第7讲 函数的单调性与最值

第二单元

函数第7讲

函数的单调性与最值课前基础巩固课堂考点探究作业手册教师备用习题借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值,理解它们的作用和实际意义.◆

知识聚焦

◆1.单调函数增函数减函数定义

增函数减函数图象描述________________________________________________________________________________________________自左向右看图象是_________________________________________________________________________________________________________自左向右看图象是_________上升的下降的

单调性单调区间续表3.函数的最值前提条件结论几何意义

纵坐标纵坐标常用结论1.函数单调性的常用结论：

（5）复合函数单调性的判断方法：若两个基本初等函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个基本初等函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数.简称“同增异减”.

4.函数最值的结论：（1）闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得.（2）开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值.◆

对点演练

◆题组一

常识题

2

题组二

常错题◆

索引：求单调区间时忘记定义域导致出错;讨论分段函数的单调性时忘记整体考虑致错;混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念.

探究点一

函数单调性的判断与证明

[总结反思]1.用定义法证明函数单调性的一般步骤为:取值、作差变形、判断符号、得出结论.

变式题

（多选题）下列函数在其定义域内是增函数的为(

)

BD

探究点二

求函数的单调区间

［思路点拨］（1）先分类讨论，去掉绝对值符号，然后利用二次函数图象的开口方向和对称轴判断单调递增区间即可.

［思路点拨］（2）对函数求导，利用导数的符号确定函数的单调区间.[总结反思]（1）求函数单调区间的常见方法:①定义法;②导数法;③性质法;④图象法.

A

A

探究点三

利用函数单调性解决问题微点1

比较大小

D

B

［思路点拨］（2）先得出函数图象的对称性和函数的单调性，再结合选项逐一判断即可.

[总结反思]比较函数值的大小时,若自变量的值不在同一个单调区间内,则要利用其函数性质转化到同一个单调区间内进行比较,对于选择题、填空题能用数形结合的尽量用图象法求解.微点2

解不等式问题

D

［思路点拨］（1）求出函数的定义域，判断函数的奇偶性与单调性，根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为关于自变量的不等式，求解即可.

D

[总结反思]

微点3

求函数最值

［思路点拨］（2）先利用换元法化简函数，进而可判断函数的单调性，即可求最值.[总结反思]1.求函数最值的三种基本方法：（1）单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.（2）图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.（3）基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.2.对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.微点4

求参数的范围（或值）

D

[总结反思]利用函数的单调性求参数的范围（或值）的注意点:（1）视参数为已知数,依据函数的图象或单调性的定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数;（2）若分段函数是单调函数,则不仅要保证在各区间上单调性一致,还要确保在整个定义域内是单调的.

C

C

教师备用习题【备选理由】例1考查利用已知函数的单调性直接判断组合函数的单调性；例2是通过构造函数，再结合该函数的单调性进行求解的问题；例3以分段函数为载体,考查利用单调性解不等式问题;例4是一个分段函数的最值问题，涉及分类讨论思想；例5考查利用复合函数的单调性求参数的取值范围.

ABD

B

A

作业手册◆

基础热身

◆1.下列函数在其定义域内是增函数的是(

)

A

1234567891011121314151617

D

1234567891011121314151617

B

1234567891011121314151617

AA.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

1234567891011121314151617◆

综合提升

◆

D

1234567891011121314151617

A

1234567891011121314151617

D

1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

BCA.1

B.2

C.3

D.4

1234567891011121314151617

CD

1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

10

1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

1234567891011121314151617

1234567891011121314