1.2.1等差数列的概念及其通项公式（第1课时）课件高二下学期数学北师大版选择性

第一章数列2.1等差数列的概念及其通项公式第1课时等差数列的概念及其通项公式北师大版

数学

选择性必修第二册目录索引基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标课程标准1.通过生活中的实例,理解等差数列的概念.2.会推导等差数列的通项公式,能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题.3.掌握等差数列的判断与证明方法.基础落实·必备知识一遍过知识点1

等差数列的概念

保障了定义中差式的全覆盖

对于一个数列,如果从第2项起,每一项与它的前一项的

都是同一个常数,那么称这样的数列为等差数列,称这个常数为等差数列的

,通常用字母d表示.

差公差名师点睛等差数列概念的理解(1)定义中强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项.(2)每一项与它的前一项的差必须是同一个常数(因为同一个常数体现了等差数列的基本特征).(3)公差d是每一项(从第2项起)与它的前一项的差,不要把被减数与减数弄颠倒.(4)公差可以是正数、负数、零.(5)等差数列的增减性与公差d的关系:当d>0时,是递增数列;当d<0时,是递减数列;当d=0时,是常数列.(6)等差数列的定义式:an-an-1=d(n≥2).思考辨析若一个等差数列的公差d=0,则该数列具有什么特征?提示

该数列为常数列,每项都相同.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.(

)(2)数列3,2,1是等差数列.(

)(3)数列{an}的通项公式为

则{an}是等差数列.(

)(4)等差数列{an}的增减性是由公差d决定的.(

)×√×√2.(多选题)下列数列是等差数列的是(

)A.1,1,1,1,1

B.4,7,10,13,16ABC解析

由等差数列的定义得选项ABC是等差数列;选项D中,每一项与前一项的差不是同一个常数,故不是等差数列.知识点2

等差数列的通项公式若首项是a1,公差是d,则等差数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d.

当d≠0时,可以看成是an关于n的一次函数

名师点睛1.等差数列的通项公式是关于四个基本量a1,d,n和an的表达式,所以由首项a1和公差d可以求出数列中的任意一项.2.等差数列的通项公式可以推广为an=am+(n-m)d,由此可知,已知等差数列中的任意两项,就可以求出其他的任意一项.思考辨析已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列吗?提示

数列{an}一定是等差数列,其首项为p+q,公差为p.自主诊断1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)等差数列的通项公式为an=a1+nd(其中a1为数列的首项,公差为d).(

)(2)等差数列的通项公式中,an是关于项数n的一次函数.(

)(3)如果等差数列的通项公式为an=2n+1,那么该数列的公差为2.(

)××√2.[人教B版教材例题]已知等差数列10,7,4,…,(1)求这个数列的第10项;(2)-56是不是这个数列中的项?-40呢?如果是,求出是第几项;如果不是,说明理由.解

(1)记数列为{an},则由题意知a1=10,d=7-10=-3,因此数列的通项公式为an=10+(n-1)×(-3)=-3n+13.当n=10时,有a10=-3×10+13=-17,因此第10项为-17.(2)设-56是数列中的第n项,则-3n+13=-56,解得n=23,所以-56是数列的第23项.设-40是数列中的第n项,则-3n+13=-40,解得n=,由此可知-40不是数列中的项.重难探究·能力素养速提升探究点一等差数列的概念【例1】

(多选题)下列命题中正确的是(

)A.数列6,4,2,0是公差为2的等差数列B.数列a,a-1,a-2,a-3是公差为-1的等差数列C.数列{2n+1},n∈N+是等差数列D.数列{an}中,a1=a2=1,an=an-1+2(n≥3),则数列{an}是等差数列BC解析

A中,数列是公差为-2的等差数列;B中,a-1-a=a-2-(a-1)=a-3-(a-2)=-1,是公差为-1的等差数列;C中,an+1-an=2(n+1)+1-(2n+1)=2为常数,是等差数列;D中,a2-a1=0,an-an-1=2(n≥3),数列{an}不是等差数列.规律方法

判断一个数列是不是等差数列,就是判断从该数列的第2项起,每一项减去它的前一项的差是否为同一个常数.但当数列项数较多或是无穷数列时,逐一验证显然不行,这时可以验证an+1-an(n∈N+)是不是一个与n无关的常数.变式训练1若数列{an}的通项公式为an=2n+5(n∈N+),则对此数列描述正确的是(

