，，则（

）.A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，，，故.故选：C.【变式】1．（24-25高一上·全国·课后作业）比较下列各题中两个数的大小：(1)，；(2)，；(3)，；(4)，（，且）．【答案】(1)(2)(3)(4)当时，；当时，【解析】（1）因为，所以函数在定义域上是增函数．由，得．（2）因为，所以函数在定义域上是减函数．由，得．（3）因为，所以函数在定义域上是增函数．由，得．同理可得．因此．（4）当时，函数在定义域上是增函数，此时由，得；当时，函数在定义域上是减函数，此时由，得．2．（23-24高二下·河北邢台·期末）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】,因为在上递增，且，所以，所以，即，因为在上递增，且，所以，即，因为在上递减，且，所以，即所以．故选：D3．（23-24·山东临沂·期末）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，，因为在上单调递增，则，则，显然，则，则，即，结合知.故选：B.知识点七解对数不等式【【解题思路】对数不等式的三种考查类型及解法(1)形如logax>logab的不等式，借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论．(2)形如logax>b的不等式，应将b化为以a为底数的对数式的形式(b＝logaab)，再借助y＝logax的单调性求解．(3)形如logf(x)a>logg(x)a(f(x)，g(x)>0且不等于1，a>0)的不等式，可利用换底公式化为同底的对数进行求解，或利用函数图象求解．【例7-1】（24-25高一上·上海·单元测试）不等式的解集为．【答案】【解析】由可得，解得，故答案为：【例7-2】（24-25高一上·全国·随堂练习）不等式的解集为．【答案】【解析】由于函数在上递减，所以解得，所以原不等式的解集为，故答案为：.【变式】1．（24-25高一上·上海·随堂练习）设函数，其中，若，则实数x的取值范围是．【答案】（0,1）【解析】函数在是严格增函数，所以，得．故答案为：2（24-25高一上·上海·随堂练习）不等式的解集为．【答案】【解析】由，可得，又在上单调递增，所以，解不等式组可得，所以不等式的解集为.3．（23-24重庆·期末）已知函数则不等式的解集为【答案】【解析】或,或,或,或所以不等式解集为.故答案为:考点八反函数【例8-1】（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数的反函数，则．【答案】【解析】因为，,所以，,所以，故答案为：.【变式】1．（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数的反函数为，则的解析式为．【答案】【解析】由，得，将互换得，，且函数的值域为R，因此，函数，故答案为：．2．（24-25高一上·上海·随堂练习）如果直线与直线关于直线对称，那么a、b的值分别是、．【答案】－9【解析】因为直线与直线关于直线对称，所以函数与互为反函数，又的反函数为，所以，．故答案为：；.3．（24-25高一上·上海·课后作业）若点既在函数的图像上，又在的反函数的图像上，则的值为．【答案】【解析】因为既在函数的图象上，又在的反函数的图象上，所以点在函数的图象上，所以，即，解得，所以．故答案为：．重难点一对数型函数的单调性【【解题思路】形如f(x)＝logag(x)(a>0，且a≠1)的函数的单调区间的求法(1)先求g(x)>0的解集(也就是函数f(x)的定义域)．(2)当底数a>1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调增区间；g(x)的单调减区间是f(x)的单调减区间．(3)当底数0<a<1时，在g(x)>0这一前提下，g(x)的单调增区间是f(x)的单调减区间，g(x)的单调减区间是f(x)的单调增区间．【例9-1】（23-24浙江杭州·阶段练习）函数的单调递减区间为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】令得，故的定义域为，在上单调递增，由复合函数单调性满足同增异减可得，只需求出在上的单调递减区间，在上单调递减，故数的单调递减区间为.故选：C【例9-2】（23-24高一下·湖南长沙·期中）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】易知函数在上单调递增，又函数在上单调递减，所以且，解得．即实数a的取值范围为选：B【例9-3】（23-24高二下·黑龙江·期末）若函数在上单调，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】当时，当在上单调递增时，有，解得；当时，当在上单调递减时，有，解得.综上，a的取值范围是.故选：D.【变式】1．（23-24四川·期中）函数的单调递减区间为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，则，解得或，所以函数的定义域为，令，则是增函数，又在上单调递减，所以的单调递减区间是.故选：A.2．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的单调递增区间为．【答案】【解析】由函数可得函数的图像如图所示．所以函数的单调增区间为．故答案为：3．（23-24江西赣州·期末）“”是“函数在单调递增”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由二次函数、对数函数的单调性及复合函数的单调性可知：要满足函数在单调递增，需要，因为，所以“”是“函数在单调递增”的必要不充分条件．故选：B．4．（2024·黑龙江·模拟预测）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，易知函数是增函数，因为在区间上单调递减，所以由复合函数单调性可知，在上单调递减.因为函数在上单调递减，所以，即.故选：D.重难点二对数型函数的值域【例10-1】（2024高三·全国·专题练习）函数的值域为．【答案】【解析】函数为增函数，故其值域为.故答案为：【例10-2】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知，则的值域是．【答案】【解析】因为，所以的定义域满足，解得，因为在上单调递增，所以令，又，则，易知在上单调递增，则当时，；当时，，所以的值域为.故答案为：.【例10-3】．（23-24四川雅安·阶段练习）若函数的值域为R，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意，取遍所有正数，则，而，解得，所以.故选：B【变式】1．（2024·湖南·模拟预测）函数在区间上的最大值为（

）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】B【解析】因为，所以，所以，最大值为1，故选：B.2．（23-24江西南昌·期末）已知函数的定义域和值域都为，则（

