苏科版2024-2025学年八年级数学上册1.23 全等三角形（全章常考核心考点分类）（培优练）（含答案）

专题1.23全等三角形（全章常考核心考点分类专题）（培优练）【考点目录】【考点1】利用全等三角形性质求角度与线段长；【考点2】利用“SSS”求值与证明；【考点3】利用“SAS”求值与证明；【考点4】利用“ASA”或“AAS”求值与证明；【考点5】利用“HL”求值与证明；【考点6】添加条件证明三角形全等；【考点7】尺规作图与三角形全等；【考点8】添加辅助线证明三角形全等；【考点9】利用角平分线性质与判定求值或证明；【考点10】利用垂直平分线求线段长或证明；【考点11】全等全角形综合问题；【考点12】全等全角形压轴题.单选题【考点1】利用全等三角形性质求角度与线段长；1．（23-24八年级上·福建泉州·期中）如图，，的延长线交于点，交于点．若，，，则的度数为（

）A． B． C． D．2．（23-24七年级下·辽宁锦州·期末）如图，，，下列结论错误的是（

）A． B． C． D．【考点2】利用“SSS”求值与证明；3．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在和中，，与相交于点，则的度数为（

）A． B． C． D．4．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）已知，如图所示的网格是由9个相同的小正方形拼成的，图中的各个顶点均为格点，则的度数为（

）A． B． C． D．【考点3】利用“SAS”求值与证明；5．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，是的角平分线，点E、F分别是上的动点，若，当的值最小时，的度数为（

）

A． B． C． D．6．（23-24八年级上·四川泸州·期末）如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点．且，连接，下列说法：①和的面积相等；②；③；④．其中，正确的说法有（）A．②③ B．①③ C．①②③④ D．①②③【考点4】利用“ASA”或“AAS”求值与证明；7．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，在与中，A、C、E三点在一条直线上，，，，若，，则的长为（

）A．10 B．14 C．24 D．88．（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在四边形中，，，和的平分线交于点P，点P在上，于点E，若四边形的面积为78，，则的长为（

）

A．6 B．10 C．12 D．18【考点5】利用“HL”求值与证明；9．（23-24八年级下·辽宁朝阳·期中）如图，在中，，是上一点，于点，，连接，若，则等于（

）A． B． C． D．10．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，于点于，且的延长线分别交，于点C，F．下列结论错误的是（

）A． B． C． D．平分【考点6】添加条件证明三角形全等；11．（23-24七年级下·安徽宿州·期末）如图，在和中，，．在下列条件中，不能保证的是（）A． B．C．， D．12．（2024·河北唐山·三模）在和中，，，，则下列结论一定正确的是（

）A． B．C． D．【考点7】尺规作图与三角形全等；13．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（

）A．， B．，C．，， D．，，14．（2021·河南焦作·二模）已知锐角，如图，（1）在射线上取点，，分别以点为圆心，，长为半径作弧，交射线于点，；（2）连接，交于点．根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误的是（

）A． B．C．若，则 D．点在的平分线上【考点8】添加辅助线证明三角形全等；15．（23-24七年级下·山东东营·期末）如图，在中，是边上的中线，中线的取值范围在数轴上表示正确的是（

）A． B．C． D．16．（21-22八年级上·福建龙岩·期中）如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（

）A．36 B．21 C．30 D．22【考点9】利用角平分线性质与判定求值或证明；17．（18-19八年级上·上海长宁·阶段练习）如图，△ABC中,AD是∠BAC的平分线，AB=4，AC=3,那么△ABD和△ADC的面积比是（

）

A．1:1 B．3:4 C．4:3 D．不能确定18．（18-19七年级下·山东济南·期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中：①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的中垂线上；④△ABD边AB上的高等于DC．其中正确的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【考点10】利用垂直平分线求线段长或证明；19．（2019·海南省直辖县级单位·二模）如图，△ABC中，AC＝8，BC＝5，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则△DBC的周长为（）A．13 B．12 C．10 D．920．（18-19七年级下·广东深圳·期末）如图，以的顶点O圆心，适当长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D．再分别以点C、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点E，作射线OE，连接CD，则下列说法错误的是(

