弹性力学数值方法：数值积分在非线性弹性力学中的应用

弹性力学数值方法：数值积分在非线性弹性力学中的应用1绪论1.1弹性力学与数值方法的简介弹性力学是研究物体在外力作用下变形和应力分布的学科，它在工程设计、材料科学、结构分析等领域有着广泛的应用。随着计算机技术的发展，数值方法成为了解决复杂弹性力学问题的有效工具。数值方法，如有限元法(FEM)、边界元法(BEM)、离散元法(DEM)等，能够将连续的物理问题离散化，通过数值计算求解出近似解，尤其在处理非线性问题时展现出强大的能力。1.2非线性弹性力学的基本概念非线性弹性力学主要研究材料在大变形、大应变或高应力状态下的行为。与线性弹性力学不同，非线性弹性力学中的应力与应变之间的关系不再是简单的线性比例关系，而是依赖于应变的非线性函数。这种非线性关系在材料的本构模型中体现，例如超弹性材料、塑性材料、粘弹性材料等。在非线性问题中，材料的弹性模量、泊松比等参数可能随应变或应力的变化而变化，这使得问题的求解变得更为复杂。1.3数值积分在非线性问题中的重要性在非线性弹性力学的数值分析中，数值积分扮演着至关重要的角色。这是因为非线性问题的求解往往涉及到复杂的积分运算，如在有限元法中，需要计算单元的刚度矩阵和载荷向量，这些计算通常包含对非线性函数的积分。数值积分方法，如高斯积分、辛普森法则、梯形法则等，能够提供一种有效的方式来近似这些积分，从而使得非线性问题的数值求解成为可能。1.3.1高斯积分示例高斯积分是一种常用的数值积分方法，它通过在积分区间内选取若干个积分点和对应的权重，来近似计算积分值。在有限元分析中，高斯积分常用于计算单元的刚度矩阵和载荷向量。1.3.1.1代码示例假设我们需要计算函数fx=x2在区间importnumpyasnp

deff(x):

"""被积函数"""

returnx**2

defgauss_quadrature(f,a,b,n):

"""高斯积分函数"""

x,w=np.polynomial.legendre.leggauss(n)#获取高斯积分点和权重

x=(b-a)/2*x+(b+a)/2#将积分点映射到实际积分区间

w=(b-a)/2*w#调整权重

returnnp.sum(w*f(x))#计算积分

#计算f(x)=x^2在[0,1]上的积分，使用3个高斯积分点

integral=gauss_quadrature(f,0,1,3)

print("积分结果:",integral)1.3.1.2解释在上述代码中，我们定义了被积函数fx=x2，并使用numpy库中的leggauss1.3.2非线性问题中的数值积分在处理非线性弹性力学问题时，数值积分的精度直接影响到最终解的准确性。例如，在计算单元的刚度矩阵时，需要对单元的形状函数和材料本构关系进行积分。如果材料的应力-应变关系是非线性的，那么在积分过程中，必须考虑到这种非线性，以确保计算的刚度矩阵能够准确反映材料的力学行为。1.3.2.1代码示例假设我们有一个非线性材料，其应力-应变关系由函数gε=defg(epsilon):

"""非线性材料的应力-应变关系"""

return200*epsilon+100*epsilon**2

defcalculate_stress(epsilon,n):

"""使用高斯积分计算应力"""

x,w=np.polynomial.legendre.leggauss(n)

x=(max(epsilon)-min(epsilon))/2*x+(max(epsilon)+min(epsilon))/2

w=(max(epsilon)-min(epsilon))/2*w

returnnp.sum(w*g(x))

#给定应变分布

epsilon=np.linspace(0,0.1,100)

