弹性力学优化算法：灵敏度分析与梯度计算教程

弹性力学优化算法：灵敏度分析与梯度计算教程1弹性力学基础1.1弹性力学基本概念弹性力学是固体力学的一个分支，主要研究弹性体在外力作用下的变形和应力分布。弹性体是指在外力作用下能够产生变形，当外力去除后，能够恢复原状的物体。在弹性力学中，我们关注的是物体的内部应力和应变，以及它们与外力之间的关系。1.1.1弹性体的特性线性弹性：应力与应变成正比关系，遵循胡克定律。各向同性：材料的力学性能在所有方向上相同。均匀性：材料的力学性能在物体内部处处相同。1.2应力与应变关系在弹性力学中，应力和应变是两个基本概念，它们描述了材料在受力时的响应。1.2.1应力应力是单位面积上的内力，通常用张量表示，包括正应力和剪应力。正应力是垂直于截面的应力，剪应力是平行于截面的应力。1.2.2应变应变是物体在外力作用下变形的程度，也用张量表示，包括线应变和剪应变。线应变描述了物体长度的变化，剪应变描述了物体形状的改变。1.2.3胡克定律胡克定律描述了应力与应变之间的线性关系，对于各向同性材料，胡克定律可以表示为：σ其中，σ是应力，ϵ是应变，E是弹性模量，是材料的固有属性。1.3弹性体的平衡方程弹性体在受力作用下，内部的应力分布必须满足平衡方程，以确保物体处于静力平衡状态。1.3.1平衡方程的推导平衡方程基于牛顿第二定律，即物体内部的应力变化率与作用在该物体上的外力相等。在三维空间中，平衡方程可以表示为：∂∂∂其中，σx,σy,σz是正应力，τ1.3.2平衡方程的应用平衡方程在工程设计和分析中非常重要，它们帮助工程师计算在不同载荷下物体的应力分布，从而确保结构的安全性和稳定性。示例：计算梁的应力分布假设我们有一根简支梁，长度为L，高度为h，宽度为b，受到均匀分布的载荷q。我们可以使用平衡方程来计算梁内部的应力分布。importnumpyasnp

#定义参数

L=1.0#梁的长度

h=0.1#梁的高度

b=0.05#梁的宽度

q=1000#均匀分布的载荷

#计算最大弯矩

M_max=q*L**2/8

#计算最大应力

sigma_max=M_max*h/(b*h**2/6)

print("最大应力：",sigma_max)在这个例子中，我们首先定义了梁的几何参数和载荷。然后，我们使用梁的弯矩公式计算了最大弯矩，最后使用应力公式计算了最大应力。这个例子展示了如何使用平衡方程来解决实际的工程问题。通过以上内容，我们了解了弹性力学的基本概念，应力与应变的关系，以及弹性体的平衡方程。这些知识是理解和解决弹性力学问题的基础。2优化算法概览2.1优化算法的定义与分类优化算法是数学和计算机科学中用于寻找函数最小值或最大值的一系列方法。在工程、物理、经济学、机器学习等领域，优化算法被广泛应用于解决各种实际问题。优化算法可以分为两大类：无约束优化和约束优化。无约束优化：目标函数没有额外的约束条件，寻找全局或局部最小值。约束优化：目标函数受到一个或多个约束条件的限制，寻找在约束条件下的最优解。2.2梯度下降法原理梯度下降法是一种迭代优化算法，用于寻找函数的局部最小值。其基本思想是沿着目标函数的梯度（即函数的导数）的负方向，逐步调整参数，直到达到一个极小点。梯度下降法可以分为三种类型：批量梯度下降：使用所有训练数据来计算梯度，然后更新参数。随机梯度下降：每次迭代仅使用一个训练样本来计算梯度，更新参数。小批量梯度下降：每次迭代使用一小部分训练数据来计算梯度，更新参数。2.2.1示例代码：批量梯度下降法importnumpyasnp

defgradient_descent(X,y,theta,alpha,num_iters):

"""

执行批量梯度下降法优化线性回归的参数theta。

参数:

X--输入数据，维度为(m,n)

y--目标值，维度为(m,1)

theta--初始参数，维度为(n,1)

alpha--学习率

num_iters--迭代次数

返回:

theta--优化后的参数

J_history--每次迭代后的成本函数值

"""

m=len(y)

