苏教版高中数学必修一知识点清单

苏教版高中数学必修一知识点清单

第一章集合

1.1集合的概念与表示

一、集合的相关概念

1.集合的概念

一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合.集合中的每一个对象称为

该集合的元素，简称元.

集合常用大写拉丁字母表示，如集合A,B,…，集合的元素常用小写拉丁字母表示，如a,b,….

2.集合中元素的特性

（1）确定性：集合中的元素必须是确定的.

（2）无序性：集合中的元素并无先后顺序，即任何两个元素都可以交换顺序.

（3）互异性：集合中的元素一定是不同的.

3.元素与集合的关系：属于（用符号"W”表示）或不属于（用符号“¥或“之”表示）.

4.集合相等

如果两个集合所含的元素完全相同（即A中的元素都是B的元素,B中的元素也都是A的元素），

那么称这两个集合相等.

二、集合的表示与分类

1.常用数集及其记法

非负整数集

名称正整数集整数集有理数集实数集

（或自然数集）

记法NN*或N+ZQR

2.集合的表示方法

(1)列举法：将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{}”内.集合中元素之间要用逗号分隔，

但列举时与元素的次序无关.

(2)描述法：将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来，写成{X|p(X)}的形式，其中X

为集合的代表元素，p(x)为元素x具有的性质.

为了直观地表示集合，我们常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，称为Venn图.

3.集合的分类

含有有限个元素的集合称为有限集.

含有无限个元素的集合称为无限集.

不含任何元素的集合称为空集，记作。.

三、集合中元素特性的应用

1.确定性的应用

⑴集合中的元素是否属于这个集合是确定的，即任何对象都能明确它是或不是某个集合的元素，

两者必居其一.

(2)元素在集合中，元素就满足集合的限制条件；元素不在集合中，元素就不满足集合的限制条件.

由此可以列出关系式，进而得到参数的值或取值范围.

2.互异性的应用

互异性主要体现在求出参数后要代入检验，看看所求的集合中的元素是否互不相同.

3.无序性的应用

无序性是分类讨论思想的应用标准.若给出元素属于某集合，则它可能等于集合中的任一元素;

若给出两集合相等，则其中的元素不一定按顺序对应相等.

四、集合的表示

1.方法的选择

当集合中元素个数较少或个数多但有规律时可考虑用列举法；当集合中元素个数多且有公共属

性或无限时可考虑用描述法.

2.用列举法表示集合时的省略

元素个数多或元素个数无限但有规律时，在不发生误解的情况下，可按照规律列出几个代表元

素，其他元素用省略号表示.如“从1至U1000的所有自然数”可以表示为{1,2,3,…，1000},

“自然数集N”可以表示为{0,1,2,3,

3.用描述法表示集合时的注意点

(1)写清楚集合中的代表元素及其范围，如数或点等；

(2)除代表元素外的字母，要说明其含义或指出其取值范围；

(3)用于描述共同属性内容的语言要力求简洁、准确；

(4)所有描述的内容都要写在“{}”内，且“{}”内不能出现“所有”“全体”等词语.

五、集合中的参数问题

1.求解含参数的集合问题的思路

⑴若参数的取值对解题有影响，则需对参数进行分类讨论，分类时要明确分类标准，如在方程

ax+b=0中，要讨论一次项系数a是不是0,在方程ax2+bx+c=0中，要讨论二次项系数a是不是0.

⑵利用条件列出含参数的关系式，求解可得到参数的值或取值范围，要注意利用集合中元素的特

性对参数进行检验.

1.2子集、全集、补集

一、子集、真子集

子集真子集

如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若如果AUB,并且AWB,那么集合A

定义

aEA,则aGB),那么集合A称为集合B的子集称为集合B的真子集

记法AUB或B2AA^B或B叁A

读法“集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A”“A真包含于B”或“B真包含A”

e或G

图示

(1)任何一个集合是它本身的子集，即AUA；(1)空集是任何非空集合的真子集；

(2)空集是任何集合的子集，即。UA；(2)对于集合A,B,C,若A呈B且

性质

⑶对于集合A,B,C,若AUB且BUC,则AUCB冢,则A/

二、补集、全集

1.全集

如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记

作U.

2.补集

文字语言设Acs,由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集

符号语言LsA={x|xeS,且x庄A}

定义s

图形语言0

性质CuU=0；Cu0=u；Cu(CiA)=A

三、集合间关系的判断

1.判断集合间关系的方法

(1)列举法：对于能用列举法表示的集合，先用列举法将两个(或多个)集合表示出来，再通过对比

两个(或多个)集合中的元素来判断其关系.

⑵元素特征法：确定集合的代表元素是什么，弄清楚集合中元素的特征，再利用集合中元素的特

征判断.