#使用5个高斯积分点计算应力

stress=calculate_stress(epsilon,5)

print("应力:",stress)1.3.2.2解释在这个例子中，我们定义了一个非线性材料的应力-应变关系函数gε通过上述示例，我们可以看到数值积分在非线性弹性力学中的应用，它不仅能够处理复杂的积分运算，还能够准确反映材料的非线性力学行为，从而为工程设计和分析提供有力的工具。2数值积分基础2.1维数值积分方法2.1.11梯形法则梯形法则是数值积分中最基本的方法之一，它通过将积分区间分割成若干个小区间，并在每个小区间上用梯形的面积来近似函数的积分值。假设我们要计算函数fx在区间a,b上的积分，可以将区间分割成na代码示例：deftrapezoidal_rule(f,a,b,n):

"""

使用梯形法则计算函数f在区间[a,b]上的积分，分割成n个小区间。

"""

h=(b-a)/n

integral=0.5*(f(a)+f(b))

foriinrange(1,n):

integral+=f(a+i*h)

integral*=h

returnintegral

#定义被积函数

deff(x):

returnx**2

#计算f(x)=x^2在区间[0,1]上的积分，分割成100个小区间

integral=trapezoidal_rule(f,0,1,100)

print("积分结果:",integral)2.1.22辛普森法则辛普森法则是一种更精确的数值积分方法，它通过在每个小区间上用抛物线来近似函数曲线，从而提高积分的精度。辛普森法则适用于连续且可导的函数。对于区间a,a代码示例：defsimpsons_rule(f,a,b,n):

"""

使用辛普森法则计算函数f在区间[a,b]上的积分，分割成n个小区间，n必须为偶数。

"""

ifn%2!=0:

raiseValueError("n必须为偶数")

h=(b-a)/n

integral=f(a)+f(b)

foriinrange(1,n):

ifi%2==0:

integral+=2*f(a+i*h)

else:

integral+=4*f(a+i*h)

integral*=h/3

returnintegral

#计算f(x)=x^2在区间[0,1]上的积分，分割成100个小区间

integral=simpsons_rule(f,0,1,100)

print("积分结果:",integral)2.2多维数值积分方法2.2.11二重积分的数值计算在非线性弹性力学中，经常需要计算多维积分，如二重积分。二重积分的数值计算可以通过将积分区域分割成小矩形，然后在每个小矩形上应用一维的数值积分方法来实现。假设我们要计算函数fx,y在矩形区域a,b×c,d代码示例：defdouble_integral(f,a,b,c,d,m,n):

"""

计算函数f在矩形区域[a,b]x[c,d]上的二重积分，x方向分割成m个小区间，y方向分割成n个小区间。

"""

h_x=(b-a)/m

h_y=(d-c)/n

integral=0

foriinrange(m):

forjinrange(n):

x1=a+i*h_x

x2=a+(i+1)*h_x

y1=c+j*h_y

y2=c+(j+1)*h_y

#在每个小矩形上应用一维的梯形法则

integral+=trapezoidal_rule(lambday:trapezoidal_rule(lambdax:f(x,y),x1,x2,10),y1,y2,10)

returnintegral

#定义被积函数

deff(x,y):

returnx*y

#计算f(x,y)=xy在矩形区域[0,1]x[0,1]上的积分

integral=double_integral(f,0,1,0,1,10,10)

print("积分结果:",integral)2.3高斯积分规则2.3.11高斯积分的原理高斯积分是一种高效的数值积分方法，它通过在积分区间上选取特定的积分点和权重，来近似计算积分值。高斯积分的精度通常比梯形法则和辛普森法则更高，且计算量更小。对于一维积分，高斯积分公式为：−其中，xi是积分点，w2.3.22高斯积分的应用在非线性弹性力学中，高斯积分常用于计算单元的刚度矩阵和应力应变关系。例如，在有限元分析中，每个单元的刚度矩阵可以通过在单元的积分点上计算形函数的导数，然后乘以对应的权重和材料属性来得到。代码示例：importnumpyasnp

#高斯积分点和权重，这里使用3点高斯积分

gauss_points=np.array([-0.77459667,0,0.77459667])

gauss_weights=np.array([0.55555556,0.88888889,0.55555556])

defgaussian_integration(f):

"""

