苏科版2024-2025学年八年级数学上册2.1轴对称及其性质(知识梳理与考点分类讲解)(学生版+解析)

专题2.1轴对称及其性质（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】轴对称图形

轴对称图形的定义：一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.【要点提示】轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.

【知识点二】轴对称1.轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点

【要点提示】轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等.2.轴对称与轴对称图形的区别与联系轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.【知识点三】轴对称与轴对称图形的性质1.轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；2.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】轴对称图形的识别【例1】（23-24七年级上·山东烟台·期末）格点的正方形网格中的位置如图所示．

（1）在图中画出关于直线对称的；（2）若网格中每个小正方形的边长为1，求的面积．【变式1】（22-23八年级上·四川阿坝·期末）在以下关于体育运动的图标中，是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．【变式2】（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）在“线段，角，圆，长方形，梯形，三角形，等边三角形”这七个图形中，是轴对称的图形有个．【题型2】成轴对称的两个图形的识别与判断【例2】如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点，连接AD，AE，以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E，连接D′C，若BD=CD′；（1）求证：△ABD≌△ACD′；（2）若∠BAC=120°，求∠DAE的度数．【变式1】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，与关于直线对称，交于点，则下列结论不一定正确的是（）A． B． C． D．【变式2】（21-22八年级上·江苏盐城·期中）如图，△ABD和△ACD关于直线AD对称，若S△ABC＝10，则图中阴影部分的面积为．【题型3】由轴对称的性质特征求值【例3】（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，点P是外的一点，点E与点P关于对称，点F与点P关于对称，直线分别交于C、D两点，连接．（1）若，求的度数；（2）若求，，，求的长．【变式1】（24-25七年级上·山东·随堂练习）如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为

A． B． C． D．【变式2】（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）如图：点P为内一点，分别作出P点关于的对称点，，连接交于M，交于N，，则的周长为．【题型4】利用轴对称的性质求最值【例4】如图1：P是∠AOB内任意一点，OP＝5cm，M和N分别是射线OA和射线OB上的动点.（1）请你在图2中利用作图确定M点和N点的位置，使得△PMN的周长最小（保留作图痕迹）；（2）在图2中若△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是多少？【变式1】（23-24七年级下·四川遂宁·阶段练习）如图，四边形中，，在上分别找一点M、N，使周长最小时，则的度数为（）A． B． C． D．【变式2】（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图，在直角中，，平分，N是上一动点（不与A，C重合），M是上一动点（不与A，D重合），则的最小值为.【题型5】折叠问题【例5】（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，在中，点分别在边上，将沿直线折叠，使点落在点F处，向右平移若干单位长度后恰好能与边重合，连结．（1）若，求的度数；（2）若，求四边形的周长．【变式1】（23-24七年级下·湖北荆门·期中）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，折叠后点在同一直线上，己知，求的度数为（

）A． B． C． D．【变式2】（22-23七年级下·浙江湖州·期末）有一长方形纸带，按如图所示沿折叠．若，则纸带重叠部分中的度数为．【题型6】生活中的轴对称问题【例6】如图，长方形台球桌上有两个球P，Q．

（1）请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边反弹后，正好撞到球Q；（2）请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球Q．【变式1】（2021·河北·中考真题）如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（

）A．0 B．5C．6 D．7【变式2】（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）在镜子上看到时间是，那么实际时间为．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·广西·中考真题）端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是（

）A． B． C． D．【例2】（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿折叠，量得；小铁把纸带②沿折叠，发现与重合，与重合．且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上．则下列判断正确的是（

）A．纸带①、②的边线都平行B．纸带①、②的边线都不平行C．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行D．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行2、拓展延伸【例1】（23-24七年级上·江西南昌·期末）【课本再现】《几何图形初步》这一章中我们学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线．如图是教材第135页的探究将纸片折叠使与重合，是折痕，此时与重合，所以，射线是的平分线．探究仿照图，通过折纸作角平分线．