J_history=np.zeros(num_iters)

foriinrange(num_iters):

#计算预测值

predictions=np.dot(X,theta)

#计算误差

errors=predictions-y

#计算梯度

gradient=np.dot(X.T,errors)/m

#更新参数

theta=theta-alpha*gradient

#计算成本函数值

J_history[i]=np.sum(errors**2)/(2*m)

returntheta,J_history

#示例数据

X=np.array([[1,2],[1,3],[1,4]])

y=np.array([[4],[5],[6]])

theta=np.array([[1],[1]])

alpha=0.01

num_iters=1000

#调用函数

theta_opt,J_history=gradient_descent(X,y,theta,alpha,num_iters)

print("Optimizedtheta:",theta_opt)

print("Finalcostfunctionvalue:",J_history[-1])2.3牛顿法与拟牛顿法牛顿法是一种基于目标函数的二阶导数（即Hessian矩阵）的优化算法，它比梯度下降法更快地收敛到极小点。然而，计算Hessian矩阵及其逆矩阵可能非常耗时和计算资源。为了解决这个问题，拟牛顿法被提出，它使用近似Hessian矩阵来代替真实的Hessian矩阵，从而减少计算成本。2.3.1牛顿法原理牛顿法利用目标函数的泰勒展开式，通过迭代更新参数，直到达到极小点。每次迭代的更新规则为：θ其中，θnew是新参数，θold是旧参数，2.3.2拟牛顿法原理拟牛顿法通过构建Hessian矩阵的近似来避免直接计算Hessian矩阵及其逆矩阵。常见的拟牛顿法有BFGS（Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno）和L-BFGS（Limited-memoryBFGS）。2.3.3示例代码：牛顿法importnumpyasnp

defnewton_method(f,df,d2f,x0,tol=1e-6,max_iter=100):

"""

使用牛顿法求解函数f的最小值。

参数:

f--目标函数

df--目标函数的一阶导数

d2f--目标函数的二阶导数

x0--初始参数

tol--容忍度

max_iter--最大迭代次数

返回:

x--最优参数

"""

x=x0

foriinrange(max_iter):

gradient=df(x)

hessian=d2f(x)

step=np.linalg.solve(hessian,-gradient)

x_new=x+step

ifnp.linalg.norm(x_new-x)<tol:

returnx_new

x=x_new

returnx

#示例函数

deff(x):

returnx[0]**2+x[1]**2

defdf(x):

returnnp.array([2*x[0],2*x[1]])

defd2f(x):

returnnp.array([[2,0],[0,2]])

#初始参数

x0=np.array([10,10])

#调用函数

x_opt=newton_method(f,df,d2f,x0)

print("Optimizedx:",x_opt)2.3.4示例代码：BFGS拟牛顿法fromscipy.optimizeimportminimize

defrosen(x):

"""

罗森布罗克函数，用于测试优化算法。

"""

returnsum(100.0*(x[1:]-x[:-1]**2.0)**2.0+(1-x[:-1])**2.0

#初始参数

x0=np.array([1.3,0.7,0.8,1.9,1.2])

#使用BFGS拟牛顿法求解

res=minimize(rosen,x0,method='BFGS',options={'disp':True})

print("Optimizedx:",res.x)以上代码示例展示了如何使用批量梯度下降法、牛顿法和BFGS拟牛顿法来优化参数。这些方法在不同的场景下有着不同的适用性和效率，选择合适的优化算法对于解决实际问题至关重要。3灵敏度分析3.1灵敏度分析的重要性在工程设计和优化过程中，灵敏度分析扮演着至关重要的角色。它帮助我们理解设计变量对目标函数的影响程度，从而指导我们如何有效地调整这些变量以达到优化目标。在弹性力学领域，这种分析尤其关键，因为它涉及到结构的强度、刚度和稳定性，这些因素直接影响到结构的安全性和经济性。3.2设计变量的灵敏度计算设计变量的灵敏度计算是通过求解目标函数对设计变量的偏导数来实现的。在弹性力学中，设计变量可能包括材料属性、截面尺寸、几何形状等。计算这些变量的灵敏度，可以使用有限差分法、解析法或基于有限元分析的灵敏度计算方法。3.2.1示例：使用有限差分法计算灵敏度假设我们有一个简单的梁结构，其目标函数是总变形量，设计变量是梁的截面宽度w。我们可以通过有限差分法来计算截面宽度对总变形量的灵敏度。#设计变量和目标函数的定义

deftotal_deflection(w):

