苏科版2024-2025学年八年级数学上册1.7探索三角形全等的条件(HL)(知识梳理与考点分类讲解)(学生版+解析)

专题1.7探索三角形全等的条件（HL）（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】直角三角形全等的判定方法——斜边、直角边（HL）（1）判定方法：斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.（2）书写格式：如图，在Rt△ABC和△Rt中，【知识点二】判定两个直角三角形全等的方法判定一般三角形全等的方法对判定两个直角三角形全等全部适用，因此我们可以根据“HL”“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”这五种方法来判定两个直角三角形全等.【知识点三】判定两个直角三角形全等的思路已知一条直角边对应相等，可用判定方法“SAS”“HL”“ASA”或“AAS”；已知斜边对应相等，可用判定方法“HL”“AAS”;已知一锐角对应相等，可用判定方法“ASA”或“AAS”.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】用“HL”证明直角三角形全等【例1】（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在和中，，，与分别为，边上的中线，且，求证：．【变式1】（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，，，垂足分别为，，要根据“”证明与全等，则还需要添加一个条件是（

）A． B． C． D．【变式2】（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边”直接证明，则还需补充的条件是．【题型2】全等的性质与“HL”综合【例2】（2024·四川达州·一模）如图，在中，，于点D，，且，过C作．（1）求证：；（2）求证：．【变式1】（22-23八年级下·全国·假期作业）如图，，，点A，D和B，C分别在直线和上，点E在上，，，，则的值为（

）

A．3 B．5 C．7 D．9【变式2】如图，点D在上，于点E，交AC于点F，．若，则．

【题型3】全等三角形的综合问题【例3】（22-23八年级上·重庆綦江·期末）综合与探究：如图，在和中，，，，的延长线交于点．（1）求证：．（2）若，求的度数．（3）过点作于点，请探究、、三条线段的数量关系，并证明．【变式1】（23-24八年级上·浙江湖州·期中）如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正确的结论是（

）A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③【变式2】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知四边形中，，对角线平分，那么为度．

第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】

（2023·江苏南通·中考真题）如图，点，分别在，上，，，相交于点，．求证：．小虎同学的证明过程如下：证明：∵，∴．∵，∴．第一步又，，∴第二步∴第三步

（1）小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误；（2）请写出正确的证明过程．【例2】（2019·湖北孝感·中考真题）如图，已知，与交于点，，求证：.2、拓展延伸【例1】（23-24八年级上·重庆江北·阶段练习）阅读下列材料，然后解决问题：截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题．

（1）如图，平分，，探究、与之间的关系．解决此问题可以用如下方法：在上截，易证，则，，利用三角形的外角定理及等腰三角形的判定，可以得到、及的数量关系是．（此方法为截长法，当然我们也可以考虑延长）（2）问题解决：如图，在四边形中，，，、分别是边，边上的两点，且，求证：．（3）问题拓展：如图，在中，，，平分的外角，交延长线于点，是上一点，且．求证：．【例2】（22-23七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）综合与探究如图，在和中，，，，的延长线交于点F．（1）求证：．（2）若，请直接写出的度数．（3）过点A作于点H，求证：．专题1.7探索三角形全等的条件（HL）（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】直角三角形全等的判定方法——斜边、直角边（HL）（1）判定方法：斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.（2）书写格式：如图，在Rt△ABC和△Rt中，【知识点二】判定两个直角三角形全等的方法判定一般三角形全等的方法对判定两个直角三角形全等全部适用，因此我们可以根据“HL”“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”这五种方法来判定两个直角三角形全等.【知识点三】判定两个直角三角形全等的思路已知一条直角边对应相等，可用判定方法“SAS”“HL”“ASA”或“AAS”；已知斜边对应相等，可用判定方法“HL”“AAS”;已知一锐角对应相等，可用判定方法“ASA”或“AAS”.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】用“HL”证明直角三角形全等【例1】（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在和中，，，与分别为，边上的中线，且，求证：．【分析】此题考查了全等三角形的判定，根据三角形中线的定义得到，，由，得到，利用即可证明．证明：∵与分别为，边上的中线，∴，，∵，∴，在和中，，∴．【变式1】（23-24八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，，，垂足分别为，，要根据“”证明与全等，则还需要添加一个条件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了全等三角形的判定定理；根据已知公共边为，根据只要找到对应的直角边或，即可求解．解：在与中，∴，故选：B．【变式2】（23-24八年级上·辽宁大连·期中）如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边”直接证明，则还需补充的条件是．【答案】【分析】根据证明两个直角三角形全等，需满足一组直角边、一组斜边分别相等，由此可得答案．解：由题意知，在和都是直角三角形，已有一组直角边相等，若要用“斜边、直角边”直接证明，还需满足“斜边相等”，因此还需补充的条件是，故答案为：．【题型2】全等的性质与“HL”综合【例2】（2024·四川达州·一模）如图，在中，，于点D，，且，过C作．（1）求证：；（2）求证：．【分析】本题考查的是同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键；（1）证明，即可得到结论；（2）先证明，再证明即可得到结论．（1）证明：∵，∴，∵，，∴，∴，∴；（2）证明：∵，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴．【变式1】（22-23八年级下·全国·假期作业）如图，，，点A，D和B，C分别在直线和上，点E在上，，，，则的值为（