(3)数形结合法：利用数轴或Venn图.一般不等式的解集之间的关系适合用数轴判断.

四、探究集合的子集个数

1.假设集合A中含有n(n£N*)个元素，则

(1)A的子集个数是2”；

(2)A的非空子集个数是2"-1；

(3)A的真子集个数是2"-1；

(4)A的非空真子集个数是2n-2.

2.含有限制条件的子集问题，一般可根据条件列出所有适合题意的子集，采用列举法解决.特别

地，设有限集合A,B中分别含有m个，n个元素(m,nGN*,mWn),且AGCGB,则符合条件的有限

集C的个数为2『

五、已知集合间的关系求参

1.若集合是有限集，则根据集合间的关系，列出方程(组)求解，解题时还要注意考虑集合中元素

的互异性.

2.若集合是用不等式描述的，则通常借助数轴进行分析，将各个集合在数轴上表示出来，以形定

数，注意实心圆点与空心圆圈，还要注意验证端点值是否符合题意.

3.涉及“AUB”或“A&T的问题，若集合A中含有参数，通常要分A=。和AW。两种情况

进行讨论，其中A=0的情况容易被忽略，应引起足够的重视.

1.3交集、并集

一、交集与并集

交集并集

由所有属于集合A且属于集合B的元素由所有属于集合A或者属于集合B的元素构

文字语言构成的集合，称为A与B的交集，记作成的集合，称为A与B的并集，记作AUB(读

ACB(读作“A交B”)作“A并B”)

符号语言AAB={x|xGA,且xWB}AUB={x|x£A,或xWB}

C7

图形语言3

AnB=BCA；AUB=BUA；

ADA=A；AUA=A；

AA0=0=0nA；AU0=A=0UA；

运算性质

(AAB)UA；Ac(AUB)；

(AnB)cB；BC(AUB)；

AUB=AAB=AAGBQAUB=B

2.德•摩根定律

(DCu(ACB)=(［iA)U(［出)；

⑵Cu(AUB)=(CiA)n(］出).

二、区间

1.设a,b£R,旦a<b,规定［a,b］叫作闭区间；(a,b)叫作开区间；［a,b),(a,b］叫作半开半

闭区间；a,b叫作相应区间的端点.

2.在数轴上表示时，闭区间用实心圆点表示，开区间用空心圆圈表示.

三、集合的混合运算

1.在进行集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，再根据运算顺序依次进行运算.

2.集合的混合运算的分类

⑴有限集（或可以列举的无限集）的运算，运用列举法，按照运算的定义进行运算，注意集合中元

素的互异性；

⑵与不等式有关的无限集的运算，借助数轴，按照运算的定义进行运算，注意是否去掉端点值；

（3）抽象集的运算，利用Venn图，借助直观图形，按照运算的定义进行运算.

四、已知集合间的运算关系求参

1.由集合间的运算关系求参的思路

⑴将集合间的运算关系转化为两个（或多个）集合之间的关系.若集合中的元素能被一一列举，则

可用观察法；若集合与不等式有关，则可用数轴求解.

⑵将集合之间的关系转化为方程（组）或不等式（组），求解即可.在求解时注意集合中元素的互异

性和空集的特殊性.

五、通过集合知识发展数学抽象、数学运算的素养

1.集合是现代数学的基本语言，本质上，集合源于对数量与数量关系的抽象，集合的概念就是舍

去事物的一切物理属性，得到抽象的数学结构，是数量与数量关系抽象的更高层次.

2.抽象的过程实际上是对数学概念与数量关系等理解与应用的过程.集合中的新定义问题能很好

地体现数学抽象与数学运算的素养水平，此类问题不是简单考查集合的概念或性质（集合中元素的

特性、集合的运算性质等），而是以集合为载体，通过定义新概念、新法则、新运算等，理解符号

所代表的数量关系和变化规律，并能运用集合的性质进行符号间的转化.

第二章常用逻辑用语

2.1命题、定理、定义2.2充分条件、必要条件、充要条件

一、命题

在数学中，我们将可判断真假的陈述句叫作命题.许多命题可表示为“如果P，那么q”或“若

P，则q”的形式，其中P叫作命题的条件，q叫作命题的结论.

二、充分条件、必要条件与充要条件

1.如果“p=q"，那么称p是q的充分条件，也称q是p的必要条件，可以理解为若p成立，则q

一定成立，反过来，若q不成立，则p一定不成立.

2.如果poq,且qop,那么称p是q的充分且必要条件，简称为p是q的充要条件，也称q的充

要条件是P，记作p=q.

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数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件，每一条判定定理都给出了相

应数学结论成立的一个充分条件.

三、充分条件、必要条件、充要条件的判断

1.判断充分、必要、充要条件的方法

(1)定义法：直接利用定义进行判断，注意要会举反例.