)A．射线OE是的平分线 B．是等腰三角形C．直线OE垂直平分线段CD D．O、E两点关于CD所在直线对称【考点11】全等全角形综合问题；21．（23-24七年级下·重庆·期末）在中，，点D是上，点E在上，，，若，则的长为（

）A． B．2 C． D．322．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，中，，，，直线经过点且与边相交．动点从点出发沿路径向终点运动；动点从点出发沿路径向终点运动．点和点的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点到达终点时计时结束．在某时刻分别过点和点作于点，于点，设运动时间为秒，则当为（

）秒时，与全等．A．12或 B．2或或10 C．1或 D．2或或12【考点12】全等全角形综合问题.23．（23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在锐角三角形中，是边上的高，分别以为一边，向外作正方形和（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接和与的延长线交于点，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确结论的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个24．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图所示，中，，M、N分别为、上动点，且，连、，当最小时，（）．A．2 B． C． D．1填空题【考点1】利用全等三角形性质求角度与线段长；25．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，，，，则．26．（23-24七年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，，，为边上的高，直线上一点满足，点从点出发在直线上以的速度移动，设运动时间为秒，当秒时，能使与以点、、为顶点的三角形全等．【考点2】利用“SSS”求值与证明；27．（23-24八年级上·吉林白山·阶段练习）如图，已知，，若，则度．28．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期中）如图，已知点A，B，D，E在同一直线上，，，，若，则的度数为．

【考点3】利用“SAS”求值与证明；29．（2024·重庆沙坪坝·一模）如图，D，E是外两点，连接，，有，，．连接，交于点F，则的度数为．30．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，中，，以为边向右下方作，满足，点为上一点，连接，若，，，则．【考点4】利用“ASA”或“AAS”求值与证明；31．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，在四边形中，平分，，，，则面积的最大值为．32．（23-24七年级下·山东淄博·期末）如图，在中，平分，于点，若的面积为，则阴影部分的面积为．【考点5】利用“HL”求值与证明；33．（23-24七年级下·河南平顶山·期末）在和中，，，，若边和上的高都是3，，则．34．（21-22八年级上·江苏扬州·期中）如图，点D在上，．若，则．【考点6】添加条件证明三角形全等；35．（23-24八年级上·浙江温州·期中）如图，的两条高、相交于点请添加一个条件，使得（不添加其他字母及辅助线），你添加的条件是．

36．（23-24八年级上·北京平谷·期末）如图，在和中，若，且，请你添加一个适当的条件，使．添加的条件是：（写出一个即可）．

【考点7】尺规作图与三角形全等；37．（21-22七年级下·山东烟台·期中）如图，点B在直线l上，分别以线段BA的端点为圆心，以BC（小于线段BA）长为半径画弧，分别交直线l，线段BA于点C，D，E，再以点E为圆心，以CD长为半径画弧交前面的弧于点F，画射线AF．若∠BAF的平分线AH交直线l于点H，∠ABC=70°，则∠AHB的度数为．38．（21-22九年级下·北京·开学考试）李老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题．操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动．图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图．有以下结论：①当，时，可得到形状唯一确定的②当，时，可得到形状唯一确定的③当，时，可得到形状唯一确定的其中所有正确结论的序号是．【考点8】添加辅助线证明三角形全等；39．（19-20八年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，线段AB=8cm，射线AN⊥AB，垂足为点A，点C是射线上一动点，分别以AC，BC为直角边作等腰直角三角形，得△ACD与△BCE，连接DE交射线AN于点M，则CM的长为．