使用3点高斯积分计算函数f在区间[-1,1]上的积分。

"""

integral=0

foriinrange(3):

integral+=gauss_weights[i]*f(gauss_points[i])

returnintegral

#定义被积函数

deff(x):

returnx**2

#计算f(x)=x^2在区间[-1,1]上的积分

integral=gaussian_integration(f)

print("积分结果:",integral)

#对于多维积分，可以使用高斯积分的乘积规则

defdouble_gaussian_integration(f):

"""

使用3点高斯积分的乘积规则计算函数f在矩形区域[-1,1]x[-1,1]上的二重积分。

"""

integral=0

foriinrange(3):

forjinrange(3):

integral+=gauss_weights[i]*gauss_weights[j]*f(gauss_points[i],gauss_points[j])

returnintegral

#定义被积函数

deff(x,y):

returnx*y

#计算f(x,y)=xy在矩形区域[-1,1]x[-1,1]上的积分

integral=double_gaussian_integration(f)

print("积分结果:",integral)以上代码示例展示了如何使用梯形法则、辛普森法则和高斯积分规则来计算一维和多维的数值积分。在非线性弹性力学中，这些方法可以用于计算单元的刚度矩阵、应力应变关系等，从而提高有限元分析的精度和效率。3非线性弹性力学方程的离散化3.1有限元方法的基本原理有限元方法(FEM)是一种广泛应用于工程分析的数值技术，用于求解复杂的非线性弹性力学问题。其核心思想是将连续的结构域离散化为有限数量的单元，每个单元用一组节点来表示。在每个单元内部，位移场被假设为节点位移的插值函数，从而将连续的偏微分方程转化为离散的代数方程组。3.1.1插值函数在有限元分析中，位移场通常用线性或高阶多项式来近似。例如，对于一个二维四节点单元，位移场可以表示为：#假设二维四节点单元的位移场插值函数

importnumpyasnp

defdisplacement_interpolation(N,u,v):

"""

N:插值函数矩阵，形状为(2,4)，分别对应x和y方向的位移插值

u:节点x方向位移向量，形状为(4,)

v:节点y方向位移向量，形状为(4,)

"""

#计算x和y方向的位移

u_interpolated=np.dot(N[0],u)

v_interpolated=np.dot(N[1],v)

returnu_interpolated,v_interpolated3.1.2应变-位移关系应变-位移关系将应变与位移联系起来，是有限元分析中的关键步骤。在非线性分析中，应变通常是非线性的，需要使用更复杂的公式来计算。#应变-位移关系的计算

defstrain_displacement(u,v,B):

"""

u:x方向位移向量

v:y方向位移向量

B:应变-位移矩阵

"""

#计算应变向量

strain=np.dot(B,np.hstack((u,v)))

returnstrain3.2非线性弹性方程的离散化过程非线性弹性力学方程的离散化过程涉及将连续的偏微分方程转化为离散的代数方程组。这一过程通常包括以下步骤：定义单元和节点：将结构域划分为多个单元，每个单元由一组节点表示。选择位移插值函数：在每个单元内部，位移场被假设为节点位移的插值函数。计算应变和应力：使用应变-位移关系和本构关系（如非线性弹性模型）来计算每个单元的应变和应力。建立平衡方程：基于虚功原理，将每个单元的平衡方程组合成整个结构的平衡方程组。施加边界条件：在离散化后的方程组中施加边界条件，如固定边界或施加外力。3.2.1示例：非线性弹性方程的离散化考虑一个简单的二维非线性弹性问题，其中结构由多个四节点单元组成。我们使用有限元方法离散化该问题，首先定义单元和节点，然后选择位移插值函数，接着计算应变和应力，最后建立并求解平衡方程组。#定义单元和节点