(2)利用集合间的包含关系进行判断：满足条件p和结论q的元素构成的集合分别为A和B,若p是

q的充分条件，则AUB；若p是q的必要条件，则B=A；若p是q的充要条件，则A=B；若p是q

的充分不必要条件，则A呈B；若p是q的必要不充分条件，则B些A.

(3)利用传递性进行判断：充分条件和必要条件具有传递性，即由出今史今…Op“可得Dopn,充要条

件也具有传递性.

四、充分条件、必要条件的证明与探求

1.充要条件的证明

⑴证明P是q的充要条件时，既要证明命题“P=q”为真，又要证明“q=p”为真，前者证明的是

充分性，后者证明的是必要性.

⑵证明充要条件也可以利用等价转化法，即把条件和结论进行等价转化，注意转化过程中必须保

证前后是能互相推出的.

2.探求充分条件、必要条件的步骤

(1)分清“条件"和''结论”，明确探求的方向；

(2)找到使结论成立的充要条件(一般用集合的方法)；

⑶将充要条件对应的范围扩大，即得结论成立的必要不充分条件；将充要条件对应的范围缩小，

即得结论成立的充分不必要条件.

五、利用充分条件、必要条件求参数

利用充分条件、必要条件求解参数问题时，一般结合充分条件、必要条件转化为集合之间的关

系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的方程(组)或不等式(组)，进而求解.要注意对解集的

端点值进行检验.

六、通过充分、必要条件的使用发展逻辑推理的素养

逻辑用语是数学语言的重要组成部分，是数学表达与交流的工具.正确使用充分、必要条件等

逻辑用语表达数学对象、进行数学推理，可以提高交流的逻辑性和准确性.

在解题中要做到能够辨析哪些条件是充分不必要的，哪些条件是必要不充分的，哪些条件是充

分必要的，哪些条件是既不充分又不必要的，并能用严谨的数学语言将充分、必要条件转化为集合

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间的关系，加深对逻辑用语的认识，提升逻辑推理的素养.

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2.3全称量词命题与存在量词命题

一、全称量词与全称量词命题

“所有”“任意”“每一个”等表示全体的词在逻辑学中称为全称量词，通常用符

全称量词

号“Vx”表示“对任意X”

全称量词

含有全称量词的命题称为全称量词命题.一般形式可表示为VxCM,p(x)

命题

二、存在量词与存在量词命题

“存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词在逻辑学中称为存在量词，通

存在量词

常用符号“mx”表示“存在X”

存在量词

含有存在量词的命题称为存在量词命题.一般形式可表示为mxWM,p(x)

命题

三、全称量词命题与存在量词命题的否定

1.全称量词命题与存在量词命题的否定

类型符号表示否定的符号表示

全称量词命题VxEM,p(x)3xEM,p(x)

存在量词命题3xEM,p(x)VxWM,p(x)

全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题.

2.命题否定的真假

对一个命题进行否定，就得到了一个新的命题，这两个命题不能同时为真，也不能同时为假，

即它们的关系是“一真一假”或“此假彼真”.

四、全称量词命题、存在量词命题及其否定的真假判断

1.要判定全称量词命题“Vx£M,p(x)成立"是真命题，需要对集合M中每个元素x验证p(x)成立.

但要判定该命题是假命题，只要能找出集合M中的一个x=x。，使p(x)不成立即可.要判定存在量词

命题“mxGM,p(x)成立"是真命题，只需在集合M中找到一个x=x。，使p(x)成立即可；否则，这

一命题就是假命题.

2.命题与命题的否定的真假性相反.当命题的否定的真假不易判断时，可以通过判断原命题的真

假来得出命题的否定的真假.

3.常用的正面叙述词语和它的否定词语:

原词语等于(=)小于(<)都是

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否定词语不等于（#）不小于（2）不都是

原词语至少有一个至多有一个至多有n个

否定词语一个也没有至少有两个至少有（n+1）个

五、含有量词的命题中的参数问题

1.解决含有量词的命题中的参数问题的思路

⑴对于全称量词命题“VxWM,a>y（或a〈y）”求参的问题，一般为“恒成立”问题，通常转化为求

函数y的最大值（或最小值），即a>y吨*（或aVywn）；对于存在量词命题'勺x£M,a〉y（或a<最"求参

的问题，一般为“有解”问题，通常转化为求函数y的最小值（或最大值），即a>y.i”（或a〈y.Q.

（2）对于命题p的有些问题，正面解决很难或者很复杂，这时我们可以考虑它的反面，即把与命题p

有关的问题转化成与命题F有关的问题，从而把问题简化，即“正难则反”的方法，也就是“补集

思想”的应用.

第三章不等式

3.1不等式的基本性质

一、两实数大小关系的基本事实

1.a〉boa-b>0；a=bQa-b=O；a<b<=>a-b<0.