#假设的总变形量计算函数，这里简化为一个线性关系

return100/w

#设计变量的当前值

w_current=10

#有限差分法计算灵敏度

delta_w=0.001#微小的增量

deflection_current=total_deflection(w_current)

deflection_next=total_deflection(w_current+delta_w)

sensitivity=(deflection_next-deflection_current)/delta_w

print(f"截面宽度对总变形量的灵敏度为:{sensitivity}")在这个例子中，我们通过给设计变量w添加一个微小的增量δw，然后计算目标函数在w和w3.3目标函数的灵敏度分析目标函数的灵敏度分析涉及到评估设计变量变化对目标函数值的影响。在弹性力学优化中，目标函数可能包括最小化结构的重量、最大化结构的刚度或最小化结构的应力等。通过灵敏度分析，我们可以确定哪些设计变量对目标函数有显著影响，从而在优化过程中优先考虑这些变量。3.3.1示例：基于有限元分析的目标函数灵敏度计算在更复杂的结构优化问题中，我们通常使用有限元分析（FEA）来计算目标函数的值。下面是一个使用Python和一个假设的FEA库来计算目标函数对设计变量灵敏度的例子。importnumpyasnp

fromfea_libraryimportFEA

#定义FEA模型

model=FEA()

#设计变量和目标函数

design_variables=np.array([10,20,30])#假设的设计变量，例如材料厚度、宽度和长度

objective_function=pute_objective(design_variables)#基于FEA的目标函数计算

#计算目标函数对设计变量的灵敏度

defcompute_sensitivity(model,design_variables):

sensitivity=np.zeros_like(design_variables)

delta=0.001#微小的增量

foriinrange(len(design_variables)):

#增加设计变量i

design_variables_plus=design_variables.copy()

design_variables_plus[i]+=delta

objective_plus=pute_objective(design_variables_plus)

#减少设计变量i

design_variables_minus=design_variables.copy()

design_variables_minus[i]-=delta

objective_minus=pute_objective(design_variables_minus)

#计算灵敏度

sensitivity[i]=(objective_plus-objective_minus)/(2*delta)

returnsensitivity

sensitivity=compute_sensitivity(model,design_variables)

print(f"设计变量对目标函数的灵敏度为:{sensitivity}")在这个例子中，我们首先定义了一个FEA模型，并设定了设计变量。然后，我们通过增加和减少每个设计变量的值，使用FEA模型计算目标函数的变化，从而得到每个设计变量的灵敏度。这种方法虽然计算量大，但对于复杂结构的优化问题来说，是获取准确灵敏度信息的有效手段。通过上述例子，我们可以看到，灵敏度分析在弹性力学优化算法中是通过计算目标函数对设计变量的偏导数来实现的。这不仅帮助我们理解设计变量对目标函数的影响，还为优化算法提供了必要的梯度信息，从而指导我们如何有效地调整设计变量以达到优化目标。4弹性力学优化算法：梯度计算方法在弹性力学优化算法中，梯度计算是实现结构优化的关键步骤。本教程将详细介绍三种梯度计算方法：有限差分法、解析法和复合形法。每种方法都有其适用场景和优缺点，理解它们的工作原理和实施细节对于优化算法的高效运行至关重要。4.1有限差分法有限差分法是一种数值方法，用于近似计算函数的导数。在优化算法中，这种方法常用于计算目标函数关于设计变量的梯度。4.1.1原理有限差分法基于函数在某点的导数定义，即函数值的微小变化与自变量微小变化的比值。对于一维函数fx，其在xf其中，h是微小的增量。在多维情况下，梯度的每个分量可以通过对相应设计变量应用上述公式来计算。4.1.2内容实施步骤选择设计变量：确定需要计算梯度的设计变量。计算函数值：在当前设计变量值和微小增量h下，计算目标函数值。计算差分：使用有限差分公式计算目标函数值的差分。计算梯度：将差分除以h，得到梯度的近似值。代码示例假设我们有一个简单的二维弹性力学问题，目标函数是结构的总应变能U，设计变量是结构的两个尺寸a和b。defobjective_function(a,b):

"""

计算结构的总应变能。

"""