【知识初探】如图（1），四边形是一张正方形纸片，将正方形纸片沿对折，把正方形展平，再将和分别沿和折叠，使点A落在上的点处，使点C落在上的点处，与重合，则________度；________度．【类比再探】如图（2），将正方形纸片的沿折叠，使点A落在点处，将沿折叠，使点C落在点处，点与点重合．猜想的度数，并说明理由．【拓展探究】如图（3），在图（2）的基础．上将正方形纸片展平，然后将和分别沿和再折叠，使点A落在上的点处，点C落在上的点处．猜想和的数量关系，并说明理由．

【例2】（23-24七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，点D是边的中点，点E在边上（不与点B、C重合），连结，将沿翻折得到，点B的对应点为点F．（1）当时，的大小为度．（2）当时，求的大小．（3）当时，直接写出的大小．专题2.1轴对称及其性质（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】轴对称图形

轴对称图形的定义：一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.【要点提示】轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.

【知识点二】轴对称1.轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点

【要点提示】轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等.2.轴对称与轴对称图形的区别与联系轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.【知识点三】轴对称与轴对称图形的性质1.轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；2.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】轴对称图形的识别【例1】（23-24七年级上·山东烟台·期末）格点的正方形网格中的位置如图所示．

（1）在图中画出关于直线对称的；（2）若网格中每个小正方形的边长为1，求的面积．【答案】(1)作图见详解；(2)．【分析】本题考查了作图-轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）．（1）利用网格特点和轴对称的性质画出点A、B、C关于直线的对称点即可；（2）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积．解：（1）解：（1）如图，为所作；

（2）解：的面积．【变式1】（22-23八年级上·四川阿坝·期末）在以下关于体育运动的图标中，是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查的是轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的概念判断即可．解：A、图标不属于轴对称图形，故此选项不符合题意；B、图标不属于轴对称图形，故此选项不符合题意；C、图标不属于轴对称图形，故此选项不符合题意；D、图标属于轴对称图形，故此选项符合题意．故选：D．【变式2】（23-24八年级上·江苏南京·阶段练习）在“线段，角，圆，长方形，梯形，三角形，等边三角形”这七个图形中，是轴对称的图形有个．【答案】5【分析】本题考查轴对称图形，根据轴对称图形的定义，进行判断即可．解：在“线段，角，圆，长方形，梯形，三角形，等边三角形”这七个图形中，线段，角，圆，长方形，等边三角形，都能找到一条直线，使图形沿着直线对折后，能够完全重合，是轴对称图形，共5个；故答案为：5．【题型2】成轴对称的两个图形的识别与判断【例2】如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是BC边上的点，连接AD，AE，以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E，连接D′C，若BD=CD′；（1）求证：△ABD≌△ACD′；（2）若∠BAC=120°，求∠DAE的度数．【答案】（1）见解析；（2）解：（1）根据对称得出AD=AD′，根据SSS证△ABD≌△ACD′即可；（2）根据全等得出∠BAD=∠CAD′，求出∠BAC=∠DAD′，根据对称得出∠DAE=∠DAD′，代入求出即可．（）证明：∵以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E，∴，在△ABD和△ACD′中，∵，∴△ABD≌△ACD′（SSS）.（）解：∵≌，∴，∴，∵以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形△AD′E，∴，即．点拨：本题考查了轴对称的性质及全等三角形的性质.熟练应用轴对称的性质是解题的关键.【变式1】（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，与关于直线对称，交于点，则下列结论不一定正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质：成轴对称的两个图形的对应边相等，对应角相等，对称轴垂直平分对应点连接的线段，据此即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键．解：∵与关于直线对称，∴，，，与不一定平行，故项一定正确，项不一定正确，故选：．【变式2】（21-22八年级上·江苏盐城·期中）如图，△ABD和△ACD关于直线AD对称，若S△ABC＝10，则图中阴影部分的面积为．【答案】5【分析】根据轴对称的性质解决问题即可；解：∵△ABD和△ACD关于直线AD对称，∴S△CEF=S△BEF，∴阴影部分的面积=S△ABC=×10=5，故答案为：5；【点拨】本题考查轴对称的性质，轴对称的两个图形是全等图形；掌握轴对称的性质是解题关键．【题型3】由轴对称的性质特征求值【例3】（23-24七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，点P是外的一点，点E与点P关于对称，点F与点P关于对称，直线分别交于C、D两点，连接．（1）若，求的度数；（2）若求，，，求的长．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握轴对称的性质，三角形内角和定理是解题的关键．（1）由点E与点P关于对称，点F与点P关于对称，，可得，，则，，根据，求解作答即可；（2）由点E与点P关于对称，点F与点P关于对称，，可得，，即，由，可求，进而可得的长．解：（1）解：∵点E与点P关于对称，点F与点P关于对称，，∴，，∴，，∴，∴；（2）解：∵点E与点P关于对称，点F与点P关于对称，，∴，，∴，∴，解得，∴．【变式1】（24-25七年级上·山东·随堂练习）如图，点是外的一点，点，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为

