江西省南昌县莲塘第一中学2024-2025学年高二数学上学期期末检测试题文

PAGE第=2页，共=sectionpages22页PAGE16江西省南昌县莲塘第一中学2024-2025学年高二数学上学期期末检测试题文一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求)若直线a，b是异面直线，a⫋β，则b与平面β的位置关系是(    )A.平行 B.相交 C.b⫋β D.平行或相交已知α，β是两个不同的平面，直线m在平面α内，给出命题“若m//β，则α//β”，那么它的原命题，逆命题、否命题，逆否命题中，真命题的个数为(

)A.0 B.2 C.3 D.4设命题P：∃n∈N，n3<n，则￢P为(    )A.∀n∉N，n3≥n B.∀n∉N，n3≤n

C.∃n∈N，n3>n下列命题中正确的个数为(    ) ①平行于同一平面的两直线平行; ②平行于同一平面的两个平面平行; ③垂直于同一平面的两直线平行; ④垂直于同一平面的两平面垂直．A.0 B.1 C.2 D.3菱形ABCD在平面α内，PC⊥ α，则PA与对角线BD的位置关系是(    )A.平行 B.相交但不垂直 C.相交垂直 D.异面垂直“mn<0”是“方程表示椭圆”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件一个圆柱的侧面绽开图是一个正方形，则这个圆柱的侧面积与表面积之比为(    )A.2π：(1+2π) B.π：(1+π) C.2π：(1+π) D.π：(1+2π)已知函数f(x)=cosx+lnx，则f′(1)的值为(

A.sin1−1 B.1+sin1 C.1−sin1 D.−sin1曲线y=−2ex+1在点(0,−1)处的切线与x轴、直线y=x围成的三角形的面积为A.112 B.13 C.1若函数y=exx在x=x0处的导数值等于其在x=x0处的函数值的A.1 B.−1 C.2 D.−2《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”若圆周率约为3，则可估算出米堆的体积约为(

)A.9立方尺 B.18立方尺 C.36立方尺 D.72立方尺已知四棱锥P−ABCD的底面为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AB=22，PA=PD=AD=3，则四棱锥P−ABCD的外接球的表面积为(

)A.20π B.18π C.16π D.12π二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)在正方体ABCD−A1B1C1D1已知P={x|a−4<x<a+4}，Q={x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是

．若函数f(x)=(x-2025)(x-2025)(x-2025)(x-2025)，则f′(2024)=

．若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线，也是曲线y=ex的切线，则三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)设点P是曲线f(x)=x3−3x+2(1)求k的取值范围;(2)求当k取最小值时，曲线在点P处的切线方程．(本小题满分12分)如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上．

(1)求异面直线D1命题p:∀x∈R，x2+2ax+4>0，命题q:∃x0∈[−1,1]，使得2x+a−1>0成立．

①若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围；

②已知r:a>k，若r是如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，M，N，P，Q分别是AA(1)在图中画出过M，N，Q三点的截面，并说出截面的形态(不必说明画法与理由)；(2)求证：PC1//定义椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的“蒙日圆”方程为x(1)求椭圆C的标准方程和它的“蒙日圆”E的方程；(2)若斜率为1的直线l与“蒙日圆”E相交于A,B两点，且与椭圆C相切，O为坐标原点，求▵OAB的面积．如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD//AB，AD=CD=12AB=2，点E为AC的中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D−ABC，如图2所示，F为线段CD上的点，且AD//平面BEF．

(Ⅰ)确定点F的位置并说明理由；(Ⅱ)求证：平面BCD⊥平面ADC；(Ⅲ)求三棱锥

莲塘一中2024—2025学年上学期高二期末质量检测文科数学试卷参考答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求)若直线a，b是异面直线，a⫋β，则b与平面β的位置关系是(    )A.平行 B.相交 C.b⫋β D.平行或相交解：直线a，b是异面直线，a⫋β，直线b不行能在平面β内，

b与平面β的位置关系是平行或相交.故选D．已知α，β是两个不同的平面，直线m在平面α内，给出命题“若m//β，则α//β”，那么它的原命题，逆命题、否命题，逆否命题中，真命题的个数为(