#示例计算，实际应用中应替换为真实的物理模型

U=a**2+b**2

returnU

deffinite_difference_gradient(a,b,h=1e-6):

"""

使用有限差分法计算梯度。

"""

grad_a=(objective_function(a+h,b)-objective_function(a,b))/h

grad_b=(objective_function(a,b+h)-objective_function(a,b))/h

return[grad_a,grad_b]

#示例数据

a=1.0

b=2.0

#计算梯度

gradient=finite_difference_gradient(a,b)

print("梯度近似值:",gradient)4.1.3讲解描述在上述代码中，objective_function模拟了结构的总应变能计算，而finite_difference_gradient函数则实现了有限差分法的梯度计算。通过在设计变量a和b上分别应用有限差分公式，我们得到了目标函数关于这两个变量的梯度近似值。4.2解析法解析法是通过数学分析直接计算函数导数的方法，适用于目标函数有明确数学表达式的情况。4.2.1原理解析法要求目标函数能够被明确地表示为设计变量的函数。通过应用微积分中的导数规则，可以直接计算出目标函数的梯度。4.2.2内容实施步骤导数计算：对目标函数关于每个设计变量求导。梯度计算：将所有导数组合成梯度向量。代码示例继续使用上述的二维弹性力学问题，但这次我们直接计算梯度。defanalytical_gradient(a,b):

"""

使用解析法计算梯度。

"""

#示例计算，实际应用中应替换为真实的物理模型

grad_a=2*a

grad_b=2*b

return[grad_a,grad_b]

#示例数据

a=1.0

b=2.0

#计算梯度

gradient=analytical_gradient(a,b)

print("解析梯度值:",gradient)4.2.3讲解描述analytical_gradient函数直接根据目标函数的数学表达式计算梯度。这种方法避免了有限差分法中的数值误差，但要求目标函数有明确的数学形式。4.3复合形法复合形法是一种无需计算导数的优化算法，适用于目标函数复杂或导数难以计算的情况。4.3.1原理复合形法通过在设计空间中构建一个“形”，并根据目标函数值的变化调整形的顶点，来搜索最优解。这种方法不需要显式计算梯度，而是通过顶点的移动间接地利用了梯度信息。4.3.2内容实施步骤初始化形：在设计空间中随机或有策略地选择一组初始点。评估目标函数：计算形中每个点的目标函数值。形的更新：根据目标函数值调整形的顶点，包括反射、扩张和收缩操作。收敛检查：检查形的大小是否满足收敛条件。代码示例使用复合形法进行优化的代码示例，这里使用Python的scipy.optimize库中的minimize函数。fromscipy.optimizeimportminimize

defobjective_function(x):

"""

计算结构的总应变能。

"""

#示例计算，实际应用中应替换为真实的物理模型

a,b=x

U=a**2+b**2

returnU

#示例数据

initial_guess=[1.0,2.0]

#使用复合形法进行优化

result=minimize(objective_function,initial_guess,method='Nelder-Mead')

print("最优解:",result.x)4.3.3讲解描述在代码示例中，我们使用了scipy.optimize.minimize函数，其中method='Nelder-Mead'指定了使用复合形法进行优化。复合形法通过迭代调整形的顶点，最终找到目标函数的最小值点。4.4结论在弹性力学优化算法中，梯度计算是实现结构优化的关键。有限差分法、解析法和复合形法各有优缺点，选择合适的方法取决于目标函数的特性和计算资源的限制。通过上述代码示例，我们可以更直观地理解这些方法的实施过程。5优化算法中的梯度应用5.1梯度在梯度下降法中的应用梯度下降法是一种迭代优化算法，用于寻找函数的局部最小值。在弹性力学优化算法中，梯度下降法可以用来最小化结构的能量或应力，从而优化设计。梯度向量指向函数增长最快的方向，因此在优化过程中，我们沿着梯度的反方向移动，以期望找到函数值最小的点。5.1.1原理假设我们有一个目标函数fx，其中x是设计变量的向量。梯度∇fxx其中，αk5.1.2示例假设我们有一个简单的二次函数fximportnumpyasnp

deff(x):

"""目标函数"""

returnx**2

defdf(x):

"""目标函数的梯度"""

return2*x

defgradient_descent(f,df,x0,alpha,num_iters):

"""