nodes=np.array([[0,0],[1,0],[1,1],[0,1]])#节点坐标

elements=np.array([[0,1,2,3]])#单元节点编号

#选择位移插值函数

N=np.array([[1,0,0,0,0,0,0,0],

[0,1,0,0,0,0,0,0],

[0,0,1,0,0,0,0,0],

[0,0,0,1,0,0,0,0],

[0,0,0,0,1,0,0,0],

[0,0,0,0,0,1,0,0],

[0,0,0,0,0,0,1,0],

[0,0,0,0,0,0,0,1]])#插值函数矩阵

#计算应变和应力

B=np.array([[1,0,0,0,0,0,0,0],

[0,0,0,0,1,0,0,0],

[0,0,1,0,0,0,0,0],

[0,1,0,0,0,1,0,0],

[0,0,0,1,0,0,0,1],

[0,0,0,0,0,0,1,0]])#应变-位移矩阵

#假设的节点位移

u=np.array([0,0.1,0.2,0])

v=np.array([0,0,0.1,0])

#计算应变

strain=strain_displacement(u,v,B)

#假设的应力-应变关系（简化示例）

stress=strain*100#假设弹性模量为100

#建立平衡方程

K=np.zeros((8,8))#刚度矩阵

f=np.zeros(8)#外力向量

#求解平衡方程

u_solution=np.linalg.solve(K,f)3.3离散化方程的求解策略离散化后的非线性弹性力学方程组通常是非线性的，需要使用迭代方法求解。常见的求解策略包括：Newton-Raphson方法：这是一种基于线性化技术的迭代求解方法，通过在每一步中求解线性化后的方程来逐步逼近非线性方程的解。Arc-Length方法：在求解过程中引入一个虚拟的弧长参数，以控制载荷的增加，确保求解过程的稳定性。LoadIncrement方法：将外力载荷分解为多个小的增量，逐步施加，每次求解一个线性化后的子问题。3.3.1Newton-Raphson方法示例Newton-Raphson方法是一种常用的非线性方程求解策略。下面是一个简化示例，展示如何使用Newton-Raphson方法求解非线性弹性力学问题中的平衡方程组。#Newton-Raphson方法求解非线性方程

defnewton_raphson(K,f,u0,tol=1e-6,max_iter=100):

"""

K:刚度矩阵

f:外力向量

u0:初始位移向量

tol:收敛容差

max_iter:最大迭代次数

"""

u=u0

foriinrange(max_iter):

#计算残差

r=f-np.dot(K,u)

#检查收敛性

ifnp.linalg.norm(r)<tol:

break

#计算刚度矩阵的修正

Kt=K#假设刚度矩阵不变，实际中需要根据应变和应力更新

#求解修正位移

du=np.linalg.solve(Kt,r)

#更新位移

u+=du

returnu3.3.2Arc-Length方法示例Arc-Length方法通过引入一个虚拟的弧长参数，控制载荷的增加，确保求解过程的稳定性。下面是一个简化示例，展示如何使用Arc-Length方法求解非线性弹性力学问题中的平衡方程组。#Arc-Length方法求解非线性方程

defarc_length(K,f,u0,L0,tol=1e-6,max_iter=100):

"""

K:刚度矩阵

f:外力向量

u0:初始位移向量

L0:初始弧长

tol:收敛容差

max_iter:最大迭代次数

"""

u=u0

L=L0

foriinrange(max_iter):

#计算残差

r=f-np.dot(K,u)

#计算载荷向量的修正

fL=np.hstack((r,L))

#构建增广刚度矩阵

Kt=np.vstack((np.hstack((K,np.zeros((K.shape[0],1)))),

np.hstack((np.zeros((1,K.shape[1])),np.array([1])))))

#求解修正向量

duL=np.linalg.solve(Kt,fL)

#更新位移和弧长

u+=duL[:-1]

L+=duL[-1]

#检查收敛性

ifnp.linalg.norm(duL[:-1])<tol:

break

returnu3.3.3LoadIncrement方法示例LoadIncrement方法将外力载荷分解为多个小的增量，逐步施加，每次求解一个线性化后的子问题。下面是一个简化示例，展示如何使用LoadIncrement方法求解非线性弹性力学问题中的平衡方程组。#LoadIncrement方法求解非线性方程

defload_increment(K,f,u0,n_steps=10,tol=1e-6,max_iter=100):

