第40讲 空间几何体

第七单元

立体几何第40讲

空间几何体课前基础巩固课堂考点探究作业手册教师备用习题1.利用实物、计算机软件等观察空间图形,认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征,能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.知道球、柱、锥、台的表面积和体积的计算公式,能用公式解决简单的实际问题.3.能用斜二测画法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合）的直观图.◆

知识聚焦

◆1.空间几何体的结构特征（1）

多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相_______且_______多边形互相_______平行全等平行名称棱柱棱锥棱台侧棱______________相交于_______，但不一定相等延长线交于_________侧面形状______________________________平行且相等一点平行四边形三角形梯形续表一点（2）

旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，_______于底面相交于_______延长线交于_____________垂直一点一点名称圆柱圆锥圆台球轴截面全等的_______全等的___________________全等的_____________________侧面展开图_____________________矩形

等腰三角形

等腰梯形圆矩形扇形扇环续表2.斜二测画法

平行于坐标轴不变原来的一半3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式名称圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式

4.空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体（棱柱和圆柱）锥体（棱锥和圆锥）台体（棱台和圆台）球

◆

对点演练

◆题组一

常识题1.［教材改编］

下列说法中错误的是____.①经过不共面的四点的球有且仅有一个；②平行六面体的每个面都是平行四边形；③正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直；④棱台的每条侧棱均与上下底面不垂直.④[解析]

对于①，经过不共面的四点的球，即为由这四个点组成的四面体的外接球，有且仅有一个，故①中说法正确；对于②，平行六面体的每个面都是平行四边形，故②中说法正确；对于③，正棱柱的每条侧棱均与上下底面垂直，故③中说法正确；对于④，棱台的每条侧棱延长后交于一点，侧棱有可能与底面垂直，故④中说法错误.

3.［教材改编］

长、宽、高分别为1，2，3的长方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______.

题组二

常错题◆

索引：对空间几何体的相关公式掌握不牢致误；对空间几何体的结构特征认识不到位致误;几何体形状不确定时,不会分类讨论致误.

5.如图所示，将一个长方体用过同一顶点的三条棱中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为______.

探究点一

基本立体图形与直观图角度1

直观图

C

［思路点拨］

分析可知，原平面图形为一个直角梯形,根据斜二测画法的规则求出上底、下底、高,最后利用梯形的面积公式求解即可.

①②[总结反思]用斜二测画法画几何体的直观图,掌握线段位置、长度两要素的变化规律即可.几何体的直观图和原几何体的关系（形状和数量关系）是解题重点.

D

AD

角度2

展开图

B

［思路点拨］（1）根据圆锥的侧面展开图的特点即可得到方程，求出结果.

B

①②［思路点拨］（2）作出图形,将原问题转化为平面上两点间的距离最短问题,进而得解.[总结反思]利用空间几何体的展开图可以解决以下问题:（1）求几何体的表面积或侧面积;（2）求几何体表面上任意两个点的最短表面距离.

D

探究点二

简单几何体的表面积与体积角度1

侧面积与表面积

［思路点拨］（1）根据题意画出图形，结合图形求出圆锥的母线长和底面半径，即可求出圆锥的侧面积．（2）

如图，将正四面体沿相交于同一个顶点的三条棱上的3个点截去一个正四面体，如此共截去4个全等的正四面体，得到一个由正三角形与正六边形围成的几何体，且正六边形的面积为2，则原正四面体的表面积为____.12

[总结反思]计算空间几何体的表面积的一般步骤:（1）根据题目给出的背景，确定几何体的形状；（2）选择正确的平面图形的面积公式求解.注意表面积与底面积、侧面积的区别.

C

D

角度2

体积

C

［思路点拨］（1）由展开图的相关数据求出上下底面的半径，进而求出圆台的母线、高，最后由圆台的体积公式求解.（2）

[2023

·新课标Ⅱ卷]

底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为____.28

［思路点拨］（2）思路一：由大正四棱锥的体积减去小正四棱锥的体积可解；思路二：分析得出正四棱台的高与上、下底面的边长，再代入体积公式计算即可.

［思路点拨］（3）将四面体补成平行六面体，再用等体积法求解．

[总结反思]简单几何体的体积可用体积公式直接求解,一些组合体的体积需用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.

D

（2）

[2023·云南昆明一中一模]

沙漏也叫作沙钟，是一种测量时间的装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个相同的圆锥组成，B

AC

教师备用习题【备选理由】例1结合圆锥的侧面展开图考查最短路程问题;例2是圆台的侧面展开图问题;

例3考查利用割补法求多面体的体积，涉及平面与平面的夹角和垂直关系，有比较强的综合性.

A

C

C

作业手册◆

基础热身

◆

DA.等腰三角形

B.钝角三角形

C.等腰直角三角形

D.直角三角形

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A

12345678910111213141516173.某种壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给出了一个此种壶的相关数据，那么一个此种壶的最大盛水量为(

)

B

1234567891011121314151617

BA.3

B.4

C.5

D.61234567891011121314151617

12345678910111213141516175.

[2024·九省联考]已知轴截面为正三角形的圆锥MM'的高与球O的直径相等,则圆锥MM'的体积与球O的体积的比值是

,圆锥MM'的表面积与球O的表面积的比值是

.

1234567891011121314151617

12345678910111213141516176.如图，已知一个圆锥的底面半径与高均为2，且在这个圆锥中有一个内接圆柱．当此圆柱的侧面积最大时，此圆柱的体积等于___.

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综合提升

◆

C

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1234567891011121314151617

B①②

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1234567891011121314151617①②

B

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1234567891011121314151617

ABC

1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

AD

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1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

CD

1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

51234567891011121314151617

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能力拓展

◆

BC

去这4个小四棱锥，得到一个新的几何体（如图②），则该几何体(