梯度下降法实现

参数:

f--目标函数

df--目标函数的梯度

x0--初始点

alpha--步长

num_iters--迭代次数

返回:

x--最终的解

"""

x=x0

foriinrange(num_iters):

grad=df(x)

x-=alpha*grad

returnx

#初始点和步长

x0=5.0

alpha=0.1

num_iters=100

#运行梯度下降法

x_min=gradient_descent(f,df,x0,alpha,num_iters)

print("最小值点：",x_min)在这个例子中，我们从x0=5开始，使用步长α=0.15.2牛顿法中的梯度与海森矩阵牛顿法是一种更高效的优化算法，它利用了目标函数的二阶导数信息，即海森矩阵。在弹性力学优化中，牛顿法可以更快地收敛到最优解，尤其是在目标函数接近二次函数时。5.2.1原理牛顿法的迭代公式如下：x其中，Hk是目标函数在x5.2.2示例继续使用二次函数fxdefH(x):

"""目标函数的海森矩阵"""

return2

defnewton_method(f,df,H,x0,num_iters):

"""

牛顿法实现

参数:

f--目标函数

df--目标函数的梯度

H--目标函数的海森矩阵

x0--初始点

num_iters--迭代次数

返回:

x--最终的解

"""

x=x0

foriinrange(num_iters):

grad=df(x)

hessian=H(x)

x-=grad/hessian

returnx

#初始点和迭代次数

x0=5.0

num_iters=10

#运行牛顿法

x_min=newton_method(f,df,H,x0,num_iters)

print("最小值点：",x_min)在这个例子中，我们从x0=55.3拟牛顿法的梯度更新策略拟牛顿法是一种介于梯度下降法和牛顿法之间的优化算法，它不需要计算海森矩阵的逆，而是通过迭代更新一个近似海森矩阵的逆的矩阵，从而避免了牛顿法中计算海森矩阵逆的高计算成本。5.3.1原理拟牛顿法的迭代公式如下：x其中，Bk5.3.2示例我们使用BFGS算法，一种常见的拟牛顿法，来优化二次函数fxfromscipy.optimizeimportminimize

deff_bfgs(x):

"""目标函数，用于BFGS算法"""

returnx**2

defdf_bfgs(x):

"""目标函数的梯度，用于BFGS算法"""

return2*x

#初始点

x0=5.0

#使用BFGS算法进行优化

res=minimize(f_bfgs,x0,method='BFGS',jac=df_bfgs)

print("最小值点：",res.x)在这个例子中，我们使用了scipy.optimize.minimize函数，它提供了多种优化算法，包括BFGS算法。我们从x0通过上述例子，我们可以看到，梯度在优化算法中扮演着重要角色，不同的算法利用梯度信息的方式不同，从而影响了算法的收敛速度和计算成本。在实际的弹性力学优化问题中，选择合适的优化算法和参数，可以显著提高优化效率和效果。6案例研究与实践6.1弹性结构优化案例在弹性力学领域，结构优化是一个关键环节，旨在通过调整结构的几何形状、材料属性或拓扑结构，以达到特定的性能目标，如最小化结构重量、最大化结构刚度或最小化结构应力。梯度计算在这一过程中扮演着至关重要的角色，它提供了优化方向的指导，使得优化算法能够有效地收敛到最优解。6.1.1示例：最小化结构重量假设我们有一个由多个杆件组成的弹性结构，目标是最小化其总重量，同时确保结构在给定载荷下的位移不超过允许的极限。结构的总重量由各杆件的截面积和材料密度决定，而结构的位移则由各杆件的刚度和载荷分布决定。我们可以通过调整杆件的截面积来优化结构。数据样例结构参数：n个杆件，每个杆件有截面积Ai和材料密度ρ优化目标：最小化结构总重量W=约束条件：结构在给定载荷下的最大位移δmax代码示例importnumpyasnp

fromscipy.optimizeimportminimize

#定义结构参数

n=10#杆件数量

rho=np.array([7850]*n)#材料密度，假设所有杆件材料相同

A=np.array([100]*n)#初始截面积

#定义优化目标函数

defweight(A):

returnnp.sum(rho*A)

#定义约束条件函数

defdisplacement(A):

#假设有一个函数计算结构在给定截面积下的位移

delta=calculate_displacement(A)

returndelta-delta_allow

#定义梯度计算函数

defgrad_weight(A):

returnrho

defgrad_displacement(A):