"""

K:刚度矩阵

f:外力向量

u0:初始位移向量

n_steps:载荷步数

tol:收敛容差

max_iter:最大迭代次数

"""

u=u0

f_step=f/n_steps

foriinrange(n_steps):

#更新外力向量

f_current=f_step*(i+1)

#求解修正位移

forjinrange(max_iter):

r=f_current-np.dot(K,u)

ifnp.linalg.norm(r)<tol:

break

du=np.linalg.solve(K,r)

u+=du

returnu通过这些方法，我们可以有效地求解非线性弹性力学问题中的平衡方程组，从而获得结构在非线性载荷下的响应。4数值积分在非线性弹性力学中的应用4.1高斯积分点的选择与布置在非线性弹性力学的有限元分析中，高斯积分是一种广泛采用的数值积分方法，用于计算单元的刚度矩阵和内力向量。高斯积分的关键在于选择合适的积分点和权重，以确保计算的精度和效率。4.1.1原理高斯积分基于多项式函数的积分，通过在积分区间内选取特定的点（高斯点）和对应的权重，可以精确地计算多项式的积分。对于非线性问题，由于材料属性随应变变化，高斯积分点的选择直接影响到非线性材料模型的准确积分。4.1.2内容一维高斯积分：在一维情况下，高斯积分点通常位于区间[-1,1]的内部，且对称分布。例如，对于二次多项式，使用两个高斯点即可精确积分。多维高斯积分：在二维或三维情况下，积分点的布置更加复杂，通常采用笛卡尔积的方式，将一维的高斯点扩展到多维空间。4.1.3示例假设我们有一维的非线性弹簧，其力-位移关系为fx=kx+bx2，其中k和b是材料参数，importnumpyasnp

#材料参数

k=10.0

b=2.0

#高斯点和权重

gauss_points=np.array([-0.5773502691896257,0.5773502691896257])

gauss_weights=np.array([1.0,1.0])

#计算内能

defcalculate_energy(x):

energy=0.0

forgp,gwinzip(gauss_points,gauss_weights):

f=k*gp*x+b*gp**2*x**2

energy+=gw*f*x/2.0

returnenergy

#位移

x=1.0

#计算内能

U=calculate_energy(x)

print("内能U=",U)此代码示例展示了如何使用高斯积分点来计算非线性弹簧的内能。通过在位移x的区间内选取高斯点，我们可以近似计算力-位移关系下的积分，从而得到内能。4.2非线性材料模型的数值积分非线性材料模型，如塑性、粘弹性或超弹性模型，其应力-应变关系通常不是线性的。在有限元分析中，需要对这些非线性关系进行数值积分，以求解单元的内力和刚度。4.2.1原理非线性材料模型的数值积分通常涉及在每个积分点上计算材料的切线模量，然后使用这些模量和应变增量来更新应力状态。这一过程在每个时间步或每个载荷增量中重复进行，直到达到收敛。4.2.2内容切线模量：在非线性材料模型中，切线模量是材料在当前应力状态下的弹性模量，用于计算应力的增量。更新应力状态：在每个积分点上，根据切线模量和应变增量，使用增量形式的本构关系更新应力状态。4.2.3示例考虑一个简单的塑性模型，其中材料在屈服后进入塑性状态，应力-应变关系由下式给出：σ其中E是弹性模量，K是硬化模量，ϵy是屈服应变，⋅importnumpyasnp

#材料参数

E=200e3#弹性模量

K=10e3#硬化模量

epsilon_y=0.002#屈服应变

#应变

epsilon=np.linspace(0,0.01,100)

#应力计算

defcalculate_stress(epsilon):

sigma=E*epsilon

sigma[epsilon>epsilon_y]=E*epsilon_y+K*(epsilon[epsilon>epsilon_y]-epsilon_y)

returnsigma

#计算应力

sigma=calculate_stress(epsilon)

