空间向量及其线性运算课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

新知引入1

这是一个做滑翔伞运动的场景.可以想象,在滑翔过程中,飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力.新知引入1思考:类比平面向量，你认为本章我们需要研究空间向量哪些内容?概念——运算——基本定理——坐标表示——应用1.1.1空间向量及其线性运算新知探究2新知引入1教学目标:（1）经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念，发展数学抽象素养；（2）掌握空间向量的加法、减法、数乘运算及其表示；（3）掌握空间向量加法、减法、数乘的运算律；（4）借助向量的线性运算的学习，提升数学运算素养.教学重点:空间向量的概念和线性运算及其应用教学难点:空间向量的线性运算及其应用新知探究2问题1平面向量是什么？你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？平面向量的概念空间向量的概念

平面内,既有大小又有方向的量,称为平面向量,平面向量的大小叫做向量的长度或模,记作或|a|.空间中,既有大小又有方向的量,称为空间向量,空间向量的大小叫做向量的长度或模,记作或|a|.一、空间向量的有关概念新知探究2问题2如何表示平面向量？你能类比平面向量的表示，给出空间向量的表示吗？平面向量的表示法空间向量的表示法

(1)有向线段(1)有向线段A(起点)B(终点)a(2)字母a,b,c,…(3)坐标表示:a＝(x，y)(2)字母a,b,c,…(3)坐标表示:a＝(x，y，z)一、空间向量的有关概念新知探究2问题3在学习平面向量时，我们还学习了一些新的概念.你还记得有哪些吗？你能把这些概念推广到空间向量中吗？平面向量的相关概念

零向量:单位向量:相等向量:相反向量:模为0的向量,记作0；零向量的方向任意；模为1的向量；模和方向都相同的两个向量,记作a＝b；模相同,方向相反的两个向量,记作a＝－b；空间向量的相关概念一、空间向量的有关概念新知探究2问题3在学习平面向量时，我们还学习了一些新的概念.你还记得有哪些吗？你能把这些概念推广到空间向量中吗？平面向量的相关概念

空间向量的相关概念共线向量:方向相同或相反的两个非零向量，叫做共线向量或平行向量，记作a∥b；规定,零向量和任意向量共线.共线向量:若表示空间向量的有向线段所在直线平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作a∥b；规定,零向量和任意向量共线.一、空间向量的有关概念新知探究2

√√√××××一、空间向量的有关概念新知探究2ab.Oα

转化平面向量的线性运算空间向量的线性运算空间向量是自由的,所以对于空间中的任意两个非零向量我们都可以通过平移使他们的起点重合.因为两条相交直线确定一个平面,所以起点重合的两个不共线向量可以确定一个平面,也就是说任意两个空间向量都可以平移到同一个平面内,成为同一平面内的两个向量.这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算,由此我们把平面向量的线性运算推广到空间,定义空间向量的加法,减法以及数乘运算.问题4空间向量的线性运算如何进行？二、空间向量的线性运算和运算律新知探究2(1)加减运算三角形法则:

首尾相连平行四边形法则: 共起点减法法则: 共起点， 连终点， 指被减问题4空间向量的线性运算如何进行？二、空间向量的线性运算和运算律新知探究2问题4空间向量的线性运算有哪些？(1)加减运算(2)数乘运算实数λ与平面向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下:①|λa|＝|λ||a|；②若λ>0,λa与a的方向相同；若λ<0,λa与a的方向相反；若λ＝0,λa＝0.二、空间向量的线性运算和运算律新知探究2问题5空间向量线性运算的运算律有哪些？平面向量的线性运算空间向量的线性运算

①交换律:a+b＝b+a；②结合律:a+(b+c)＝(a+b)+c，λ(μa)＝(λμ)a；③分配律:(λ+μ)a＝λa+μa，λ(a+b)＝λa+λb.由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量,任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算.二、空间向量的线性运算和运算律新知探究2问题5空间向量线性运算的运算律有哪些？平面向量的线性运算空间向量的线性运算

①交换律:a+b＝b+a；②结合律:a+(b+c)＝(a+b)+c，λ(μa)＝(λμ)a；③分配律:(λ+μ)a＝λa+μa，λ(a+b)＝λa+λb.你能证明这些运算律吗？证明结合律时，与证明平面向量的结合律有什么不同？二、空间向量的线性运算和运算律新知探究2

想一想：如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，分别标出

,

表示的向量.从中你能体会向量加法运算的交换律和结合律吗？一般地，三个不共面的向量的和与这三个向量有什么关系？

可以发现，.一般地，对于三个不共面的向量

，

，

，以任意点O为起点，

，

，

，为邻边作平行六面体，则

，

，

的和等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量.二、空间向量的线性运算和运算律新知探究2二、空间向量的线性运算和运算律新知探究22.(多选)如图，在正方体ABCD

