第十章 第3讲 二项式定理

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第3讲二项式定理

课标要求命题点五年考情命题分析预测能用多项式运算法

则和计数原理证明

二项式定理，会用

二项式定理解决与

二项展开式有关的

简单问题.展开式中的

特定项问题2023天津T11；2022新

高考卷ⅠT13；2020全

国卷ⅠT8；2020全国卷

ⅢT14；2020北京T3；

2019全国卷ⅢT4本讲是高考常考内

容，主要考查二项展

开式的通项，求常数

项，求某项系数，求

某些项的系数和等，

主要以小题的形式出

现，难度不大.课标要求命题点五年考情命题分析预测能用多项式运算法则

和计数原理证明二项

式定理，会用二项式

定理解决与二项展开

式有关的简单问题.二项式系数与

项的系数的问

题2022北京T8；2022

浙江T12预计2025年高考命

题常规，备考时要

掌握各种问题类型

及其求解方法.二项式定理的

综合应用

学生用书P2291.二项式定理二项式定理二项展开式的通项Tk＋1＝①

，即为二项展开式的第

k＋1项.二项式系数

2.二项式系数的性质

A.－5B.5C.－10D.10

C123452.[教材改编]在(

x

－

y

)10的展开式中，系数最小的项是(

C

)A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项[解析]展开式共有11项，奇数项系数为正，偶数项系数为负，且第6项的二项式系

数最大，则展开式中系数最小的项是第6项.C12345

A.31B.32C.15D.16

A123454.[多选]下列说法正确的是(

CD

)B.在二项展开式中，系数最大的项为中间的一项或中间的两项C.在(a＋b)n的展开式中，每一项的二项式系数都与a，b无关D.在(a＋b)n的展开式中，某项的系数与该项的二项式系数不同CD123455.[易错题]已知(2

x

－1)

n

＝

a

0＋

a

1

x

＋

a

2

x

2＋…＋

anxn

(

n

∈N*)，设(2

x

－1)

n

的展开

式中所有项的二项式系数和为

Sn

，

Tn

＝

a

1＋

a

2＋…＋

an

(

n

∈N*)，则

S

4

＝

，

T

4＝

⁠.

16

0

12345

学生用书P230命题点1

展开式中的特定项问题角度1

形如(

a

＋

b

)

n

(

n

∈N*)的展开式中的特定项例1(1)[2023南京市中华中学检测]若(2－

x

)6＝

a

0＋

a

1(1＋

x

)＋

a

2(1＋

x

)2＋…＋

a

6(1＋

x

)6，则

a

4＝(

B

)A.270B.135C.－135D.－270

B例1例2例3训练1例4例5训练2例6训练3

60

例1例2例3训练1例4例5训练2例6训练3方法技巧求形如(

a

＋

b

)

n

(

n

∈N*)的展开式中的特定项问题的步骤例1例2例3训练1例4例5训练2例6训练3

A.430B.435C.245D.240

B例1例2例3训练1例4例5训练2例6训练3

－28

例1例2例3训练1例4例5训练2例6训练3方法技巧求形如(

a

＋

b

)

m

(

c

＋

d

)

n

(

m

，

n

∈N*)的展开式中特定项问题的步骤例1例2例3训练1例4例5训练2例6训练3角度3

形如(

a

＋

b

＋

c

)

n

(

n

∈N*)的展开式中的特定项例3(1)(

x

－

y

＋2)5的展开式中，

x

3

y

的系数为(

D

)A.80B.40C.－80D.－40

D

例1例2例3训练1例4例5训练2例6训练3

92

(2)(1＋2

x

－3

x

2)5的展开式中，

x

5的系数为

⁠.例1例2例3训练1例4例5训练2例6训练3方法技巧求形如(

a

＋

b

＋

c

)