40．（19-20八年级上·上海静安·期末）如图，已知在中，平分，，则.（用含的代数式表示）.【考点9】利用角平分线性质与判定求值或证明；41．（22-23七年级下·山东济南·期末）如图，在中，和的平分线相交于点O，过点O作交于点E，交点F，过点O作于点D，连接，下列四个结论：①和都是等腰三角形；②点O到各边的距离相等；③若，则；④，其中结论正确的有．42．（18-19七年级下·广东·期末）如图，AB∥CD，∠BAC与∠ACD的平分线交于点P，过P作PE⊥AB于E，交CD于F，EF＝10，则点P到AC的距离为．【考点10】利用垂直平分线求线段长或证明；43．（18-19七年级下·四川成都·期末）如图，为的中点，过点作的垂线交于点，连接，若，则的周长为．44．（21-22八年级上·福建泉州·期末）如图，点M，N到直线l的距离为MA，ND，垂足分别为A，D，B为AD的中点，作MN的垂直平分线交直线l于点C，连接MB，MC，NC，，现给出下列结论：①；②；③MB平分；④若，，则．其中正确的是．【考点11】全等全角形综合问题；45．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，延长到E，使得，连接，过点A作，且．连接与的延长线交于D点，则的长为．46．（23-24七年级下·重庆·期末）如图，点D是外一点，，连接，过点D作于E，，则．【考点12】全等全角形综合问题.47．（2024八年级·全国·竞赛）如图，，，，与交于点，连接，则的度数为．48．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，，，，在边上取一点，连接，且，若，，则的长为．参考答案：1．B【分析】本题考查全等三角形的性质、三角形外角的性质，由，则与是一组对应角，与是一组对应角，对于，外角等于除外的两个内角之和，求得，再在中，由三角形内角和即可求得结果．【详解】解：，，，，．由三角形外角的性质可得，．．，，．故选：B．2．D【分析】根据“全等三角形对应角相等，对应边相等”依次判断即可．本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．【详解】解：∵，，故A选项正确；∵中，，，，∴，故B选项正确；∵中，，，，，，∴，故C选项正确；∵，，，故D选项错误．故选：D3．C【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，由条件可证，可求得，再利用三角形内角和求得，即可求解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．【详解】解：在和中，，∴，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，故选：C．4．C【分析】本题考查网格中的全等三角形，会利用全等图形求正方形网格中角度之和是解答的关键．根据网格特点，可得出，进而可求解．【详解】解：如图，由图可知：，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．故选C．5．C【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，直角三角形的性质等知识．过点作于点，交于点，过点作于点，与交于点，连接，可证得，同理，可知，，，进而可知，即，在上时最小．由是的角平分线，可知，由“直角三角形两锐角互余”可得，则，由此可得结论．【详解】解：在上，作于点，交于点，过点作于点，与交于点，连接，，如图，则，

∵平分，∴，∵，，∴，同理，∴，，，∴，即：，在上时最小．是的角平分线，，∵，，则，．故选C．6．B【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等底等高的三角形的面积相等，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．根据三角形中线的定义可得，根据等底等高的三角形的面积相等判断出①正确，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形对应角相等可得，再根据内错角相等，两直线平行可得，由已知无法判定②④，从而可得答案．【详解】解：∵是的中线，∴，∴和面积相等，故①正确；∵为的中线，∴，和不一定相等，故②错误；在和中，，∴，∴，∴，故③正确；∵，∴，无法得到，故④错误，正确的结论为：①③．故选B．7．A【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明两个三角形全等是关键；证明，由全等三角形对应边相等即可求解．