#输出应力-应变曲线

importmatplotlib.pyplotasplt

plt.plot(epsilon,sigma)

plt.xlabel('应变')

plt.ylabel('应力')

plt.show()此代码示例展示了如何使用数值积分来计算塑性材料的应力-应变关系。通过在应变区间内选取多个点，我们可以计算出整个应变范围内的应力分布，从而得到应力-应变曲线。4.3接触问题的数值积分处理在非线性弹性力学中，接触问题的处理是一个复杂但重要的方面。接触面的应力和应变分布通常是非线性的，需要通过数值积分来准确计算。4.3.1原理接触问题的数值积分通常涉及在接触面上定义积分点，然后在这些点上计算接触力和接触刚度。接触力的计算基于接触间隙和接触压力的非线性关系，而接触刚度则用于更新接触力对结构刚度矩阵的贡献。4.3.2内容接触力计算：接触力通常由接触压力和接触面积的乘积给出，接触压力与接触间隙的关系是非线性的。接触刚度更新：接触刚度用于描述接触力对位移的敏感度，是接触问题中结构刚度矩阵的一部分。4.3.3示例假设我们有两个接触的平面，其中一个平面在另一个平面上施加了垂直载荷。接触力的计算可以简化为在接触面上选取积分点，然后计算每个点上的接触压力。importnumpyasnp

#接触间隙和接触压力的非线性关系

defcontact_pressure(gap):

ifgap>0:

return0

else:

return-1000*gap**2

#接触面的尺寸

width=1.0

height=1.0

#接触面上的积分点

x=np.linspace(0,width,10)

y=np.linspace(0,height,10)

X,Y=np.meshgrid(x,y)

#接触间隙

gap=0.001*np.sin(2*np.pi*X)*np.sin(2*np.pi*Y)

#计算接触压力

pressure=np.vectorize(contact_pressure)(gap)

#输出接触压力分布

importmatplotlib.pyplotasplt

plt.imshow(pressure,origin='lower',extent=[0,width,0,height])

plt.colorbar()

plt.xlabel('宽度')

plt.ylabel('高度')

plt.title('接触压力分布')

plt.show()此代码示例展示了如何在接触面上选取积分点，并计算每个点上的接触压力。通过使用非线性的接触压力-间隙关系，我们可以得到接触面上的压力分布，这对于理解接触问题的力学行为至关重要。以上三个部分详细介绍了数值积分在非线性弹性力学中的应用，包括高斯积分点的选择与布置、非线性材料模型的数值积分以及接触问题的数值积分处理。通过这些方法，我们可以更准确地模拟和分析复杂的非线性力学问题。5高级主题与案例研究5.1大型非线性结构的数值分析在处理大型非线性结构的数值分析时，数值积分技术是至关重要的。非线性弹性力学中的结构可能由于材料的非线性、几何的非线性或边界条件的非线性而表现出复杂的响应。数值积分方法，如高斯积分，被广泛应用于有限元分析中，以准确计算这些非线性结构的内力和变形。5.1.1高斯积分示例假设我们有一个1D的非线性弹簧，其力-位移关系由一个非线性函数fx描述。为了计算弹簧在不同位移下的总能量，我们需要对fa其中，wi是高斯积分的权重，x5.1.1.1代码示例importnumpyasnp

#定义非线性力-位移函数

deff(x):

returnx**2+2*x

#高斯积分点和权重

x_points=np.array([-0.5773502692,0.5773502692])

weights=np.array([1,1])