A． B． C． D．【答案】A【分析】本题主要考查轴对称，线段和差的计算，掌握轴对称的性质，线段和差的计算方法是解题的关键．利用轴对称图形的性质得出，，进而利用，得出的长，即可得出的长．解：点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上，，，，，，，，∴，则线段的长为：．故选：．【变式2】（23-24七年级下·山东青岛·阶段练习）如图：点P为内一点，分别作出P点关于的对称点，，连接交于M，交于N，，则的周长为．【答案】27【分析】本题考查轴对称的性质，学会用转化的思想思考问题．证明的周长，可得结论．解：如图：连接∵P点关于的对称点，，连接交于M，交于N，，，的周长，故答案为：27．【题型4】利用轴对称的性质求最值【例4】如图1：P是∠AOB内任意一点，OP＝5cm，M和N分别是射线OA和射线OB上的动点.（1）请你在图2中利用作图确定M点和N点的位置，使得△PMN的周长最小（保留作图痕迹）；（2）在图2中若△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是多少？【答案】（1）详见解析；（2）∠AOB=30°．【分析】(1)分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN即可;(2)由对称的性质得出PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．解：（1）（2）分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接PM、PN、MN，则△PMN的周长最小，连接OC、OD，如图所示：∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，∵PN+PM+MN的最小值是5cm，∴PM+PN+MN=5，∴DM+CN+MN=5，即CD=5=OP，∴OC=OD=CD即△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°．【点拨】本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解题的关键．【变式1】（23-24七年级下·四川遂宁·阶段练习）如图，四边形中，，在上分别找一点M、N，使周长最小时，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查的是轴对称—最短路线问题．要使周长最小，即利用点的对称，使三角形的三边在同一直线上，作点A关于BC和CD的对称点，即可得到，进而求得，即可得到答案．解：作点A关于和的对称点，连接，交于M，交于N，，则即为周长最小值，，，，，，故选：C．【变式2】（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图，在直角中，，平分，N是上一动点（不与A，C重合），M是上一动点（不与A，D重合），则的最小值为.【答案】【分析】作于点，由，求得，在上取点，使，连接，则，可知当点与点重合，点与点重合时，取得最小值，则的最小值为．解：作于点，，，，，，，，在上取点，使，连接，平分，，在和中，，，，，当点与点重合，点与点重合时，则的值最小，的最小值为，故答案为：．【点拨】此题重点考查根据面积等式求线段的长度、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、垂线段最短等知识与方法，正确作出辅助线是关键．【题型5】折叠问题【例5】（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，在中，点分别在边上，将沿直线折叠，使点落在点F处，向右平移若干单位长度后恰好能与边重合，连结．（1）若，求的度数；（2）若，求四边形的周长．【答案】(1)；(2)．【分析】（）根据折叠的性质，平移的性质和平行线的性质即可求解；（）由折叠的性质，平移的性质即可求解；本题考查了折叠的性质，平移的性质和平行线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．解：（1）解：由折叠性质可知，，∴，由平移性质可知：，∴；（2）由折叠性质可知，，由平移性质可知：，，则四边形的周长为．【变式1】（23-24七年级下·湖北荆门·期中）将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，折叠后点在同一直线上，己知，求的度数为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了图形的折叠问题．根据折叠的性质可得，即可求解．解：由折叠的性质得：，∴．故选：B【变式2】（22-23七年级下·浙江湖州·期末）有一长方形纸带，按如图所示沿折叠．若，则纸带重叠部分中的度数为．【答案】/75度【分析】本题考查平行线的性质、折叠问题与角的计算，需要计算能力和逻辑推理能力，属中档题．根据两直线平行同位角相等得到，再由折叠的性质得到，则问题得解．解：由下图可知又由折叠的性质得到，且．故答案为：．【题型6】生活中的轴对称问题【例6】如图，长方形台球桌上有两个球P，Q．