)A.{an}是公差为2的等差数列B.{an}是公差为5的等差数列C.{an}是首项为5的等差数列D.{an}是公差为n的等差数列A解析

∵an+1-an=2(n+1)+5-(2n+5)=2,∴{an}是公差为2的等差数列.探究点二等差数列的通项公式角度1.求等差数列的通项公式【例2】

若数列{an}是等差数列,a15=8,a60=20,求an.分析先求出a1,d,再求an.角度2.利用通项公式判断项或求项【例3】

在等差数列{an}中,(1)若a5=15,a17=39,试判断91是否为此数列中的项;(2)若a2=11,a8=5,求a10.∴an=7+2(n-1)=2n+5.令2n+5=91,得n=43.∵43为正整数,∴91是此数列中的项.∴an=12+(n-1)×(-1)=13-n,∴a10=13-10=3.变式探究本例3(2)中,“求a10”改为“求an+2”.解

由(2)知an=13-n,∴an+2=13-(n+2)=11-n.规律方法

等差数列通项公式的求法与应用技巧1.等差数列的通项公式可由首项与公差确定,所以要求等差数列的通项公式,只需求出首项与公差.2.等差数列通项公式中的四个参数及其关系等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,n∈N+四个参数a1,d,n,an“知三求一”知a1,d,n,求an知a1,d,an,求n知a1,n,an,求d知d,n,an,求a13.通项公式可变形为an=dn+(a1-d),当d≠0时,可把an看作自变量为n的一次函数.变式训练2已知在等差数列{an}中,a5=-20,a20=-35,试求出该数列的通项公式.解

设{an}的通项公式是an=a1+(n-1)d(n∈N+),由已知得故数列{an}的通项公式为an=-16+(n-1)×(-1)=-15-n,n∈N+.变式训练3(1)求等差数列8,5,2,…的第20项;(2)判断-401是不是等差数列-5,-9,-13,…的项,如果是,是第几项?解

设已知的等差数列为{an}.由a1=8,a2=5,得公差d=a2-a1=5-8=-3,由n=20,得a20=8+(20-1)×(-3)=-49.解

设已知的等差数列为{an}.由a1=-5,公差d=-9-(-5)=-4,得这个数列的通项公式为an=-5+(n-1)×(-4)=-4n-1.由题意,令-401=-4n-1,解得n=100,即-401是这个数列的第100项.探究点三等差数列的判断与证明【例4】

判断下列数列是否为等差数列.(1)在数列{an}中,an=3n+2;(2)在数列{an}中,an=n2+n.分析根据等差数列的定义,判断an+1-an是否为常数.解

(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(n∈N+),故该数列为等差数列.(2)an+1-an=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,故该数列不是等差数列.(1)求证:数列{bn}是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式.规律方法

判断等差数列方法(1)定义法:an+1-an=d(n∈N+)或an-an-1=d(n≥2,且n∈N+)⇔数列{an}是等差数列.(2)通项公式法:数列{an}的通项公式an=pn+q(p,q为常数)⇔数列{an}为等差数列.注意:①通项公式法不能作为证明方法.②若an+1-an为常数,则该常数为等差数列{an}的公差.本节要点归纳1.知识清单:(1)等差数列的定义.(2)等差数列的通项公式.(3)等差数列的判断与证明.2.方法归纳:等价转化.3.常见误区:忽略n的取值范围.学以致用·随堂检测促达标1234567891011121314151617A级必备知识基础练18191.[探究点一](多选题)下列数列中,是等差数列的有(

)A.4,5,6,7,8,…B.3,0,-3,0,-6,…C.0,0,0,0,…ACD解析

选项A是以4为首项,以1为公差的等差数列;选项B后一项减前一项的差不是同一个常数,所以不是等差数列;选项C是常数列,所以是等差数列;选项D是以

为首项,以

为公差的等差数列.123456789101112131415161718192.[探究点二(角度2)]已知等差数列{an}的通项公式an=3-2n(n∈N+),则它的公差d为(