二、不等式的基本性质

性质1：若a>b,则b〈a.

性质2：若a>b,b>c,则a>c.

性质3：若a>b,则a+c>b+c.

性质4：若a>b,c>0,则ac>bc；若a>b,c<0,则ac<bc.

性质5：若a>b,c>d,则a+c>b+d.

性质6：若a>b>0,c>d>0,则ac>bd.

特别地，若a〉b>0,则a"〉b”（ndN*）.

三、比较实数（代数式）的大小

作差比较法作商比较法

a-b>O=a>b；a>0,b>0且2l=>a>b；

依据a-b<O»a<b；b

a>0,b>0K-<l=>a<b

a-b=O<=>a=bb

应用范围作差后可化为积或商的形式同号两数（式）比较大小

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①作差；①作商；

②变形；②变形；

步骤

③判断符号；③判断商与1的大小关系；

④下结论④下结论

①分解因式；

变形②平方后作差；

按照同类的项进行分组

技巧③配方法；

④分子（分母）有理化

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四、利用不等式的性质求代数式的取值范围

利用几个代数式的取值范围来确定某个代数式的取值范围是一类常见的综合问题，对于这类问

题要注意“同向不等式的两边可以相加”，但这种转化不是等价变形，在一个解题过程中多次进行

这种转化后，就有可能扩大真实的取值范围.解决此类问题，可先建立待求范围的整体与已知范围

的整体的等量关系，再通过一次不等关系的运算求得待求式的取值范围.

五、利用不等式的性质证明不等式

利用不等式的性质证明不等式的实质就是利用性质对不等式进行变形，变形时，一要考虑已知

不等式与未知不等式在运算结构上的联系，二要考虑变形要等价，三要注意性质使用的前提条件.

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3.2基本不等式

一、两个重要不等式

不等式变形等号成立的条件注意

abW空，

a'+b。2ab2当且仅当a=b时，等号成立a,b£R

ab«手丫

基本不等式：

a+b^2Vab当且仅当a=b时，等号成立a,b20

2

二、基本不等式与最值

1.对于正数a,b

(1)和a+b为定值s时，积ab有最大值，当且仅当a=b=：时取得最大值；

(2)积ab为定值p时，和a+b有最小值，当且仅当a=b=J^时取得最小值.

2.在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件

一正一一各项均为正数.

二定——和或积为定值.

三相等一一等号成立的条件.

3.基本不等式链

已知a,b为正实数，则隹记2蜉2而2昌(当且仅当a=b时，等号成立)，

\22-F—

"ab

其中隹运称为平方平均数，蜉称为算术平均数，相称为几何平均数，二称为调和平均数.

三、利用基本不等式求无附加条件的最值

1.利用基本不等式求最值的注意事项

(1)一正：各项必须都是正值.

若各项都是正数，则可以直接用基本不等式求最值；若各项都是负数，则可以整体提出负号，

化为正数，再用基本不等式求最值；若有些项为正数，有些项为负数，则不可以用基本不等式求最

值.

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（2）二定：各项之和或各项之积为定值.

解决利用基本不等式求最值问题的关键是凑出“和”或“积”为定值，常见的凑项技巧：

①拆（裂项、拆项）：对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离一一分离成整式与“真分式”

的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定值创造条件.

②并（分组并项）：分组后，各组可以单独应用基本不等式或先对一组应用基本不等式，再在组与组

之间应用基本不等式得出最值.

③配（配式、配系数）：根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应

用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，积式中的各项之和为定值.

（3）三相等：必须验证取等号时条件是否成立，若等号不成立，则不能用基本不等式求最大（小）值.

四、利用基本不等式求有限制条件的最值

利用基本不等式求有限制条件的最值常见的解法是换（常值代换、变量代换），首先对条件变形，

以进行代换，再构造利用基本不等式求最值的形式.常用于“已知ax+by初（a,b,x,y均为正数），

求七三的最小值”和“已知?+匹m（a,b,x,y均为正数），求x+y的最小值”两种类型.

xyxy

五、利用基本不等式证明不等式

1.利用基本不等式证明不等式的关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将

“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果.证明不等式常用的变形

技巧：

（1）拆分、配凑：将所要证明的不等式先拆分成几部分，再利用基本不等式证明.

（2）常值代换：利用已知的条件或将已知条件变形得到含“常值”的式子，将“常值”代入

后再利用基本不等式证明.

2.多次运用基本不等式时，需要注意两点：一是不等号方向要一致，二是等号要能同时取到.

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3.3从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式

一、二次函数的零点

1.一元二次方程ax'bx+cREWO)的根就是二次函数y=ax，bx+c(aWO)当函数值取零时自变量x

的值，即二次函数y=ax?+bx+c(aWO)的图象与x轴交点的横坐标，也称为二次函数y=ax?+bx+c(aW

0)的零点.