n

(

n

∈N*)的展开式中的特定项问题的方法因式分

解法通过分解因式将三项式变成两个二项式的积的形式，然后用二项式定理

分别展开.逐层展

开法将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含两项的一组展开，

从而解决问题.利用组

合知识把三项式(a＋b＋c)n(n∈N*)看成n个a＋b＋c的积，然后利用组合知识求

解.例1例2例3训练1例4例5训练2例6训练3

A.－640B.－320C.640D.320

A例1例2例3训练1例4例5训练2例6训练3(2)(

x

2＋

x

＋

y

)5的展开式中，

x

5

y

2的系数为(

C

)A.10B.20C.30D.60

C例1例2例3训练1例4例5训练2例6训练3命题点2

二项式系数与项的系数的问题角度1

二项展开式中的系数和问题例4[多选]已知(1－2

x

)2023＝

a

0＋

a

1

x

＋

a

2

x

2＋…＋

a

2023

x

2023，则下列结论正确的

是(

ACD

)A.展开式中所有项的二项式系数的和为22023ACD例1例2例3训练1例4例5训练2例6训练3

例1例2例3训练1例4例5训练2例6训练3

例1例2例3训练1例4例5训练2例6训练3角度2

与二项展开式中的系数有关的最值问题例5(1)[全国卷Ⅰ]设

m

为正整数，(

x

＋

y

)2

m

展开式的二项式系数的最大值为

a

，(

x

＋

y

)2

m

＋1展开式的二项式系数的最大值为

b

，若13

a

＝7

b

，则

m

＝(

B

)A.5B.6C.7D.8

B例1例2例3训练1例4例5训练2例6训练3

例1例2例3训练1例4例5训练2例6训练3

2.项的系数最值的求法

例1例2例3训练1例4例5训练2例6训练3

A.第5项的二项式系数最大B.所有项的系数之和为1C.有且仅有第6项的系数的绝对值最大D.展开式中共有4项有理项AB例1例2例3训练1例4例5训练2例6训练3

例1例2例3训练1例4例5训练2例6训练3(2)[2022浙江]已知多项式(

x

＋2)(

x

－1)4＝

a

0＋

a

1

x

＋

a

2

x

2＋

a

3

x

3＋

a

4

x

4＋

a

5

x

5，

则

a

2＝

，

a

1＋

a

2＋

a

3＋

a

4＋

a

5＝

⁠.

8

－2

例1例2例3训练1例4例5训练2例6训练3命题点3

二项式定理的综合应用例6(1)利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是(

D

)A.1.23B.1.24C.1.33D.1.34

D例1例2例3训练1例4例5训练2例6训练3(2)设

a

∈N，且0≤

a

＜26，若512020＋

a

能被13整除，则

a

的值为(

D

)A.0B.11或0C.12D.12或25

D例1例2例3训练1例4例5训练2例6训练3方法技巧二项式定理应用的常见题型及解题策略题型解题策略近似计算先观察精确度，然后选取展开式中若干项求解.证明整除问题或求余数将被除式(数)合理的变形，拆成二项式，使被除式(数)展开后的每一

项都含有除式的因式.逆用二项式定理根据所给式子的特点结合二项展开式的要求，变形使之具备二项式

定理右边的结构，然后逆用二项式定理求解.例1例2例3训练1例4例5训练2例6训练3

A.0B.－2C.－1＋iD.－1－i

A例1例2例3训练1例4例5训练2例6训练3(2)若(2

x

＋1)100＝

a0＋

a1

x

＋

a2

x

2＋…＋

a100

x

100，则2(

a1＋

a3＋

a5＋…＋

a99)－3除以8的余数为

⁠.

5

例1例2例3训练1例4例5训练2例6训练3

15

12345672.[命题点1角度2/全国卷Ⅲ](1＋2

x

2)(1＋

x

)4的展开式中

x

3的系数为(

A

)A.12B.16C.20D.24

A12345673.[命题点1角度3/2023湖南长沙第一中学段考](

x

－2

y

＋

z

)8的展开式中

x

3

y

3

z

2的系

数是

(用数字作答).