#积分区间

a=0

b=1

#高斯积分计算

integral=0.5*(b-a)*np.sum(weights*f(0.5*(b-a)*x_points+0.5*(b+a)))

print("积分结果:",integral)5.1.2解释上述代码中，我们定义了一个非线性函数fx=x2+5.2非线性弹性力学中的收敛性问题非线性弹性力学分析中的收敛性问题通常与迭代求解器的性能有关。在求解非线性方程组时，如结构的平衡方程，迭代过程可能不会收敛到一个解，这可能是由于初始猜测不准确、加载步长过大或非线性行为过于复杂等原因。5.2.1解决策略为了解决收敛性问题，可以采用以下策略：减小加载步长：通过逐步增加载荷，可以更平稳地引导求解器找到解。改进初始猜测：使用前一步的解作为下一步的初始猜测，可以提高迭代过程的稳定性。采用更强大的求解器：如牛顿-拉夫逊方法或弧长法，这些方法在处理非线性问题时通常更有效。5.3数值积分在复合材料分析中的应用复合材料由于其各向异性特性，其弹性力学分析比均质材料更为复杂。数值积分方法在复合材料的有限元分析中扮演着关键角色，尤其是在计算复合材料的应力和应变分布时。5.3.1复合材料的数值积分在复合材料的有限元分析中，每个单元的刚度矩阵和应力应变关系需要通过数值积分来计算。这通常涉及到在单元内选择积分点，并在这些点上评估材料属性和应变分布，然后将结果加权求和。5.3.1.1代码示例importnumpyasnp

#定义复合材料的弹性矩阵

defelastic_matrix(theta):

#假设材料属性

E1=100e9#纵向弹性模量

E2=10e9#横向弹性模量

nu12=0.3#泊松比

G12=5e9#剪切模量

#转换为工程常数

C=np.array([[E1,E2*nu12,G12],

[E2*nu12,E2,G12],

[G12,G12,(E1*E2)/(2*(E1-nu12*E2))]])

#转换为复合材料的弹性矩阵

Q=np.array([[C[0,0]*np.cos(theta)**4+C[1,1]*np.sin(theta)**4+2*C[0,1]*np.sin(theta)**2*np.cos(theta)**2+4*C[2,2]*np.sin(theta)**2*np.cos(theta)**2,

(C[0,0]-C[1,1])*np.sin(theta)*np.cos(theta)*(np.cos(theta)**2-np.sin(theta)**2)+2*C[2,2]*(np.sin(theta)**3*np.cos(theta)-np.sin(theta)*np.cos(theta)**3),

(C[0,0]-2*C[0,1]+C[1,1])*np.sin(theta)*np.cos(theta)],

[(C[0,0]-C[1,1])*np.sin(theta)*np.cos(theta)*(np.cos(theta)**2-np.sin(theta)**2)+2*C[2,2]*(np.sin(theta)**3*np.cos(theta)-np.sin(theta)*np.cos(theta)**3),

C[0,0]*np.sin(theta)**4+C[1,1]*np.cos(theta)**4-2*C[0,1]*np.sin(theta)**2*np.cos(theta)**2+4*C[2,2]*np.sin(theta)**2*np.cos(theta)**2,

(C[0,0]-2*C[0,1]+C[1,1])*np.sin(theta)*np.cos(theta)],

[(C[0,0]-2*C[0,1]+C[1,1])*np.sin(theta)*np.cos(theta),

(C[0,0]-2*C[0,1]+C[1,1])*np.sin(theta)*np.cos(theta),

C[0,0]*np.sin(theta)**2+C[1,1]*np.cos(theta)**2-C[0,1]*(np.sin(theta)**2+np.cos(theta)**2)]])

returnQ

#高斯积分点和权重

x_points=np.array([-0.5773502692,0.5773502692])

weights=np.array([1,1])

#计算复合材料单元的刚度矩阵

defstiffness_matrix(theta,h):

Q=elastic_matrix(theta)

B=np.array([[np.cos(theta),0,np.sin(theta)],

[0,1,0],

[-np.sin(theta),0,np.cos(theta)]])

#高斯积分计算

integral=0.5*h*np.sum(weights*np.dot(np.dot(B.T,Q),B))

returnintegral

#单元厚度

h=0.1

#单元角度

theta=np.pi/4

#计算刚度矩阵

K=stiffness_matrix(theta,h)

print("刚度矩阵:",K)5.3.2