【详解】解：，；，；，，；，，，，；故选：A．8．C【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线定义，平行线性质，通过证明，，得到，根据求出结果即可．【详解】解：，，，于点E，，平分，平分，，，在与中，，，同理，，，，，故选：C．9．C【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明，由全等三角形的性质得出，则可得出答案，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．【详解】∵，∴，在和中，，∴，∴，∴，故选：．10．B【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，以及全等三角形对应边相等，对应角相等．通过证明，得出，，即可解答．【详解】解：在和中，，∴，故A正确，不符合题意；∴，，故C正确，不符合题意；∴平分，故D正确，不符合题意；∵，，∴，故B错误，符合题意；故选：B．11．A【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．利用三角形全等的判定定理即可求解．【详解】解：A．所给条件构成不能判定两个三角形全等，故A选项符合题意；B．可用判定三角形全等，故B选项不符合题意；C．由，，可得，，可用判定三角形全等，故C选项不符合题意；D．由可得，可用判定三角形全等，故D选项不符合题意；故选：A．12．D【分析】本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质，根据三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质进行判断即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】、根据全等三角形的判定方法，不能判定，此选项不符合题意；、由可得和不一定全等，所以与不一定相等此选项不符合题意；、与不能判断大小，则无确定值，此选项不符合题意；、根据三角形的内角和可得：，，又，，则，此选项符合题意；故选：．13．D【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．由全等三角形的判定方法，逐项进行判断即可．【详解】解：A、C选项中的条件没有边的长度，因此不能画出唯一的，故A、C不符合题意；B选项只是知道两边的长度，不能画出唯一的；D．已知两角和这两角的夹边，能够画出唯一的，故D符合题意．故选：D．14．C【分析】根据题意可知，即可推断结论A；先证明，再证明即可证明结论B；连接OP，可证明可证明结论D；由此可知答案．【详解】解：由题意可知，，，故选项A正确，不符合题意；在和中，，，在和中，，，，故选项B正确，不符合题意；连接OP，，，在和中，，，，点在的平分线上，故选项D正确，不符合题意；若，，则，而根据题意不能证明，故不能证明，故选项C错误，符合题意；故选：C．【点拨】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，明确以某一半径画弧时，准确找到相等的线段是解题的关键．15．A【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，在数轴上表示不等式的解集，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长到点，使，连接，根据三角形的中线定义可得，然后利用证明，从而可得，再在中，利用三角形的三边关系求得的范围，再进行选择即可．【详解】解：延长到点，使，连接，是边上的中线，，，，，，在中，，，，只有选项A符合要求，故选：A16．B【分析】将关于对称得到，从而可得的面积为15，再根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，最后根据与的面积之和等于与的面积之和即可得．【详解】解：如图，将关于AE对称得到，则，，，，，在和中，，，，，即是直角三角形，，，即与的面积之和为21，故选：B．【点拨】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键．17．C【分析】如图，过D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线的性质得到DE=DF，然后利用三角形的面积公式就可以得到△ABD与△ADC的面积比是AB：AC，再利用已知条件即可求出结果．【详解】解：如图，过D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