）A． B．C． D．不存在【答案】B【解析】因为函数的定义域为，则恒成立，且，可得；又因为函数的定义域和值域都为，则取到所有正数，且，可得；综上所述：.故选：B.3．（2024·贵州黔东南）若函数的值域为.则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意可得要取遍所有正数，则需要求，因为，解得；故.故选：C4．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的最小值为．【答案】0【解析】设，则，的定义域为，所以函数，在上单调递减，在上单调递增，由复合函数的同增异减可得：在区间上单调递减，在上单调递增，，最小值是0．故答案为：0．5．（24-25高一上·全国·假期作业）函数的值域是．【答案】【解析】令，则，因为，则，且的对称轴为，可知，所以的值域是．故答案为：．重难点三对数型函数性质的综合应用【例11】（23-24高一下·广西南宁·期末）已知函数（且）的图象经过点，函数的图象经过点．(1)求的值；(2)求函数的单调递增区间．【答案】(1)(2)．【解析】（1）由函数的图象经过点，得，①由函数的图象经过点，得，即，②解①②得（舍去）．（2）由（1）知，因为，所以函数的定义域为R，再根据复合函数单调性知其在上单调递增，所以函数的单调递增区间为．【变式】1．（23-24高二下·山东临沂·期末）已知函数，且．(1)求的定义域；(2)求不等式的解集．【答案】(1)(2)【解析】（1），，解得，，由解得，故的定义域为.（2）由（1）知，，在上单调递增，且其恒大于0，则函数在上单调递减，在上单调递减，又，不等式可化为，，即，不等式的解集为.2．（23-24高一下·陕西咸阳·期末）已知函数且．(1)若，求的值；(2)若在上的最大值与最小值的差为1，求的值．【答案】(1)(2)或．【解析】（1），，即，解得或（舍）．（2）当时，在上单调递增，则，由题意得，，解得．当时，在上单调递减，则，由题意得，，解得．综上，或．3．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数，其中（且）的图象经过点和．(1)求函数的解析式；(2)令，求的最小值及取最小值时x的值．【答案】(1)(2)时，取得最小值1．【解析】（1）由已知，得，解得，故；（2）由于，，故．于是，当时，取得最小值1．单选题1．（23-24浙江温州·期末）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，解得，即函数的定义域为.故选：A2．（23-24高一下·安徽阜阳·期末）如图，图象①②③④所对应的函数不属于中的一个是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【解析】依题意，函数的图象分别过定点，它们分别对应图③②①，因此④不属于给定的三个函数之一.故选：D3．（2024·天津北辰）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为在上单调递减，则，即；又因为在上单调递减，则，即；可得，且在上单调递增，则，即；综上所述：.故选：D.4．（23-24湖南长沙·期末）函数的单调递增区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由得或，设，函数在为增函数，此时为增函数，所以为增函数，即的单调增区间为.故选：C.5．（2024·上海闵行）已知，为奇函数，当时，，则集合可表示为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为为奇函数，所以等价于，即；当时，，即，解得；当时，，可得，所以，解不等式，可得，综上可得集合可表示为.故选：D6．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数，的反函数的定义域是（

）．A． B．C． D．【答案】C【解析】因为函数在单调递增，所以，即，因为反函数的定义域是原函数的值域，所以反函数的定义域为，故选：C．7．（23-24山东聊城·期末）已知函数，若，则的值可以为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，当时，，当时，，因为，所以，故选：A8．（2024·江苏南）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，则，因为函数在区间上单调递减，且在定义域内递增，所以，解得，故选：B多选题9．（2024高二下·浙江·学业考试）若函数，则下列选项正确的是（

）A．定义域为 B．值域为C．图象过定点 D．在定义域上单调递增【答案】ABC【解析】由题意，，则，所以函数的定义域为，故A正确；根据对数函数的值域可得函数的值域为，故B正确；令，则，，所以函数的图象过定点，故C正确；当时，函数在定义域上单调递减，故D错误.故选：ABC.10．（2024高三·全国·专题练习）下列关于函数的说法中，不正确的是（

）A．有最大值，在上为增函数B．有最大值，在上为减函数C．有最小值，在上为增函数D．有最小值，在上为减函数【答案】BCD【解析】令，则，所以，所以有最大值，所以CD错误，因为在上递减，在上递增，而在定义域内递减，所以在上递增，在上递减，所以A正确，B错误，故选：BCD11．（23-24高一下·江西·期末）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．函数的定义域为 B．函数的值域为C．函数是定义域上的奇函数 D．函数是定义域上的偶函数【答案】AC【解析】对于函数，令，解得，函数的定义域为，故A正确；因为在上单调递减，在定义域上单调递增，所以在上单调递减，所以在上单调递增，同理可得在上单调递增，所以为上的增函数，又，其中，因为，所以，所以，所以，则，所以，即，又的值域为，函数的值域为，故B错误；又，函数是定义域上的奇函数，C正确，D错误．故选：AC．填空题12．（23-24广西玉林·期末）已知函数，则的定义域是；单调增区间为.【答案】.【解析】由，解得，则定义域是，令，其对称轴方程为，图象是开口向下的抛物线，则在上为增函数，又为定义域内的增函数，则的单调增区间为.故答案为：；.13．（23-24高一上·陕西咸阳·期末）已知函数的图象与的图象关于直线对称，则的值域为．【答案】【解析】因为函数的图象与的图象关于直线对称，所以，因此，因为，所以，因此的值域为，故答案为：14．（23-24上海