)A.0 B.2 C.3 D.4解：已知α，β是两个不同的平面，直线m在平面α内，若m//β，则α//β或α与β相交，知原命题为假命题，

∴逆否命题也为假命题，

原命题的逆命题为α，β是两个不同的平面，直线m在平面α内，若α//β，则m//β，由面面平行易知原命题的逆命题为真命题，则否命题为真命题，故选B．设命题P：∃n∈N，n3<n，则￢PA.∀n∉N，n3≥n B.∀n∉N，n3≤n

C.∃n∈N，n3>n解：命题P：∃n∈N，n3<n为特称命题，则命题的否定为：∀n∈N，n3下列命题中正确的个数为(    ) ①平行于同一平面的两直线平行; ②平行于同一平面的两个平面平行; ③垂直于同一平面的两直线平行; ④垂直于同一平面的两平面垂直．A.0 B.1 C.2 D.3解：对于 ①，平行于同一平面的两直线可以相交、平行或异面，故 ①错误;

对于 ②，平行于同一平面的两个平面平行，故 ②正确;

对于 ③，由线面垂直的性质定理可知正确;

对于 ④，垂直于同一平面的两平面相交或平行，故 ④错误．

因此正确命题的个数为2.故选C．菱形ABCD在平面α内，PC⊥ α，则PA与对角线BD的位置关系是(    )A.平行 B.相交但不垂直 C.相交垂直 D.异面垂直解：菱形ABCD中，AC⊥BD．

又PC⊥平面α，∴PC⊥BD，∵AC∩PC=C，又AC，PC⊂平面PAC，∴BD⊥平面PAC．

又PA⊂平面PAC，∴BD⊥PA．明显PA与BD异面，故PA与BD异面垂直．故选D．“mn<0”是“方程表示椭圆”的(

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解：由方程mx2−ny2=1得x21m+y2−1n=1，

所以要使方程mx2−n一个圆柱的侧面绽开图是一个正方形，则这个圆柱的侧面积与表面积之比为(    )A.2π：(1+2π) B.π：(1+π) C.2π：(1+π) D.π：(1+2π)解：设这个圆柱的底面半径为r，高为h，

∵圆柱的侧面绽开图是一个正方形，∴2πr=h，

∴这个圆柱的侧面积与表面积之比为：S侧S表=已知函数f(x)=cosx+lnx，则f′(1)的值为(A.sin1−1 B.1+sin1 C.1−sin1 D.−sin1解：因为f(x)=cosx+lnx，所以f′(x)=−sinx+1x，所以曲线y=−2ex+1在点(0,−1)处的切线与x轴、直线A.112 B.13 C.1解：因为y′=−2ex，所以曲线在点(0,−1)处的切线斜率为−2，所以切线方程为y=−2x−1.直线y=−2x−1与x轴、直线y=x的交点坐标分别为(−12,0)，(−若函数y=exx在x=x0处的导数值等于其在x=xA.1 B.−1 C.2 D.−2解：因为y′=exx−exx2《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”若圆周率约为3，则可估算出米堆的体积约为(

)A.9立方尺 B.18立方尺 C.36立方尺 D.72立方尺解：设圆锥底面半径为r，由题意π2r=8，得r=16π，已知四棱锥P−ABCD的底面为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AB=22，PA=PD=AD=3，则四棱锥P−ABCD的外接球的表面积为(

A.20π B.18π C.16π D.12π解：由题意，由平面PAD⊥平面ABCD，AB=22，PA=PD=AD=3，

∴底面ABCD矩形外接圆半径r=172．四棱锥P−ABCD的高为：332．

球心与圆心的距离为d，构造直角三角形，即d2+r2=R2，二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)在正方体ABCD−A1B1C1D解：如图，

