3.2.2函数的基本性质单调性与最大（小）值课件高一上学期数学人教A版

3.2函数的基本性质

——单调性

(最大值/最小值)观察:

函数f(x)＝-x2+1,定义域I=R对任意的x∈R,都有f(x)≤1;且存在

x0＝0∈R时,使得f(0)＝1.则称1是函数f(x)＝-x2+1的最大值.

一般地,设函数y＝f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意x∈I,都有f(x)≤M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)＝M.那么,称M是函数y＝f(x)的最大值(简写成f(x)max).函数最大值概念观察:

函数f(x)=(x-1)2-2,定义域I＝[-1,3].对任意x∈[-1,3],都有f(x)≥-2;且存在x0＝1∈[-1,3],使得f(1)＝-2.则称-2

是函数f(x)＝(x-1)2-2的最小值.函数最小值概念

一般地,设函数y＝f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意x∈I,都有f(x)≥M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)＝M.那么,称M是函数y=f(x)的最小值(简写成f(x)min).函数最大(小)值概念

例4“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂,如果烟花距地面的高度h(m)与时间t(s)之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少?(精确到1m)知识应用

解:作出函数h(t)=-9t2+14.7t+18的图象.如图,显然函数图象的顶点就是烟花上升的最高点,顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻t,纵坐标就是这时距地面的高度h.由二次函数的知识,对于函数

h(t)=-4.9t2+14.7t+18(0≤t≤3.93),

于是,烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻这时距地面的高度约为29m.练习2设f(x)是定义在区间[-6,11]上的函数.如果f(x)在区间[-6,-2]上递减,在区间[-2,11]上递增,画出f(x)的一个大致的图象,从图象上可以发现

f(-2)是函数f(x)的一个________.函数最值与单调性的关系函数图象最低点的纵坐标即为函数的最小值.

闭区间上单调的函数必然有最大值和最小值:(1)若函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,则函数f(x)的最大值为_____,最小值为_____;(2)若函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,则函数f(x)的最大值为_____,最小值为_____.函数最值与单调性的关系变式练习:已知函数y＝x2+2x-3,且x∈[-4,4),求函数的最值.例1已知函数y＝x2+2x-3,且x∈[-4,-2],求函数的最值.

注意:

求二次函数的最值一般要借助于函数的图象即数形结合,一定要先确定函数的定义域.例题选讲例1求函数f(x)=x2-2ax+3在[-2,2]上的最小值.

能力提升例2已知函数f(x)=x2-2x-3,若x∈[t,t+2]时,求函数f(x)的最大值.1.最值的概念;课堂小结2.应用图象和单调性求最值的一般步骤.20xy-11问题1：已知函数y=x2+2x-3,且x,

求函数的最值．

f(x)在区间[0，2]上

单调递增。解：因为由图易知:对称轴

x0=-1[0，2]答：函数的最小值为-3，最大值为5所以：ymin=f(0)=-3

ymax=f(2)=5[-3，-2][0，2]例3：二次函数在闭区间上的最值例三：二次函数在闭区间上的最值-20-1-3xy解：因为由图易知:对称轴

x0=-1[-3，-2]

f(x)在区间[-3，-2]上

单调递减答：函数的最小值为-3，最大值为0.所以：ymin=f(-2)=-3ymax=f(-3)=0[-2，2]问题2：已知函数y=x2+2x-3,且x,

求函数的最值．[-3，-2]例三：二次函数在闭区间上的最值

解：因为由图易知：对称轴

x0=-1[-2，2]又因为：f(-2)=-3,f(2)=5答：函数的最小值为-4，最大值为5

所以ymin=f(-1)=-4;所以：ymax=f(2)=5.问题3:已知函数y=x2

+2x-3,且x,

求函数的最值.[-2，2]总结：要求最值，就要考察函数在区间上是否具有单调性，对于二次函数就要考察函数图象的对称轴与区间的位置关系。问题1问题2问题3抽象函数的单调性及最值

又∵x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0，即f(x1)<f(x2)．因此f(x)在R上是减函数．方法二

对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义