二、一元二次不等式

1.一元二次不等式的概念

只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的整式不等式.

2.一元二次不等式的一般形式

ax'+bx+c>0(20)或ax'+bx+c<0(WO)(a,b,c均为常数，且aWO).

三、三个“二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系

判别式A=b2-4acA>0A=0A<0

yy11

二次函数y=ax2+bx+c

(a>0)的图象-vi0左

A

/y—/y/v,

0A/।—0X

有两个相等的实

一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相异的实数根

数根没有实数根

(a>0)的根X),x2(x,<x2)b

X产X2=W

(-8，TU

一元二次ax2+bx+c>0(a>0)(-8,X|)U(X2，+8)R

不等式的良，+8)

解集

2

ax+bx+c<0(a>0)(X1,x2)00

注意：当一元二次不等式的二次项系数为负时，可化为正数再求解.

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四、一元二次不等式的解法

1.解不含参数的一元二次不等式的一般步骤

(1)化标准：通过对不等式的变形，使不等号右侧为0,左侧的二次项系数为正.

(2)判别式：对不等号左侧因式分解，若不易分解，则计算其对应方程的判别式.

(3)求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根.

(4)画草图：根据一元二次方程根的情况画出其对应的二次函数图象的草图.

(5)写解集：根据图象写出不等式的解集.

2.解含参数的一元二次不等式

(1)不改变解题步骤.

(2)根据运算的需要进行分类讨论：

①讨论二次项系数：当二次项系数中含有参数时，应讨论二次项系数与0的大小关系，然后将不等

式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式；

②讨论不等式对应方程根的个数：当不等式对应的一元二次方程的根的个数不确定时，讨论判别式

△与0的关系；

③讨论两根的大小：确定方程有两根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式.

五、三个“二次”之间的关系

1.三个“二次”之间的关系

⑴在三个“二次”中，二次函数是主体，研究二次函数问题主要是将问题转化为一元二次方程和

一元二次不等式的形式来解决.

⑵研究一元二次方程和一元二次不等式时，要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图

象及性质来解决相关问题.

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2.应用三个“二次”之间的关系解题的思路

已知以a,b,c为参数的不等式(如ax2+bx+c>0(a#0))的解集求解其他不等式的解集时，一般

遵循：

①根据解集判断二次项系数的符号和一元二次方程的根；

②根据根与系数的关系把b,c用a表示出来并代入所要解的不等式；

③约去a,将不等式化为具体的一元二次不等式求解.

六、一元二次不等式的恒(能)成立问题

1.解决与一元二次不等式恒(能)成立的有关问题的方法

(1)将与一元二次不等式有关的问题转化为其所对应的二次函数图象与x轴的交点问题，考虑二次

项系数和对应方程的判别式的符号这两方面.

⑵将与一元二次不等式有关的问题转化为其对应的二次函数的最值问题，分离参数后，求相应二

次函数的最值，建立参数与这个最值的关系.

七、一元二次不等式的实际应用问题

1.利用一元二次不等式解决实际问题的一般步骤

(1)选择合适的字母表示题目中起关键作用的未知量；

(2)根据题中信息构造不等关系或函数模型；

(3)解一元二次不等式；

(4)结合题目的实际意义确定答案.

八、通过三个“二次”问题发展直观想象的素养

三个，，二次”中综合问题解题思路的探究，是以二次函数的图象为几何直观，通过其开口方向、

对称轴、端点函数值、对应方程的判别式等，对相关一元二次方程(不等式)进行定量计算，进而解

决相关问题.

第四章指数与对数

4.1指数

一、根式

1.n次方根

(1)定义：如果x"=a(n>l,nGN*),那么称x为a的n次方根.

(2)表示:

n的奇偶性a的n次方根的表示a的取值范围

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n为奇数R

n为偶数土,[0,+8)

注意：负数没有偶次方根；0的n次方根等于0.

2.根式

(1)定义：式子唬叫作根式，其中n叫作根指数，a叫作被开方数.

⑵性质(其中n>l且ndN*)：

①(,)n=a.

②当n为奇数时，Va"=a；

a,a20,

当n为偶数时，V葩=|a|=

—a,a<0.

分数指数累

m___

1.正数的正分数指数幕：a^=%而(a>0,m,nWN*,n>l).

_叫11

2.正数的负分数指数事:(a>0,m,n《N*,n>l).

3n募F

3.0的分数指数幕：0的正分数指数幕为0,0的负分数指数幕没有意义.

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三、实数指数募

1.有理数指数累的运算性质

(1)asal=a,+l(a>0,s,tGQ).

(2)(a")'=a''(a>0,s,tGQ).

(3)(ab)=alb'(a>0,b>0,tEQ).

