第五章 突破1 数列中含绝对值及奇偶项问题

第五章数列突破1数列中含绝对值及奇偶项问题命题点1

数列中含绝对值的求和问题例1

[2023全国卷乙]记

Sn

为等差数列{

an

}的前

n

项和，已知

a

2＝11，

S

10＝40.(1)求{

an

}的通项公式；

例1训练1例2训练2(2)求数列{｜

an

｜}的前

n

项和

Tn

.

例1训练1例2训练2方法技巧一般地，数列{｜

an

｜}与数列{

an

}是两个不相同的数列，只有数列{

an

}中的每一项

都是非负数时，它们表示的才是同一数列.因此，求数列{｜

an

｜}的前

n

项和时，应

先弄清

n

取什么值时

an

≥0或

an

＜0，去掉绝对值符号后再求和.例1训练1例2训练2训练1

[2023长沙一中5月三模]已知数列{

an

}满足2

an

＋1＝

an

＋

an

＋2(

n

∈N*)，它的

前

n

项和为

Sn

，且

a

3＝－25，

S

6＝－144.(1)求

Sn

的最小值；

例1训练1例2训练2(2)求数列{｜

an

｜}的前

n

项和

Tn

.

例1训练1例2训练2命题点2

数列中的奇偶项问题例2

[2022天津高考]已知{

an

}是等差数列，其前

n

项和为

Sn

，{

bn

}是等比数列，

a

1

＝

b

1＝

a

2－

b

2＝

a

3－

b

3＝1.(1)求{

an

}，{

bn

}的通项公式.(2)证明：(

Sn

＋1＋

an

＋1)

bn

＝

Sn

＋1·

bn

＋1－

Sn

·

bn

.

例1训练1例2训练2

例1训练1例2训练2解法二因为

Sn

为数列{

an

}的前

n

项和，所以(

Sn

＋1＋

an

＋1)

bn

＝(

Sn

＋

an

＋1＋

an

＋1)

bn

＝(

Sn

＋2

an

＋1)

bn

，

Sn

＋1·

bn

＋1－

Sn

·

bn

＝(

Sn

＋

an

＋1)·(2

bn

)－

Sn

·

bn

＝

bn

(2

Sn

＋2

an

＋1－

Sn

)＝(

Sn

＋2

an

＋1)

bn

，所以(

Sn

＋1＋

an

＋1)

bn

＝

Sn

＋1·

bn

＋1－

Sn

·

bn

.例1训练1例2训练2

例1训练1例2训练2

例1训练1例2训练2方法技巧解答与奇偶项有关的求和问题的关键(1)弄清

n

为奇数或偶数时数列的通项公式.(2)弄清

n

为奇数时数列前

n

项中奇数项与偶数项的个数.例1训练1例2训练2训练2

[2023南京六校联考]已知数列{

an

}满足

a

1＝1，

a

2＝3，数列{

bn

}为等比数

列，且满足

bn

(

an

＋1－

an

)＝

bn

＋1.(1)求数列{

an

}的通项公式；

例1训练1例2训练2

在①2

S

2＝

S

3－2，②

b

2，2

a

3，

b

4成等差数列，③

S

6＝126这三个条件中任选一

个，补充在第(2)问中，并对其求解.例1训练1例2训练2

例1训练1例2训练2

1.

[命题点1]设等比数列{

an

}的前

n

项和为

Sn

，

a

1＝1，

S

3＝13.(1)求

an

；[解析]

(1)设等比数列{

an

}的公比为

q

.由题意得

a

1＋

a

1

q

＋

a

1

q

2＝13，即1＋

q

＋

q

2＝13，解得

q

＝3或

q

＝－4.故

an

＝3

n

－1或

an

＝(－4)

n

－1.123(2)若{

an

}是递增数列，求数列{｜

an

－

n

－2｜}的前

n

项和.

1232.[命题点2/2023合肥一中诊断]在等比数列{

an

}中，已知

a

2＝4，

a

5＝32.(1)求数列{

an

}的通项公式；

123(2)若

bn

＝(－1)

n

·log2

an

，求数列{

bn

}的前

n

项和

Sn

.

123

(1)求{

an

}的通项公式；

123

123

1.[2024广州市培英中学校考]若等差数列{

an

}的前

n

项和为

Sn

，且满足

S

4043＞0，

S

4044＜0，对任意正整数

n

，都有｜

an

｜≥｜

am

｜，则

m

的值为(

C

)A.2020B.2021C.2022D.2023

C1234567

A.5B.10C.21D.42C1234567

12345673.[多选/2024江西抚州模拟]已知数列{

an

}满足

an

＋

an

＋1＝2×(－1)

n

，

n

∈N*，且

a

5＝1，则下列表述正确的有(

BD

)A.a1＝－5B.数列{a2n－1}是等差数列C.数列{｜an｜}是等差数列BD1234567

12345674.[多选/2024浙江模拟]已知数列{

an

}满足

a

1＝1，

a

2＝2，

a

3＝3，且对任意的正整

数

m

，

n

，都有

a

2

m

＋

a

2

n

＝2

am

＋

n

＋｜

m

－

n

｜，则下列说法正确的有(

ABD

)A.a4＝5B.数列{a2n＋2－a2n}是等差数列C.a2n＝3n－1ABD1234567

1234567

12345676.[2024重庆八中校考]在数列{

an

}中，

a

1＝8，

a

4＝2，且满足

an

＋2－2

an

＋1＋

an

＝

0(

n

∈N*).(1)求数列{

an

}的通项公式；

1234567(2)设

Tn

＝｜

a

1｜＋｜

a

2｜＋…＋｜

an

｜，求

T

15的值.

12345677.[2023广州市二检]设

Sn

是数列{

an

}的前

n

项和，已知

a

3＝0，

an

＋1＋(－1)

nSn

＝2

n

.(1)求

a

1，

a

2；[解析]

(1)由

an

＋1＋(－1)

nSn

＝2

n

，得

a

2－

S

1＝2，

a

3＋

S

2＝4，即

a

2－