）

A．3 B．5 C．7 D．9【答案】C【分析】运用方法判定，得，进而求解．解：∵，，∴．∵，，∴．∴．∴．故选：C．【点拨】本题考查三角形全等的判定和性质，掌握直角三角形全等的判定方法是解题的关键．【变式2】如图，点D在上，于点E，交AC于点F，．若，则．

【答案】/55度【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，证明得到，是解题的关键．利用证明得到，利用三角形外角的性质求出的度数，再利用三角形的外角的性质即可得到答案．解：∵，，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴；故答案为：．【题型3】全等三角形的综合问题【例3】（22-23八年级上·重庆綦江·期末）综合与探究：如图，在和中，，，，的延长线交于点．（1）求证：．（2）若，求的度数．（3）过点作于点，请探究、、三条线段的数量关系，并证明．【答案】(1)见解析；(2)；(3)，证明见解析【分析】（1）可利用证明结论；（2）由全等三角形的性质可得，结合平角的定义可得，根据，可求得，即可求解；（3）连接，过点A作于点J．结合全等三角形的性质利用证明，可得，，进而可证明结论．（1）证明：．．在和中，，；（2）解：，，．，，；（3）结论：证明：如图，连接，过点作于点．，，，，．，．在和中，，，．在和中，，，，．【点拨】本题主要考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定条件是解题的关键．【变式1】（23-24八年级上·浙江湖州·期中）如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正确的结论是（

）A．④⑤ B．①② C．③⑤ D．①②③【答案】C【分析】由E、F分别是上的任意点，可知与不一定相等，与也不一定全等，可判断①错误，②错误；延长到点G，使，连接，先证明，得，由，可以推导出，则，即可证明，得，因为，所以，可判断③正确，因为，所以，可判断⑤正确；由平分结合，推出与题干互相矛盾，可得④错误．解：∵E、F分别是上的任意点，∴与不一定相等，故①错误；∵于点于点D，∴，∵，∴的另一个条件是，∵与不一定相等，∴与不一定全等，故②错误；延长到点G，使，连接，则，∴，在和中，，∴，∴∵，∴，∴，在和中，，∴，

∴∴，∴平分，故③⑤正确；若平分，而，∴，与题干信息矛盾，故④错误；故选C【点拨】此题重点考查角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键．【变式2】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知四边形中，，对角线平分，那么为度．

【答案】59【分析】延长，过点D作，，根据条件证明可得，过点D作，证明，，运用三角形内角和即可求解．解：延长，过点D作，，如图，

∴，∵对角线平分，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴平分，过点D作，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，故答案为：．【点拨】本题考查几何问题，涉及到角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等，正确作出辅助线是关键．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】

（2023·江苏南通·中考真题）如图，点，分别在，上，，，相交于点，．求证：．小虎同学的证明过程如下：证明：∵，∴．∵，∴．第一步又，，∴第二步∴第三步

（1）小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误；（2）请写出正确的证明过程．【答案】(1)二(2)见解析【分析】（1）根据证明过程即可求解．（2）利用全等三角形的判定及性质即可求证结论．（1）解：则小虎同学的证明过程中，第二步出现错误，故答案为：二．（2）证明：∵，，在和中，，，，在和中，，，．【点拨】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．【例2】（2019·湖北孝感·中考真题）如图，已知，与交于点，，求证：.【分析】由证明得出，由等腰三角形的判定定理即可得出结论．解：∵，∴和是直角三角形，在和中，，∴，∴，∴．【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的判定定理，证明三角形全等是解题的关键．2、拓展延伸【例1】（23-24八年级上·重庆江北·阶段练习）阅读下列材料，然后解决问题：截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．具体的做法是在某条线段上截取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题．

（1）如图，平分，，探究、与之间的关系．解决此问题可以用如下方法：在上截，易证，则，，利用三角形的外角定理及等腰三角形的判定，可以得到、及的数量关系是．（此方法为截长法，当然我们也可以考虑延长）（2）问题解决：如图，在四边形中，，，、分别是边，边上的两点，且，求证：．（3）问题拓展：如图，在中，，，平分的外角，交延长线于点，是上一点，且．求证：．【答案】(1)；(2)见解析；(3)见解析【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得出，进而即可求解；（2）延长到，使，证明，根据全等三角形的性质得到，，证明，根据全等三角形的性质证明；（3）作于，在上截取，分别证明，，根据全等三角形的性质证明．【详解】（1）解：在上截，∵平分，∴，又∴；∴，∵，，∴，∴∴；（2）证明：延长到，使，，，，在和中，，（），，，，，，在和中，，（），，；（3）证明：作于，在上截取，

点是外角平分线上一点，，，DE=DH，，在和中，（），在和中，，（），，，则．【点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，正确作出辅助线是解题的关键．【例2】（22-23七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）综合与探究如图，在和中，，，，的延长线交于点F．（1