2.无理数指数易

当a〉0且x是一个无理数时，a，也是一个确定的实数.有理数指数基的运算性质对无理数指数

事同样适用.

四、根式与分数指数募的化简、求值

1.利用根式的性质化简、求值时的注意点

(1)要分清根式是奇次根式还是偶次根式；

⑵注意V乐与(%)"的区别，其中n>l,nWN*；

⑶运算时注意变式、整体代换以及平方差公式、立方差(和)公式、完全平方公式、完全立方公式

等的运用，必要时要进行分类讨论.

2.根式与分数指数幕化简、求值的技巧

(1)将根式化为毒的形式，小数指数基化为分数指数易，负指数塞化为正指数塞的倒数.

⑵底数是小数的，要先化成分数；底数是带分数的，要先化成假分数，然后要尽可能用幕的形式

表示，便于利用指数幕的运算性质.

化简的结果不能同时含有根式和分数指数暴，也不能既含有分母又含有负指数.

五、指数幕的条件求值问题

1.解决指数幕的条件求值问题时，一般将已知条件或所求代数式进行恰当变形，从而通过“整体

代换法”求出代数式的值.整体代换法是数学变形与计算常用的方法，分析观察条件与所求代数式

的结构特点，灵活运用恒等式是关键.

20

2.常用的变形公式如下：

1111

(l)a±2a5b5+b=(a5±b—之；

(2)(az+b2)(a2-b2)=a-b；

331111

(3)a2+b2=(az+bz)(a-azbz+b)；

331111

(4)az-b2=(a5-b5)(a+a5b5+b).

4.2对数

一、对数

1.对数的概念

如果aJN(a>0,aWl),那么就称b是以a为底N的对数，记作log.N=b,其中，a叫作对数的

底数，N叫作真数.

2.对数式与指数式的关系

b

当a〉0,aWl时，a=N<=>b=logaN.

3.常用对数与自然对数

以10为底的对数称为常用对数，对数log/简记为lgN；以e(e=2.71828…)为底的对数称

为自然对数，对数log°N简记为InN.

4.对数的性质

(1)零和负数没有对数；

(2)logj=0(a>0,a#l)；

(3)logaa=l(a>0,aWl)；

b

(4)logaa=b(a>0,aWl,bGR)；

(5)a1°gaN=N(a>0,aWl,N>0).

二、对数的运算性质

如果a〉0,且aWl,MX),N>0,那么:

(1)logi(MN)=logaM+logaN；

(2)loga^=logaM-logaN；

⑶logM=nlogaM(neR).

三、换底公式

1.换底公式：logaN=^,其中a>0,aWl,N>0,c>0,cWL

logca

21

2.相关结论(其中a,b均为不等于1的正数)

(1)logab,logba=l；

(2)logamb"=^log„b(mGR,n©R,mWO).

四、利用对数的运算性质化简、求值

1.利用对数的运算性质求值的关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的关系.

2.同底数的对数式化简的常用方法

(1)“收”，将同底对数的和(差)“收”成积(商)的对数，即“收”为一个对数式；

⑵“拆”，将积(商)的对数“拆”成两对数之和(差).

3.在应用换底公式时，要选择合适的底数，若所给的对数式的底数和真数互不相同，则可以选择

以10为底数进行换底.

五、对数与指数的综合运用

1.在对数式与指数式的互化运算中，要注意灵活应用定义、运算性质，尤其要注意条件和结论之

间的关系.

2.对于连等指数式，可令其等于k(k〉O),然后将指数式用对数式表示，再由换底公式将指数的倒

数化为同底的对数，从而解决问题.

六、通过指数、对数运算发展数学运算的素养

数学运算是学生学习数学的一种必备品格和关键能力.数学运算是指在明晰运算对象的基础

上，依据运算法则解决数学问题的素养.主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，

选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等.

第五章函数概念与性质

5.1函数的概念和图象5.2函数的表示方法

一、函数的概念

1.函数的概念

一般地，给定两个非空实数集合A和B,如果按照某种对应关系f,对于集合A中的每一个实

数x,在集合B中都有唯一的实数y和它对应，那么就称f：AfB为从集合A到集合B的一个函数，

记作y=f(x),xGA.其中，x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域，集合｛y|y=f(x),x^A｝称为

函数的值域.

2.函数的三要素

(1)一个函数的构成要素为定义域、对应关系和值域.

(2)如果两个函数的对应关系相同，定义域相同，那么这两个函数就是同一个函数.

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二、函数的表示方法

1.列表法：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法.

2.解析法：用等式来表示两个变量之间函数关系的方法.

3.图象法：用图象表示两个变量之间函数关系的方法.

三、分段函数

1.在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式的函数叫作分段函数.

