第八章 突破5 圆锥曲线的综合应用

第八章平面解析几何突破5圆锥曲线的综合应用命题点1

圆锥曲线的综合问题例1

[多选/新高考卷Ⅰ]已知曲线

C

：

mx

2＋

ny

2＝1.(

ACD

)A.若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上D.若m＝0，n＞0，则C是两条直线ACD训练2例1训练1例3例2

训练2例1训练1例3例2

训练2例1训练1例3例2

训练2例1训练1例3例2

训练2例1训练1例3例2

训练2例1训练1例3例2

C训练2例1训练1例3例2

如图，延长

F

1

P

交圆

P

于

N

，延长

F

2

P

交圆

P

于

M

，

所以｜

PF

1｜－｜

PF

2｜＝

a

，训练2例1训练1例3例2

训练2例1训练1例3例2(2)[2023西安一中调研]如图，圆柱

OO

1的轴截面

ABB

1

A

1是正方形，

D

，

E

分别是

AA

1和

BB

1的中点，

C

是弧

AB

的中点，则经过

C

，

D

，

E

的平面与圆柱

OO

1侧面相

交所得到的曲线的离心率是

⁠.

训练2例1训练1例3例2

[解析]设正方形

ABB

1

A

1的边长为2，

C

1是弧

B

1

A

1的中点，且与

C

关于圆柱的中

心对称，连接

CC

1，由题意可知，所得曲线为椭圆，

训练2例1训练1例3例2命题点2

圆锥曲线在实际生活中的应用

B训练2例1训练1例3例2

训练2例1训练1例3例2(2)某学习小组研究一种卫星接收天线(如图1所示)时，发现其曲面与轴截面的交线为

抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形状为抛物线的接收天线，经

反射聚焦到焦点处(如图2所示).已知接收天线的口径(直径)为5.2m，深度为1m，则

该抛物线的标准方程为

⁠.y

2＝6.76

x

训练2例1训练1例3例2[解析]

如图所示，在接收天线的轴截面所在平面上建立直角坐标系，使接收天线

的顶点(即抛物线的顶点)与原点

O

重合，焦点

F

在

x

轴上，｜

AB

｜＝5.2.设抛物线的

标准方程为

y

2＝2

px

(

p

＞0)，由已知条件可得，点

A

(1，2.6)在抛物线上，所以2

p

＝2.62＝6.76，所以所求抛物线的标准方程为

y

2＝6.76

x

.训练2例1训练1例3例2训练2

[2023上海模拟]“中山桥”是位于兰州市中心、横跨黄河之上的一座百年老

桥，如图1，桥上有五个拱形桥架紧密相连，每个桥架的内部有一个水平横梁和八

个与横梁垂直的立柱，气势宏伟，素有“天下黄河第一桥”之称.一个拱形桥架可以

近似看作是由等腰梯形

ABFM

和其上方的抛物线

MOF

(部分)组成，建立如图2所示

的平面直角坐标系，已知｜

AB

｜＝44m，∠

A

＝45°，｜

AC

｜＝4m，｜

CD

｜＝5m，立柱｜

DN

｜＝5.55m.图1

图2训练2例1训练1例3例2(1)求立柱｜

CM

｜及横梁｜

MF

｜；[解析]由∠

A

＝45°，可知｜

CM

｜＝｜

AC

｜＝4m.因为四边形

ABFM

是等腰梯形，由对称性知：｜

AC

｜＝｜

BE

｜＝4m，所以｜

MF

｜＝｜

CE

｜＝｜

AB

｜－｜

AC

｜－｜

EB

｜＝44－4－4＝36(m).训练2例1训练1例3例2(2)求抛物线

MOF

的方程和桥梁的拱高｜

OH

｜.

训练2例1训练1例3例2

12

122.[命题点2/2023东北三省四市联考]早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于

造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的四个溢流

孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线对应的抛物线

相同，建立如图所示的平面直角坐标系

xOy

，根据图上尺寸，拱桥轮廓线

OAC

所在

抛物线的方程为

，溢流孔与桥拱交点

A

的横坐标为

⁠.x

2＝－80

y

12

12

C123456789

123456789

A.43.8mB.44.8mC.52.3mD.53.0mB123456789[解析]建立如图所示的平面直角坐标系，其中

C

为顶点，

D

为

AB

的中点，

MN

为

下降后的水面.

1234567893.[多选/2024江西临川一中检测]2022年卡塔尔世界杯会徽正视图(如图)近似伯努利

双纽线.伯努利双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现

的曲线.在平面直角坐标系

xOy

中，把到定点

F

1(－

a

，0)，

F

2(

a

，0)距离之积等于

a

2(

a

＞0)的点的轨迹称为双纽线，已知点

P

(

x

0，

y

0)是

a

＝1时的双纽线

C

上一点，下列说法正确的是(

ABD

)A.双纽线C是中心对称图形C.双纽线C上满足｜PF1｜＝｜PF2｜的点有2个ABD123456789

123456789

123456789

123456789

1234567896.[2024江西九校联考]如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为1个单位长

度，在球的右上方有一个灯泡

P

(当成质点)，篮球的影子是椭圆，篮球与桌面的接

触点(切点)就是影子椭圆的焦点，点

P

到桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射

在平面的点为

A

，影子椭圆的右顶点到

A

点的距离为3个单位长度，则这个影子椭圆

的离心率

e

＝

⁠.

123456789

123456789

123456789

123456789(2)已知点

M

，

N

均在直线

x

＝2上，以

MN

为直径的圆经过

O

点，圆心为点

T

，直线

AM

，

AN

分别交椭圆

C

于另一点

P

，

Q

，证明：直线

PQ

与直线

OT

垂直.

123456789

∴

kPQ

·

kOT

＝－1，则直线

PQ

与直线

OT

垂直，得证.123456789

123456789

123456789

123456789

(1)求双曲线

C

2的标准方程；

123456789

123456789

1234567899.[情境创新/2023济南模拟]已知抛物线

H

：

x

2＝2

py

(

p

＞0).(1)若直线

l

：

y

＝

kx

－2

pk

＋2

p

与

H

只有一个公共点，求

k

.[解析]将

y

＝

kx

－2

pk

＋2

p

代入

x

2＝2

py

，化简得

x

2－2

pkx

＋4

p