可知与平面BC1D1平行的为棱A1B1与棱已知P={x|a−4<x<a+4}，Q={x|1<x<3}，“x∈P”是“x∈Q”的必要条件，则实数a的取值范围是

．解：∵P={x|a−4<x<a+4}，Q={x|1<x<3}，x∈P是x∈Q的必要条件，

∴x∈Q⇒x∈P，即Q⊆P⇒a−4≤1a+4≥3⇒a≤5a≥−1解得−1≤a≤5．

∴实数a若函数f(x)=(x-2025)(x-2025)(x-2025)(x-2025)，则f′(2024)=

．解：令g(x)=(x-2025)(x-2025)(x-2025)，则f(x)=(x-2025)⋅g(x)，因为f′(x)=1∙g(x)+(x-2025)⋅g′(x)，所以f′(2024)=g(2024)=2×1×(-1)=-2．若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线，也是曲线y=ex解：设直线y=kx+b与曲线y=ln x+2的切点为(x1,y1)，与y=ex的切点为(x2,y2)，

故1x1=ex2，且e(本小题满分10分)设点P是曲线f(x)=x3−3x+2(1)求k的取值范围;(2)求当k取最小值时，曲线在点P处的切线方程．【答案】解：(1)设P(x0,所以k的取值范围为[−(2)由(1)知kmin=−3，此时x所以此时曲线在点P处的切线方程为y=−3x+2(本小题满分12分)如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上．

(1)求异面直线D【答案】解：(1)连接AD1，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，由AA1D1D是正方形知AD1⊥A1D.

∵AB⊥平面AA1D1D，∴AD1是D1E在平面AA1D1D内的射影．

依据三垂线定理得AD1⊥D1E，则异面直线D1E与A1D所成的角为90°．

命题p:∀x∈R，x2+2ax+4>0，命题q:∃x0∈[−1,1]，使得2x+a−1>0成立．

①若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围；

②已知r:a>k，若r【答案】解：(1)∵对随意x∈R，不等式

x2+2ax+4>0恒成立，

∴△=4a2−16<0，解得−2<a<2，即

p

为真命题时，−2<a<2；

存在：x0∈[−1,1]，使得2x+a−1>0成立，即a>1−2x成立，

∴a>(1−2x)min=−1，即命题q

为真时，a>−1；

∵p∨q为真，p∧q为假，∴p、q

一真一假，

当

p

真q

假时，则−2<a<2，且a≤−1，即−2<a⩽−1，

当p假q

真时，则a≤−2或a⩾2，且a>−1，即a⩾2，

综上所述，实数a的取值范围为(−2,−1]∪[2,+∞)．

(2)若r:a>k，如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，M，N，P，Q分别是AA(1)在图中画出过M，N，Q三点的截面，并说出截面的形态(不必说明画法与理由)；(2)求证：PC1//【答案】解：(1)如右图所示：取A1C1的中点H，连接HQ，QN，NM，MH，

则梯形MHQN是过M，N，Q三点的截面．

(2)证明：连接BC1，AC1．∵三棱柱ABC−A1B1C是直三棱柱，∴四边形ABB1A1是矩形．

在矩形ABB1A1中：∵M，N分别是AA1，BB1的中点，∴MN

//

AB．

∵MN⊄平面ABC1，AB⊂平面ABC1，∴MN

//平面ABC1．

在△B1C1B中：∵Q，N分别是B1C1，BB1的中点，∴NQ

//

BC定义椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的“蒙日圆”方程为(1)求椭圆C的标准方程和它的“蒙日圆”E的方程；(2)若斜率为1的直线l与“蒙日圆”E相交于A,B两点，且与椭圆C相切，O为坐标原点，求▵OAB的面积．【答案】解：(1)抛物线x2=4y的焦点为(0,1)，则又e=ca=63于是椭圆的标准方程为：x23+y2(2)设直线lAB：y=x+m，A(由y=x+mx2+3y2=3可得：4x

“蒙日圆”E方程为x2+y2=4则圆心到直线lAB的距离d=|m|1+1=2如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD//AB，AD=CD=12AB=2，点E为AC的中点．将△ADC沿AC折起，使