四、求函数的定义域

1.已知函数解析式求定义域

(1)如果函数解析式是整式，那么在没有指明它的定义域的情况下，函数的定义域是实数集R.

(2)如果函数解析式含分式或0次幕，那么函数的定义域是使分母或指数基的底数不为零的实数的

集合.

23

(3)如果函数解析式仅含偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集

合.

⑷如果函数解析式是由几部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实

数的集合(即求各部分自变量取值集合的交集).

⑸由实际背景确定的函数，其定义域不仅要考虑解析式有意义，还要考虑自变量的实际意义.

2.求抽象函数的定义域

(1)无论什么样的函数，定义域指的永远是自变量的取值范围.

⑵相同的对应关系所作用对象的范围是一致的，即函数f(t),f(6(x)),f(h(x))中的t,巾(x),

h(x)在对应关系f下的取值集合相同.

(3)抽象函数定义域的求解类型及方法：

①已知f(x)的定义域为A,求f(巾(x))的定义域，实质是已知6(x)的取值集合为A,求x的取值

集合.

②已知f(6(x))的定义域为B,求f(x)的定义域，实质是已知6(x)中的x的取值集合为B,求出

6(x)的取值集合，此集合就是f(x)的定义域.

③已知f(6(x))的定义域为C,求f(g(x))的定义域，实质是已知＜l)(x)中的x的取值集合为C,求

出6(x)的取值集合D,再令g(x)的取值集合为D,求出x的取值集合，此集合就是f(g(x))的定义

域.

五、求函数的值或值域

1.求函数值的方法

(1)已知函数f(x)的解析式时，只需用常数a替换解析式中的x进行计算即可.

⑵已知函数f(x)与g(x),求f(g(a))的值，应遵循由内到外的原则.

注意：用来替换解析式中x的常数a必须是函数定义域内的值，否则求值无意义.

24

2.求函数值域的常用方法

(1)观察法：对于一些比较简单的函数，可根据其解析式的结构特征通过直接观察得到值域.

(2)图象法：画出函数的图象，利用函数图象的“最高点”和“最低点”直观得到函数的值

域.

⑶配方法：此方法是求二次函数值域的基本方法，通常把函数式通过配方转化为完全平方式与常

量和差的形式.

(4)分离常数法:主要针对形如丫=二(acWO,adWbc)的函数，常把分子分离成不含自变量的形式，

cx+d

,ad

即y=^^=-+—S其值域是{yIy^-}.

cx+dccx+dc

(5)换元法：对于一些无理函数(如y=ax±b±V^Td)，通过换元把它们转化为熟悉的函数，间接

求出原函数的值域，注意换元后新元的取值范围.

(6)判别式法：将函数转化为关于自变量的二次方程，利用判别式求因变量的范围，常用于“分式

函数”等，注意自变量的取值范围.

(7)反表示法：将函数中的自变量用因变量表示，结合原函数的定义域解不等式，从而求出函数的

值域.

六、求函数的解析式

1.当函数类型已知时，可采用“先设后求，待定系数”法来求其解析式.解题步骤如下：

(1)设出含有待定系数的解析式.

⑵把已知条件代入解析式，列出含待定系数的方程(组).

(3)解方程(组)，得到待定系数的值.

(4)将所求待定系数的值代回原式并化简整理.

2.当函数类型未知时，可根据条件选择以下方法求其解析式.

(1)代入法：已知f(x)的解析式，求f(g(x))的解析式，通常把g(x)作为一个整体替换f(x)中的X.

25

(2)换元法：已知f(g(x))是关于x的函数，求f(x)的解析式，通常令g(x)=t,由此能解出x=e(t),

将x=e(t)代入f(g(x))中，求得f(t)的解析式，再用x替换t,便可得到f(x)的解析式.

(3)配凑法：将所给函数的解析式f(g(x))通过配方、凑项等方法，使之变形为关于g(x)的函数解

析式，然后以x代替g(x),即得所求函数解析式，这里的g(x)可以是多项式、分式、根式等.

(4)消元法(方程组法)：已知f(x)与fg)或f(-x)的解析式，可根据已知条件用1或-x替换x,再构

造出另外一个等式，组成方程组，通过解方程组求出f(x).

⑸赋值法：依题目的特征，可对变量赋特殊值，由特殊到一般寻找普遍规律，从而根据找出的一

般规律求出函数解析式，此法一般适用于求抽象函数的解析式.

七、分段函数

1.对分段函数的理解

(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数，只是根据自变量的不同范围分成了几段而已.

(2)画分段函数图象时，应分别画出每一段函数的图象.

(3)研究分段函数时，先分段考虑，再整体把握，注意各段的自变量在区间端点处的取值情况.

2.分段函数的求值策略

(1)已知自变量的值求函数值的步骤：

①确定自变量属于哪一个区间；

②代入该区间所对应的解析式求值，直到求出值为止.当出现f(f(x。))的形式时，应从内到外依次

求值.