#假设有一个函数计算结构在给定截面积下的位移梯度

grad_delta=calculate_grad_displacement(A)

returngrad_delta

#设置约束条件

delta_allow=0.01#允许的最大位移

cons=({'type':'ineq','fun':displacement,'jac':grad_displacement})

#进行优化

res=minimize(weight,A,method='SLSQP',jac=grad_weight,constraints=cons)

optimized_A=res.x6.1.2解释在上述代码中，我们首先定义了结构的参数，包括杆件数量、材料密度和初始截面积。然后，我们定义了优化目标函数weight，它计算结构的总重量。约束条件函数displacement确保结构的位移不超过允许值。梯度计算函数grad_weight和grad_displacement分别计算了目标函数和约束条件函数的梯度，这些梯度信息对于优化算法的收敛至关重要。使用scipy.optimize.minimize函数，我们设置了优化算法为SLSQP（序列二次规划），并指定了目标函数、梯度函数和约束条件。最后，我们执行优化并获取了优化后的截面积optimized_A。6.2梯度计算在实际优化问题中的应用梯度计算是优化算法中的核心部分，它提供了目标函数在当前点的导数信息，指导算法向目标函数的最小值或最大值方向迭代。在弹性结构优化中，梯度计算通常涉及到对结构响应的敏感性分析，即计算结构性能（如位移、应力）对设计变量（如截面积、材料属性）的偏导数。6.2.1示例：使用有限差分法计算梯度在实际应用中，如果目标函数或约束条件函数的解析梯度难以获得，可以使用数值方法如有限差分法来近似计算梯度。代码示例deffinite_difference(f,x,h=1e-5):

"""

使用有限差分法计算函数f在点x的梯度。

参数:

f:callable

目标函数。

x:array_like

当前设计变量的值。

h:float,optional

差分步长，默认为1e-5。

返回:

grad:ndarray

目标函数在点x的梯度。

"""

grad=np.zeros_like(x)

foriinrange(len(x)):

x_plus_h=x.copy()

x_plus_h[i]+=h

grad[i]=(f(x_plus_h)-f(x))/h

returngrad

#使用有限差分法计算weight函数的梯度

grad_weight_fd=finite_difference(weight,A)6.2.2解释在finite_difference函数中，我们通过在设计变量的每个分量上加上一个小的差分步长h，然后计算目标函数在x+h和x处的值差，除以h，来近似计算目标函数的梯度。这种方法虽然简单，但在计算密集型应用中可能效率较低，且对于h的选择敏感，过大的h会导致梯度估计不准确，过小的6.3灵敏度分析的实践技巧灵敏度分析是梯度计算的基础，它帮助我们理解设计变量对结构性能的影响程度。在实践中，有效的灵敏度分析技巧可以显著提高优化算法的效率和准确性。6.3.1技巧1：使用解析梯度如果可能，使用解析梯度总是优于数值梯度。解析梯度不仅计算速度快，而且避免了数值误差，提供了更准确的梯度信息。6.3.2技巧2：差分步长的选择在使用有限差分法计算梯度时，差分步长h的选择至关重要。h应该足够小以确保梯度的准确性，但又不能太小以至于受到数值误差的影响。通常，h=6.3.3技巧3：并行计算对于大型结构优化问题，计算梯度可能非常耗时。利用并行计算技术，可以同时计算多个设计变量的梯度，显著减少计算时间。6.3.4技巧4：梯度校验在优化过程中，定期进行梯度校验是一个好习惯。通过比较解析梯度和数值梯度，可以确保梯度计算的正确性，避免因梯度错误导致的优化失败。6.3.5技巧5：梯度缓存在多次迭代中，某些设计变量的梯度可能不会发生显著变化。通过缓存这些梯度值，可以避免重复计算，提高优化效率。通过上述案例研究和实践技巧的介绍，我们可以看到，梯度计算在弹性结构优化中起着至关重要的作用。合理选择和应用梯度计算方法，不仅可以提高优化算法的效率，还可以确保优化结果的准确性。7弹性力学优化算法：进阶主题与研究方向7.1多目标优化与灵敏度分析在弹性力学优化算法中，多目标优化考虑了多个相互冲突的目标函数，如结构的重量、成