－A1B1C1D1中，下列各式运算结果为

的是()二、空间向量的线性运算和运算律3.如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设_x001A_𝑨𝑨𝟏_x001B_＝a，_x001A_𝑨𝑩_x001B_＝b，_x001A_𝑨𝑫_x001B_＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量:(1)_x001A_𝑨𝑷_x001B_；(2)_x001A_𝑨𝟏𝑵_x001B_；(3)_x001A_𝑴𝑷_x001B_＋_x001A_𝑵𝑪𝟏_x001B_.(3)因为M是AA1的中点,所以_x001A_𝑀𝑃_x001B_＝_x001A_𝑀𝐴_x001B_＋_x001A_𝐴𝑃_x001B_＝_x001A_1_x001B_2_x001B__x001A_𝐴1𝐴_x001B_＋_x001A_𝐴𝑃_x001B_=－_x001A_1_x001B_2_x001B_a＋（a+_x001A_1_x001B_2_x001B_b+c)＝_x001A_1_x001B_2_x001B_a＋_x001A_1_x001B_2_x001B_b＋c,又_x001A_𝑁𝐶1_x001B_＝_x001A_𝑁𝐶_x001B_＋_x001A_𝐶𝐶1_x001B_＝_x001A_1_x001B_2_x001B__x001A_𝐵𝐶_x001B_＋_x001A_𝐴𝐴1_x001B_＝_x001A_1_x001B_2_x001B__x001A_𝐴𝐷_x001B_＋_x001A_𝐴𝐴1_x001B_＝_x001A_1_x001B_2_x001B_c＋a,所以_x001A_𝑀𝑃_x001B_＋_x001A_𝑁𝐶1_x001B_＝(_x001A_1_x001B_2_x001B_a＋_x001A_1_x001B_2_x001B_b＋c)＋(_x001A_1_x001B_2_x001B_c＋a)＝_x001A_3_x001B_2_x001B_a＋_x001A_1_x001B_2_x001B_b＋_x001A_3_x001B_2_x001B_c.新知探究2新知探究2思考：对任意两个空间向量

与

，如果

，

与

有什么位置关系？反过来，

与

有什么位置关系时，

？平面向量共线的充要条件

对任意两个平面向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a＝λb.对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a＝λb.三、共线定理、共面定理及其应用空间向量共线的充要条件新知探究2共线定理:对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.

三、共线定理、共面定理及其应用新知探究2如图,O是直线l上一点,在直线l上取非零向量a,则对于直线l上任意一点P,由数乘的定义及向量共线的充要条件可知,存在实数λ,使得.我们把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.直线可以由其上一点和它的方向向量确定.注意:(1)方向向量一定是非零向量(2)一条直线的所有方向向量都互相平行三、共线定理、共面定理及其应用新知探究2如图,如果表示向量的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合,那么称向量平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内,那么称向量平行于平面α.平行于同一个平面的向量叫做共面向量.三、共线定理、共面定理及其应用新知探究2问题6任意两个空间向量都可以通过平移，移到同一平面内，任意三个向量是否共面呢？

abαcp可能共面,也可能不共面.O三、共线定理、共面定理及其应用新知探究2问题6如何判断三个向量是否共面？ 若向量a，b是平面α内两个不共线的向量，则α内任意一个向量p，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得:p＝xa+yb.向量a、b、p什么关系？平面向量基本定理:三、共线定理、共面定理及其应用新知探究2问题6如何判断三个向量是否共面？ 若向量a，b是平面α内两个不共线的向量，则α内任意一个向量p，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得:p＝xa+yb.平面向量基本定理:空间向量共面的充要条件:两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使得:p＝xa+yb.三、共线定理、共面定理及其应用新知探究2共面向量定理推论:OACBP①空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x,y),使②P、A、B.C四点共面的充要条件是对空间任意一点O，三、共线定理、共面定理及其应用课堂练习34.若非零空间向量_x001A_𝒆_x001B_𝟏_x001B_,_x001A_𝒆_x001B_𝟐_x001B_不共线,则使_x001A_2𝑘𝒆_x001B_𝟏_x001B_−_x001A_𝒆_x001B_𝟐_x001B_与_x001A_𝒆_x001B_𝟏_x001B_+2(𝑘+1)_x001A_𝒆_x001B_𝟐_x001B_共线的𝑘值为________.课堂练习3例1如图,已知平行四边形ABCD,从平面AC外一点O作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点E,F,G,H,使求证:E，F，G，H四点共面课堂练习3证明:·追问：最终的结果你还有没有其他的表示方法？能得到什么结论？课堂练习35.在下列条件中，使M与A、B.C一定共面的是（）A．_x001A_𝑂𝑀_x001B_=2_x001A_𝑂𝐴_x001B_−_x001A_𝑂𝐵_x001B_−_x001A_𝑂𝐶_x001B_ B．_x001A_𝑂𝑀_x001B_=_x001A_1_x001B_5_x001B__x001A_𝑂𝐴_x001B_+_x001A_1_x001B_3_x001B__x001A_𝑂𝐵_x001B_+_x001A_1_x001B_2_x001B__x001A_𝑂𝐶_x001B_C．_x001A_𝑀𝐴_x001B_+_x001A_𝑀𝐵_x001B_+_x001A_𝑀𝐶_x001B_=_x001A_0_x001B_

D．_x001A_𝑂𝑀_x001B_+_x001A_𝑂𝐴_x001B_+_x001A_𝑂𝐵_x001B_+_x001A_𝑂𝐶_x001B_=_x001A_0_x001B_【解析】空间的四点M、A、B.C四点共面，只需满足_x001A_𝑂𝑀_x001B_=𝑥_x001A_𝑂𝐴_x001B_+𝑦_x001A_𝑂𝐵_x001B_+𝑧_x001A_𝑂𝐶_x001B_，且𝑥+𝑦+𝑧=1即可，对于A，_x001A_𝑂𝑀_x001B_=2_x001A_𝑂𝐴_x001B_−_x001A_𝑂𝐵_x001B_−_x001A_𝑂𝐶_x001B_中𝑥+𝑦+𝑧=0，故此时四点M、A、B.C四点不共面；对于B，_x001A_𝑂𝑀_x001B_=_x001A_1_x001B_5_x001B__x001A_𝑂𝐴_x001B_+_