－4480

12345674.[命题点2角度1/2022北京高考]若(2

x

－1)4＝

a

4

x

4＋

a

3

x

3＋

a

2

x

2＋

a

1

x

＋

a

0，则

a

0＋

a

2＋

a

4＝(

B

)A.40B.41C.－40D.－41[解析]依题意，令

x

＝1，可得1＝

a4＋

a3＋

a2＋

a1＋

a0，令

x

＝－1，可得81＝a4－

a3＋

a2－

a1＋

a0，以上两式相加可得82＝2(

a4＋

a2＋

a0)，所以

a0＋

a2＋

a4=41，故选B.B12345675.[命题点3]今天是星期二，经过7天后还是星期二，那么经过22021天后是(

D

)A.星期三B.星期四C.星期五D.星期六

D1234567

－2

12345677.[命题点3]0.996的计算结果精确到0.001的近似值是(

B

)A.0.940B.0.941C.0.942D.0.943

B1234567

学生用书·作业帮P384

D1234567891011121314151617182.[2024湖北武汉第四十九中模拟](1＋

x

＋

x

2)(1－

x

)10的展开式中

x

5的系数为

(

D

)A.120B.135C.－140D.－162

D123456789101112131415161718

A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项

C123456789101112131415161718

A.－2B.－1C.1D.2D

123456789101112131415161718

A.n＝8B.展开式中x－2的系数为－448C.展开式中常数项为16D.展开式中所有项的系数和为1ABD123456789101112131415161718

1234567891011121314151617186.[多选/2024江苏连云港统考]已知(1－2

x

)6＝

a

0＋

a

1

x

＋

a

2

x

2＋…＋

a

6

x

6，则下列

选项正确的是(

AC

)A.a0＝1B.a2＝120C.｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a6｜＝729D.a1＋a2＋…＋a5＝0AC123456789101112131415161718[解析]选项分析过程正误A令x＝0，则1＝a0√B✕C当r＝1，3，5时，可得a1，a3，a5＜0，同理可得a0，a2，a4，a6＞0，所以令x＝－1，得36＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6，所以｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a6｜＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝36＝729D√✕123456789101112131415161718

1234567891011121314151617188.[2024吉林一中、东北师大附中等校联考](

x

2－

x

＋1)5的展开式中，

x

5的系数

为

⁠.[解析]

(

x

2－

x

＋1)5可以看作5个因式(

x

2－

x

＋1)相乘，要想得到含

x

5的项，可分

三种情况：①5个因式中选2个因式取

x

2，1个因式取－

x

，2个因式取1；②5个因式中选1个因式取

x

2，3个因式取－

x

，1个因式取1；

－51

1234567891011121314151617189.[2023湖北十堰6月统考](2

x

＋11)10的展开式中系数最大的项是第

项.

10

123456789101112131415161718

7

123456789101112131415161718

5(答案不唯一，

n

＝5

k

，

k

∈N*均可)

12345678910111213141516171812.若

x

8＝

a

0＋

a

1(

x

＋1)＋

a

2(

x

＋1)2＋…＋

a

8(

x

＋1)8，则

a

3＝

⁠.

－56

123456789101112131415161718

13.(1＋

x

)2＋(1＋

x

)3＋…＋(1＋

x

)9的展开式中

x

2的系数是(

D

)A.60B.80C.84D.120

D123456789101112131415161718

A.奇数项的二项式系数和为256B.第6项的系数最大C.存在常数项D.有理项共有6项BCD123456789101112131415161718

选

项分析过程正误A✕B由题意知展开式共11项，故第6项的系数最大√C√D当r＝0，2，4，6，8，10时，为有理项，故有理项共有6项√123456789101112131415161718

－3

12345678910111213141516171816.[2023成都模拟](5－3

x

＋2

y

)

n

展开式中不含

y

的项的系数和为64，则展开式中的

常数项为

⁠.

15625

123456789101112131415161718

17.[数学文化]“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最

早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.“杨辉三角”

是中国数学史上的一个伟大成就，激发了一批又一批数学爱好者的探究欲望.如图，

由“杨辉三角”，下列叙述正确的是(

D

)杨辉三角第0行

1第1行

1

1第2行