1.2空间向量基本定理课件高二上学期数学人教A版选择性2

1.2空间向量基本定理安徽淮南第四中学2024.7教学目标：教学重点：教学难点：会用基底表示空间向量．1.理解空间向量基本定理及其意义并会简单应用；2.会用基底表示空间向量；3.会利用空间向量基本定理求解立体几何问题．会利用空间向量基本定理求解立体几何问题．情境导入

我们学过的平面向量基本定理，可以概括为给出一个二维的基底可以生成平面中所有的向量；推广到三维空间，仍然为给出一个三维的基底，可以生成空间中的所有向量.当基底确定后，空间向量基本定理中实数组（x，y，z）是否唯一？知识点一

空间向量基本定理如图，已知正方体ABCD

－A1B1C1D1的棱长为a，在AB，AD，AA1上分别取单位向量CDA1B1C1D1AB共面吗？不共面．可不可以用

表示向量

?若能，如何表示？1.定理三个不共面的向量

和任意一个空间向量存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得2.基底三个向量

不共面，那么

叫做空间的一个基底，

都叫做基向量

.①基底中不能有零向量；②空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示，不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同.知识点二空间向量的正交分解1.单位正交基底特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长

度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用

表示.2.正交分解把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量

进行正交分解.|i|＝|j|＝|k|＝1.且i·j＝j·k＝i·k＝0，这是其他一般基底所没有的．题型一空间向量基本定理的理解此方程组无解，能构成空间的一个基底（多选）已知A，B，C，D，E是空间中的五点，且任意三点均

不共线.若

与

均不能构成空间的一个基底，则下列结论中正确的有（

）A.不能构成空间的一个基底B.能构成空间的一个基底C.不能构成空间的一个基底D.能构成空间的一个基底很明显

A

，

B

，

C

，

D

，

E

共面.判断基底的基本思维要点（1）判断一组向量能否构成空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以构成一个基底；（2）判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.题型二利用基底表示空间向量ABCDEFG如图所示，取

BC

的中点

G

，连接

EG

，FG

，如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且ABCOMNPCDA1B1C1D1ABEF题型三空间向量基本定理的应用例3如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是矩形，M，N分别是PA，BC的中点，PD⊥平面ABCD，且PD＝AD(1)MN∥平面PCD；ABCDMNP又因为MN⊄平面PCD，DC，DP⊂平面PCD，DC∩DP＝D，所以MN∥平面PCD.(2)MC⊥DB.ABCDMNP证明平行、垂直问题的思路(1)利用向量共线的充要条件来证明直线平行，进一步证明线面平行．(2)将要证的线面垂直转化为线线垂直，再转化为两直线的方向向量的数量积为0.

ABCOFE如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且∠PAB＝∠PAD＝60°，点M是PC的中点,设(1)求证：ABCDMP(2)求BM的长．因为AB＝AD＝1，PA＝2，所以

因为AB⊥AD，∠PAB＝∠PAD＝60°，求空间距离(长度)问题的步骤(1)选取空间基向量，将待求线段对应的向量用基向量线性表示；(2)求该向量的模，利用空间向量的数量积运算求得线段的