∵AD是∠BAC的角平分线，∴DE=DF，∴S△ABD：S△ADC=AB•DE：AC•DF=AB：AC=4：3．故选C．【点拨】本题考查角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记等高三角形的面积关系是解题的关键．18．D【分析】①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线；②利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数；③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点D在AB的中垂线上；④利用角平分线上的一点到线段两端点的距离相等，因此判断出△ABD边AB上的高等于DC.【详解】①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．故①正确；②∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°．又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠CAD=∠BAD=∠CAB=30°，∴∠ADC=90°-∠2=60°，即∠ADC=60°．故②正确；③∵∠BAD=∠B=30°，∴AD=BD，∴点D在AB的中垂线上．故③正确；④角平分线上的一点到线段两端点的距离相等,因此判断出△ABD边AB上的高等于DC.故④正确．综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个．故选D．【点拨】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图．解题时，需要熟悉等腰三角形的判定与性质．19．A【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，然后利用等线段代换得到△DBC的周长=AC+BC．【详解】∵DM垂直平分AB，∴DA＝DB，∴△DBC的周长＝DC+DB+BC＝DC+DA+BC＝AC+BC＝8+5＝13．故选A．【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．20．D【分析】连接CE、DE，根据作图得到OC=OD、CE=DE，利用SSS证得△EOC≌△EOD从而证明得到射线OE平分∠AOB，判断A正确；根据作图得到OC=OD，判断B正确；根据作图得到OC=OD，由A得到射线OE平分∠AOB，根据等腰三角形三线合一的性质得到OE是CD的垂直平分线，判断C正确；根据作图不能得出CD平分OE，判断D错误．【详解】A、连接CE、DE，根据作图得到OC=OD、CE=DE，又OE是公共边，∴△EOC≌△EOD(SSS)，∴∠AOE=∠BOE，即射线OE是∠AOB的平分线，故A选项正确，不符合题意；B、根据作图得到OC=OD，∴△COD是等腰三角形，故B选项正确，不符合题意；C、根据作图得到OC=OD，又∵射线OE平分∠AOB，∴OE是CD的垂直平分线，故C选项正确，不符合题意；D、根据作图不能得出CD平分OE，∴CD不是OE的平分线，∴O、E两点关于CD所在直线不对称，故D选项错误，符合题意，故选D．【点拨】本题考查了解平分线的作法，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，轴对称的判定等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.21．B【分析】本题考查全等三角形的判定和性质：过点作，连接，先证明，得到，求出的长，再证明，得到，进而求出的长即可．【详解】解：过点作，连接，则：∵，∴，∵，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴；故选B．22．D【分析】本题考查的是全等三角形的性质，一元一次方程的应用，以及分类讨论的数学思想，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．分点Q在上，点P在上；点P与点Q重合；Q与A重合三种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可．【详解】解：①如图1，Q在上，点P在上时，作，由题意得，，∵，∴，∵，∴，∴，当时，则，即，解得：；②如图2，当点P与点Q重合时，由题意得，，∵，∴，当，则，∴，解得：；③如图3，当点Q与A重合时，由题意得，，∵，∴，∵，∴，当，则，即，解得：；当综上所述：当秒或秒或12秒时，与全等，故选D．23．D【分析】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，在解答时作辅助线的延长线于P，过点G作于Q构造出全等三角形是难点，运用全等三角形的性质是关键，分析题意，根据正方形的性质可得可求出，由“边角边”可得，可判断①是否正确；设、相交于点N，由可得，即可判断②的正确性；根据同角的余角相等求出，再证明，根据全等三角形性质即可判断④是否正确；证明，根据全等三角形的对应边相等即可判断③是否正确，从而完成解答．【详解】解：在正方形和中，，，，即，在和中，，，，，故①正确；设相交于点N，，，，，，故②正确；过点G作于Q，过点E作的延长线于P，如图所示：，，，，，在和中，，，，，故④正确；同理可得，，在和中，，，，，是的中线，故③正确．综上所述，①②③④结论都正确，共4个．故选：D．24．D【分析】过B点在下方作，且，链接，，先证明，即有，则，当A、M、H三点共线时，值最小，再证明，问题随之得解．【详解】如图，过B点在下方作，且，链接，，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，当A、M、H三点共线时，值最小，如图，此时∵，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，故选：D．【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，作出辅助线，构造全等三角形是解答本题的关键．25．/10度【分析】本题考查的是全等三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．根据全等三角形的性质求出，根据三角形内角和定理和三角形外角的性质即可计算．【详解】解：∵，，，，，故答案为：10度．26．7或15【分析】本题考查了全等三角形的性质，分两种情况讨论，或，进而求得的值，即可求解．【详解】解：为边上的高，，，，，，当时，，，或，或，即当或秒时，能使与以点、．故答案为：或．27．105【分析】本题考查邻补角定义，全等三角形性质及判定．根据题意可证，继而得到，再利用邻补角定义计算度数即可．【详解】解：在和中，，∴，∵，∴，∴，故答案为：105．28．/85度【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．由“”可证，可得，可证，即可求解．【详解】解：，，在和中，，，，，，，故答案为：．29．/140度【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明是解题的关键．设交于点G，由，推导出，而，，即可根据“”证明，得，可求得，则，于是得到问题的答案．【详解】解：设交于点G，，，在和中，，，，，，故答案为：．30．5【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．延长到E，使，连接，先证明，得到，，再证明，得到，即可由，进而即可求解．【详解】解：延长到E，使，连接，如图，∵，，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，在与中，，∴，∴，∴．故答案为：5．31．7.5【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂线段最短，分别延长与交于点，作交延长线于点，可证明，得到，求面积最大值转化成求线段的最大值即可，解题的关键是作出辅助线，构造出全等三角形．【详解】分别延长与交于点，作交延长线于点，

