随机过程：随机过程的联合分布与互相关函数

随机过程第二章随机过程的基本概念本章学习的主要内容★随机过程的概念和定义★随机过程的统计特性分析★平稳随机过程★各态历经过程★随机过程的联合分布与互相关函数★随机过程的功率谱密度2.5随机过程的联合分布与互相关函数★两个随机过程的联合分布函数★两个随机过程的互相关函数2.6随机过程的功率谱密度★功率谱密度的概念和定义★功率谱密度与相关函数的关系★各态历经过程的功率谱密度★两个随机过程的互功率谱密度★功率谱密度的计算举例本堂课的作业★第100页习题2.352.36★第101页习题2.382.392.422.432.452.5.1两个随机过程的联合分布函数★定义及特性设有两个随机过程X(t)和Y(t)，它们的分布函数分别为n维和m维，即FX(x1,x2,…,xn；t1,t2,…,tn)和FY(y1,y2,…,ym；t’1,t’2,…,t’m)，则定义这两个随机过程的n+m维联合分布函数为

n+m维联合概率密度为2.5.1两个随机过程的联合分布函数★定义及特性（续）如果两个随机过程X(t)和Y(t)相互独立，则有2.5.1两个随机过程的联合分布函数★定义及特性（续）如果两个随机过程X(t)和Y(t)的任意n+m维联合概率密度与时间起点无关，即有则称X(t)和Y(t)是狭义联合平稳的。2.5.2两个随机过程的互相关函数★互相关函数的定义设有两个随机过程X(t)和Y(t)，定义它们之间的互相关函数为式中fXY(x,t1;y,t2)是X(t)和Y(t)的二维联合概率密度。2.5.2两个随机过程的互相关函数★互协方差函数的定义设有两个随机过程X(t)和Y(t)，定义它们之间的互协方差函数为式中mX(t)和my(t)分别为X(t)和Y(t)的均值。2.5.2两个随机过程的互相关函数★广义联合平稳的定义如果两个随机过程X(t)和Y(t)各自的均值都与时间无关，而互相关函数又仅为时间差值τ的单值函数，即有RXY(t1,t2)=RXY(τ)，其中τ=t1-t2，则称X(t)和Y(t)之间是广义联合平稳的。此时的互相关函数不再是τ的偶函数。2.5.2两个随机过程的互相关函数★两个随机过程的互相关系数如果两个随机过程X(t)和Y(t)

之间是广义联合平稳的，定义它们的互相关系数为

2.5.2两个随机过程的互相关函数★互相关函数的性质1、RXY(τ)＝RYX(－τ)∵RXY(τ)=E[X(t)Y(t-τ)]=E[Y(t-τ)X(t)]=RYX(－τ)2、｜RXY(τ)｜2≤RX(0)RY(0)3、｜RXY(τ)｜≤RX(0)+RY(0)2.5.2两个随机过程的互相关函数★相互独立、不相关和正交的概念1、两个随机过程X(t)和Y(t)

互相独立

如果对任意的t1,t2,…,tn和t’1,t’2,…,t’m有

则称X(t)和Y(t)

之间是相互独立的。2.5.2两个随机过程的互相关函数★相互独立、不相关和正交的概念（续）1、两个随机过程X(t)和Y(t)

互相独立（续）

这时的二维概率密度为

于是，有

RXY(t1,t2)=E[X(t1)Y(t2)]=mX

(t1)

mY

(t2)

KXY(t1,t2)=02.5.2两个随机过程的互相关函数★相互独立、不相关和正交的概念2、两个随机过程X(t)和Y(t)

不相关

如果两个过程X(t)和Y(t)的互协方差函数为零，或者互相关函数为常数，即有

KXY(t1,t2)=0或RXY(t1,t2)=常数则称X(t)和Y(t)

之间互不相关。

如果两个过程互相独立，则必不相关。反之不然。2.5.2两个随机过程的互相关函数★相互独立、不相关和正交的概念3、两个随机过程X(t)和Y(t)

正交

如果两个过程X(t)和Y(t)的互相关函数为零，即有RXY(t1,t2)=0则称X(t)和Y(t)

之间正交。

正交也一定不相关。2.5.2两个随机过程的互相关函数★例题[例2.5.1]设两个随机过程其中Φ为随机变量，并均匀分布在0~2π之间。时间t=…,-2,-1,0,1,2,…;ω0=2π

f0，f0为正整数。2.5.2两个随机过程的互相关函数★例题（续）[例2.5.2]设平稳随机过程X(t)和Y(t)之间为线性关系，即式中b和c都为常数。2.6.1功率谱密度的概念和定义★功率谱密度的概念和定义设随机过程X(t)的持续时间是无限的，则总能量也是无限的。这样一来，X(t)的任意样本函数就不满足进行傅立叶变换的条件因而不能对x(t)进行傅立叶变换以求其频谱。2.6.1功率谱密度的概念和定义★功率谱密度的概念和定义（续）在实际情况中，测出的具体样本函数在时域上都是有限长的，这相当于在无限长样本函数x(t)中任意截取长为2T的一段，标以xT(t)

，并称为x(t)的截取函数，其截取函数的表达式为2.6.1功率谱密度的概念和定义★功率谱密度的概念和定义（续）对于持续时间有限的xT(t)