⑵已知函数值求对应的自变量的值：可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数

解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解.

26

5.3函数的单调性

一、函数的单调性

1.一般地，设函数y=f(x)的定义域为A,区间IGA.

(1)如果对于区间I内的任意两个值X,X2,当x《X2时,都有f(xj干(X2),那么称y=f(x)在区间I

上单调递增(如图1),I称为y=f(x)的增区间.

特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，称f(x)是增函数.

⑵如果对于区间I内的任意两个值x”xz，当xKxz时，都有f(xj干区那么称y=f(x)在区间I

上单调递减(如图2),I称为y=f(x)的减区间.

特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，称f(x)是减函数.

(3)如果函数y=f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么称函数y=f(x)在区间I上具有单调性.增

区间和减区间统称为单调区间.

2.易错

(1)某函数有两个或两个以上的单调递增(减)区间时，单调递增(减)区间之间用“，”或者“和”

连接，不用“U”“或”“且”连接.

(2)函数在区间端点处无意义时要写成开区间，有意义时开闭均可.

二、函数的最值

设y=f(x)的定义域为A.

如果存在x°GA,使得对于任意的xGA,都有f(x)Wf(x。),那么称f(x°)为y=f(x)的最大值,记为

y»ax=f(Xo)；

如果存在x0GA,使得对于任意的XGA,都有f(x)2f(x。)，那么称f(x。)为y=f(x)的最小值，记

y«in=f(Xo).

三、函数单调性的判断(证明)

1.判断函数单调性的方法

(1)图象法：根据函数图象的升降情况进行判断.

(2)直接法：运用已知结论，直接得到函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数的单调

性均可直接得出.

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(3)性质法：

①f(x),g(x)在公共区间上的单调性如下表:

y=f(x)y=g(x)y=f(x)+g(x)y=f(x)-g(x)

增增增

增减增

减减减

减增减

②复合函数单调性的判断依据：

由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合，得到函数y=f(g(x)),其单调性的判断方法如表所示:

U=g(X)y=f(u)y=f(g(x))

增增增

增减减

减增减

减减增

复合函数的单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单调性相同时单调递增，相异时单调

递减.注意函数的定义域.

2.利用定义证明函数单调性的步骤

(1)取值：设X”X2是所给区间内的任意两个值，且x《X2；

⑵作差、变形：计算f(x,)-f(x2),并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段，转化为易判断

正负的关系式；

⑶判断符号：确定f(xj-f(x”的符号；

(4)下结论：根据f(x)-f(xj的符号与增函数、减函数的定义确定单调性.

四、函数单调性的应用

1.利用函数的单调性求解最大(小)值

若函数f(数在区间［a,b］上单调递增(减),则函数f(数在x=a时取得最小(大)值f(a),在x=b

时取得最大(小)值f(b).

若函数f(x)有多个单调区间，则先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大(小)

值.

2.利用函数的单调性解不等式

利用函数的单调性解不等式主要依据函数单调性的定义，将符号“f”脱掉，列出关于未知量

的不等式(组)，然后求解，此时注意函数的定义域.

28

3.利用函数的单调性求参数的取值范围

⑴利用单调性的定义：在单调区间内任取X”X2,且x《X2,由f（xMf（X2性0（或f（xJ-f（X2）＞0）恒

成立求参数的取值范围.

⑵利用具体函数本身所具有的特征：如根据二次函数的图象的对称轴相对于所给单调区间的位置

建立关于参数的不等式（组），解不等式（组）求参数的取值范围.

4.注意：

①若某个函数在区间［a,b］上是单调的，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的.

②根据分段函数的单调性求参数的取值范围时，一般从两方面考虑：一方面，每个分段区间上的函

数具有相同的单调性，由此列出相关式子；另一方面，要考虑分界点处函数值之间的大小关系.若

是增函数，则分界点左侧值小于或等于右侧值；若是减函数，则分界点左侧值大于或等于右侧值，

由此列出另外的式子，从而解得参数的取值范围.

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五、含参数的二次函数在某闭区间上的最大(小)值

1.解决含参数的二次函数的最值问题，首先将二次函数化为y=a(x-h)?+k(a#O)的形式，再由a的

符号确定其图象的开口方向，根据对称轴方程x=h得出顶点的位置，再根据函数的定义域结合大致

图象确定最大(小)值.

2.含参数的二次函数的最值问题的类型

(1)区间固定，图象的对称轴变动，求最值；

(2)图象的对称轴固定，区间变动，求最值；

(3)最值固定，区间或图象的对称轴变动，求参数.

求解时通常都是根据区间和图象的对称轴的相对位置进行分类讨论.

5.4函数的奇偶性

一