∵平分，，∴，，又∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴当点重合时，最大，最大值为3，∴，故答案为：7.5．32．3【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，以及三角形中线的性质．遇到角平分线和垂线，构造全等三角形是解题的关键．延长交于，证明，利用三角形的中线的性质即可得解．【详解】解：延长交于，∵平分，∴，∵，∴，在与中，，∴，∴，∴，，∴阴影部分的面积；故答案为：3．33．或【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．过A作于点D，过作于点，可得，分四种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质即可求解．【详解】解：过A作于点D，过作于点，∵边和上的高都是3，∴，当在点D的两侧，在点的两侧时，如图，

∵，，∴，∴；当在点D的同侧，在点的同侧时，如图，

同理可得：，；当在点D的两侧，在点的同侧时，如图，

∵，，∴，∴，即；当在点D的同侧，在点的两侧时，如图，

同理可得：；综上，的值为或．故答案为：或．34．/45度【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．证明，可得，即可求解．【详解】解：∵，∴．又∵，在与中，∵，∴，∴，∴．故答案为：35．（答案不唯一）【分析】此题主要考查了三角形全等的判定方法，添加，根据全等三角形的判定方法判定，解题的关键是熟练掌握两个三角形全等的判定方法、、、、．【详解】解：若添加，∵、是得两条高，∴，在和中，，∴，添加的条件可以是．故答案为：36．（答案不唯一）【分析】本题考查全等三角形的判定，直角三角形的性质，对顶角性质．先证明，又因为，根据全等三角形的判定定理，在与中只需要再加一对对应边相等即可使，所此求解即可．【详解】解：如图，

∵，∴，∴，∵，∴∵，∴，∴当添加时，则在与中，，∴故答案为：（答案不唯一）．37．35°/35度【分析】连接CD，EF．由题目中尺规作图可知：，．可证，所以，可得．所以．由于AH平分，所以．即：．【详解】解：连接CD，EF由题目中尺规作图可知：，在和中AH平分故答案为：．【点拨】本题主要考查知识点为，全等三角形的性质及判定、定点为圆心定长为半径的性质、平行线的判定及性质，角平分线的性质．能看懂尺规作图，熟练掌握全等三角形的性质及判定、平行线的性质及判定，角平分线的性质，是解决本题的关键．38．②③/③②【分析】分别在以上三种情况下以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，观察弧与直线AM的交点即为Q点，作出后可得答案．【详解】如下图，当∠PAQ=30°，PQ=6时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现两个位置的Q都符合题意，所以不唯一，所以①错误．如下图，当∠PAQ=90°，PQ=10时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现两个位置的Q都符合题意，但是此时两个三角形全等，所以形状相同，所以唯一，所以②正确．如下图，当∠PAQ=150°，PQ=12时，以P为圆心，PQ的长度为半径画弧，弧与直线AM有两个交点，作出，发现左边位置的Q不符合题意，所以唯一，所以③正确．综上：②③正确．故答案为：②③【点拨】本题考查的是三角形形状问题，为三角形全等来探索判定方法，也考查三角形的作图，利用对称关系作出另一个Q是关键．39．4cm.【分析】过点E作EF⊥AN于F，先利用AAS证出△ABC≌△FCE，从而得出AB=FC=8cm，AC=FE，然后利用AAS证出△DCM≌△EFM,从而求出CM的长.【详解】解：过点E作EF⊥AN于F，如图所示

∵AN⊥AB，△BCE和△ACD为等腰直角三角形，∴∠BAC=∠BCE=∠ACD=∠CFE=90°，BC=CE，AC=CD∴∠ABC+∠ACB=90°，∠FCE+∠ACB=90°，∴∠ABC=∠FCE，在△ABC和△FCE中∴△ABC≌△FCE∴AB=FC=8cm，AC=FE∴CD=FE在△DCM和△EFM中∴△DCM≌△EFM∴CM=FM=FC=4cm.故答案为：4cm.【点拨】此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握用AAS证两个三角形全等是解决此题的关键.40．a-b【分析】在CB上截取CA′=CA，连接DA′，根据SAS证明△ADC≌△A′DC，根据△ADC≌△A′DC，得出DA′=DA，∠CA′D=∠A，再证明DA′=A′B即可解决问题.【详解】在CB上截取CA′=CA，连接DA′，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠A′CD，在△ADC和△A′DC中，，∴△ADC≌△A′DC（SAS），∴DA′=DA，∠CA′D=∠A，∵∠A=2∠B，∠CA′D=∠B+∠A′DB，∴∠A′DB=∠B，∴BA′=A′D=AD，∴BC=CA′+BA′=AC+AD∴AD=BC-AC=a-b，故答案为：a-b.【点拨】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.41．①②③④【分析】根据角平分线的性质和平行的性质证明，，即可证明①；过点O作，，根据角平分线的性质证明即可②；根据角平分线的性质和三角形内角和求解③即可；根据角平分线的性质可得，即可证明④．【详解】解：∵和的平分线相交于点O，∴，，∵，∴，，∴，，∴，∴和都是等腰三角形，故①正