来说，存在傅立叶变换，因而有2.6.1功率谱密度的概念和定义★功率谱密度的概念和定义（续）如果随机过程在时域上无限延续，则(2.6.1)式的条件不满足，因而得不出样本函数x(t)的频谱函数，这时为T的递增函数，但是，在平稳状态下，x(t)的平均功率一般不为T的递增函数，因此可以假定2.6.1功率谱密度的概念和定义★功率谱密度的概念和定义（续）这样的话，x(t)就存在平均功率谱。把(2.6.2)和(2.6.3)式代入(2.6.4)式并设x(t)为实函数，则有2.6.1功率谱密度的概念和定义★功率谱密度的概念和定义（续）从(2.6.5)式可以看出，在整个频域内对进行积分后，就给出了信号x(t)的平均功率；同时它也描述了该平均功率在频域上的分布情况，如果样本函数x(t)为一电压或电流，则它的具体物理意义是x(t)在单位频带内消耗在1Ω电阻上的平均功率。我们称为样本x(t)的功率谱密度函数，以ψX(ω)来表示，即

2.6.1功率谱密度的概念和定义★功率谱密度的概念和定义（续）由于x(t)是随机过程X(t)的一个样本函数，它的出现具有随机性，因此与之对应的xT(t)

、xT(ω)和ψX(ω)的出现也都是随机的。现令则XT(ω)和ΨX(ω)皆为随机函数，xT(ω)和ψX(ω)

分别为它们的样本函数。2.6.1功率谱密度的概念和定义★功率谱密度的概念和定义（续）取随机函数ΨX(ω)

的数学期望，则有这时的GX(ω)为的确定性函数，不再具有随机性。它的物理意义是随机过程X(t)在单位频带内消耗在1Ω电阻上的平均功率的统计均值。定义GX(ω)为随机过程X(t)的功率谱密度函数，简称为功率谱密度或谱密度。2.6.2功率谱密度与相关函数的关系★功率谱密度和相关函数的关系

平稳随机过程的相关函数和功率谱密度构成傅立叶变换对。2.6.2功率谱密度与相关函数的关系★功率谱密度和相关函数的关系（续）将(2.6.7)式代入(2.6.9)式，设X(t)为实随机过程，则功率谱密度GX(ω)可写为2.6.2功率谱密度与相关函数的关系★功率谱密度和相关函数的关系（续）如果X(t)为平稳随机过程，则RX(t1,t2)=RX(t1-t2)=RX(τ)，其中τ

=t1-t2。于是可得2.6.2功率谱密度与相关函数的关系★功率谱密度和相关函数的关系（续）作变量替换，可得由此得2.6.2功率谱密度与相关函数的关系★功率谱密度和相关函数的关系（续）(2.6.11)式说明，平稳过程的功率谱密度就是其相关函数的傅立叶变换。于是其相关函数就是功率谱密度的傅立叶反变换，即有：2.6.2功率谱密度与相关函数的关系★功率谱密度和相关函数的关系（续）

2.6.2功率谱密度与相关函数的关系★功率谱密度和相关函数的关系（续）(2.6.11)式和(2.6.12)式成立的条件是GX(ω)和RX(τ)绝对可积，即(2.6.13)式的条件说明过程的总平均功率必须是有限的。(2.6.14)式要求过程的数学期望必须为零，而且，随机过程不包含其他确知成分（如具有离散频率的周期分量）。2.6.2功率谱密度与相关函数的关系★功率谱密度和相关函数的关系（续）由于平稳随机过程的相关函数是偶函数，则所以，功率谱是实函数，且是偶函数。从功率谱密度的定义可以看出，功率谱密度必为非负值。

对于实的平稳随机过程，它的功率谱密度是一个实的、非负的偶函数。2.6.2功率谱密度与相关函数的关系★功率谱密度和相关函数的关系（续）平稳随机过程的相关函数和功率谱密度的关系如下：2.6.2功率谱密度与相关函数的关系★δ函数的重要性质

2.6.2功率谱密度与相关函数的关系★功率谱密度和相关函数的关系（续）在实际中常常会碰到含有非零均值或含有周期分量的随机过程，这时，在正常意义下，(2.6.11)、(2.6.12)式就不成立了。但是，如果引入δ函数，即允许功率谱密度和自相关函数含有δ函数，则可在新的意义下，通过δ函数仍可将功率谱密度和相关函数联系起来。2.6.2功率谱密度与相关函数的关系★功率谱密度和相关函数的关系（续）如果随机过程含有非零均值，则该非零均值可用频域原点处的δ函数表示。例如，RX(τ)=1，对应有GX(ω)=2πδ(ω)。

如果随机过程含有离散频率的周期分量，则在频域上该分量由相应频率的δ函数表示。例如，RX(τ)=cos

ω0τ，对应有GX(ω)=π[δ(ω+ω0)+δ(ω-ω0)]。2.6.3各态历经过程的功率谱密度设随机过程X(t)为各态历经过程，则有由于过程的各态历经性，由一个样本函数导出的频谱不再具有随机性。2.6.4两个随机过程的互功率谱密度★互功率谱密度的定义

设两个随机过程X(t)和Y(t)联合平稳，XT(t)和YT(t)分别为其截取函数。对XT(t)和YT(t)进行傅立叶变换，得到随机函数XT(ω)和YT(ω)。定义XT(t)和YT(t)的互功率谱密度为2.6.4两个随机过程的互功率谱密度★互功率谱密度的性质

1、GXY(ω)=G*YX(ω)

2、Re[GXY(ω)]和Re[GYX(ω)]是ω的偶函数，Im[GXY(ω)]和Im[GYX

(ω)]是ω的奇函数。3、|