)A.2 B.3 C.-2 D.-3C解析

由等差数列的定义,得d=a2-a1=-1-1=-2.123456789101112131415161718193.[探究点一]已知在各项均不为零的等差数列{an}中,满足a1+a3=,则a2等于(

)A.0 B.1 C.2 D.4C解析

∵数列{an}为等差数列,∴a2-a1=a3-a2,∴a1+a3=2a2,∴2a2=,解得a2=2(a2=0舍去).123456789101112131415161718194.[探究点三](多选题)已知下列数列的通项公式,其中是等差数列的是(

)A.an=1-3n B.an=2n-3C.an=2n

D.an=3ABD解析

当n≥2时,对于A,an-an-1=1-3n-[1-3(n-1)]=-3,是等差数列;对于B,an-an-1=2n-3-[2(n-1)-3]=2,是等差数列;对于C,an-an-1=2n-2n-1=2n-1,不是常数,不是等差数列;对于D,an-an-1=3-3=0,是等差数列.12345678910111213141516171819

3123456789101112131415161718196.[探究点二(角度1)]已知{an}为等差数列,若a2=2a3+1,a4=2a3+7,则a3=

.

-4解析

设等差数列{an}的公差为d,由题意a1+d=2(a1+2d)+1,a1+3d=2(a1+2d)+7,解得a1=-10,d=3,所以a3=a1+2d=-10+6=-4.123456789101112131415161718197.[探究点二]在等差数列{an}中,a1+a5=8,a4=7.(1)求数列的第10项;(2)问112是数列{an}的第几项?(3)在80到110之间有多少项?12345678910111213141516171819解

设数列{an}的公差为d,(1)a10=a1+9d=-2+27=25.(2)an=-2+(n-1)×3=3n-5,由112=3n-5,解得n=39,所以112是数列{an}的第39项.所以n的取值为29,30,…,38,共10项.123456789101112131415161718198.[探究点三]已知数列{an}中,a3=9,a5=5,且满足an+2-2an+1+an=0(n∈N+),试判断数列{an}是否为等差数列?若是,求数列{an}的首项和公差;若不是,请说明理由.解

因为an+2-2an+1+an=0,所以an+2-an+1=an+1-an(n∈N+),说明这个数列从第2项起,后一项减前一项所得的差始终相等,所以数列{an}是等差数列.由a3=9,a5=5,可知a4=7,所以d=-2,所以a1=13.123456789101112131415161718B级关键能力提升练9.在等差数列{an}中,若a2+a3+a4=6,a6=4,则公差d=(

)D解析

等差数列{an}中,∵a2+a3+a4=6,a6=4,∴3a1+6d=6,a1+5d=4,解得d=,故选D.1912345678910111213141516171810.在等差数列{an}中,a2=6,a5=15,若bn=a2n,则b15等于(

)A.30 B.45 C.90 D.186C1912345678910111213141516171811.在等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则2a9-a10的值为(

)A.24 B.22 C.20 D.-8A解析

设公差为d,∵a1+3a8+a15=120,∴a1+3(a1+7d)+a1+14d=120,∴5a8=120.∴a8=24.∴2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a1+7d=a8=24.191234567891011121314151617181912.将1到2021这2021个数中,能被3除余1,且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{an},则a10等于(

)A.190 B.211

C.232

D.253A解析

由题意可得an能被3除余1,且被7除余1,则an-1是21的倍数,即an-1=21(n-1),即an=21n-20,∴a10=21×10-20=190.12345678910111213141516171813.(多选题)已知等差数列{an}的首项为-,若{an}从第6项起出现正数,则公差d的值可能为(

)AC1912345678910111213141516171814.(多选题)在等差数列{an}中每相邻两项之间都插入k(k∈N+)个数,使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{bn}.若b9是数列{an}的项,则k的值可能为(

)A.1 B.3 C.5 D.7ABD解析

由题意得a1=b1,a2=bk+2,a3=b2k+3,a4=b3k+4,…,∴在等差数列{an}中的项在新的等差数列{bn}中间隔排列,且下标是以1为首项,k+1为公差的等差数列,则an=b1+(n-1)(k+1),∵b9是数列{an}的项,令1+(n-1)(k+1)=9,当n=2时,k=7,当n=3时,k=