（1）请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边反弹后，正好撞到球Q；（2）请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球Q．【分析】（1）作点P关于是对称点，连接′交于M，点M即为所求．（2）作点P关于是对称点，点Q关于的对称点，连接交于E，交于F，点E，点F即为所求．解：（1）解：如图，运动路径：，点M即为所求．

（2）解：如图，运动路径：，点E，点F即为所求．

【点拨】本题考查轴对称的应用，解题的关键是学会利用轴对称解决实际问题．【变式1】（2021·河北·中考真题）如图，直线，相交于点．为这两直线外一点，且．若点关于直线，的对称点分别是点，，则，之间的距离可能是（

）A．0 B．5C．6 D．7【答案】B【分析】连接根据轴对称的性质和三角形三边关系可得结论．解：连接，如图，∵是P关于直线l的对称点，∴直线l是的垂直平分线，∴∵是P关于直线m的对称点，∴直线m是的垂直平分线，∴当不在同一条直线上时，即当在同一条直线上时，故选：B【点拨】此题主要考查了轴对称变换，熟练掌握轴对称变换的性质是解答此题的关键【变式2】（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）在镜子上看到时间是，那么实际时间为．【答案】【分析】根据镜面对称的特征进行作答即可．解：在镜子里看见的时间是，实际时间是，故答案为：．【点拨】本题考查了轴对称内容，涉及电子钟示数的镜面对称，根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好是左右颠倒，且关于镜面对称，难度中等，第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·广西·中考真题）端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查成轴对称的定义，掌握成轴对称的定义是解题的关键．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点．根据两个图形成轴对称的定义，逐一判断选项即可．解：A．图案不成轴对称，故不符合题意；B．图案成轴对称，故符合题意；C．图案不成轴对称，故不符合题意；D．图案不成轴对称，故不符合题意；故你：B．【例2】（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿折叠，量得；小铁把纸带②沿折叠，发现与重合，与重合．且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上．则下列判断正确的是（

）A．纸带①、②的边线都平行B．纸带①、②的边线都不平行C．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行D．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行【答案】D【分析】对于纸带①，根据对顶角相等可得，利用三角形内角和定理求得，再根据折叠的性质可得，由平行线的判定即可判断；对于纸带②，由折叠的性质得，，，由平角的定义从而可得，，再根据平行线的判定即可判断．解：对于纸带①，∵，∴，∴，由折叠的性质得，，∴，∴与不平行，对于纸带②，由折叠的性质得，，，又∵点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上，∴，，∴，，∴，∴，综上所述，纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行，故选：D．【点拨】本题考查平行线的判定、对顶角相等、三角形内角和定理、折叠的性质，熟练掌握平行线的判定和折叠的性质是解题的关键．2、拓展延伸【例1】（23-24七年级上·江西南昌·期末）【课本再现】《几何图形初步》这一章中我们学习了角的平分线，并会用折纸的方法作角平分线．如图是教