专题04计数原理（考点串讲）高二数学下学期期末考点大串讲（2020选修）

高二沪教版数学下册期末考点大串讲串讲04计数原理01020403目

录易错易混题型剖析考点透视押题预测九大易错易混经典例题4道期末真题对应考点练三大重难点题型典例剖析+技巧总结四大常考点：知识梳理考点透视1．两个计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理是排列组合中解决问题的重要手段，也是基础方法，尤其是分类加法计数原理，与分类讨论有很多相通之处，当遇到比较复杂的问题时，用分类的方法可以有效地将之分解，达到求解的目的．正确地分类与分步是用好两个原理的关键，即完成一件事到底是“分步”进行还是“分类”进行，这是选用计数原理的关键．知识梳理2．排列与组合排列数与组合数计算公式主要应用于求值和证明恒等式，其中求值问题应用连乘的形式，证明恒等式应用阶乘的形式．在证明恒等式时，要注意观察恒等式左右两边的形式，基本遵循由繁到简的原则，有时也会从两边向中间靠拢．对于应用题，则首先要分清是否有序，即是排列问题还是组合问题．3．排列数与组合数公式及性质【例1】某外语组有9人,每人至少会英语和日语中的一门,其中7人会英语,3人会日语,从中选出会英语和日语的各一人,有

种不同的选法.(

)

A.10 B.20 C.21 D.40答案

B解析

由题可知,既会英语又会日语的有7+3-9=1(人),仅会英语的有6人,仅会日语的有2人.从仅会英、日语的人中各选1人有6×2种选法;从仅会英语与英、日语都会的人中各选1人有6×1种选法;仅会日语与英、日语都会的人中各选1人有2×1种选法.根据分类加法计数原理,共有6×2+6×1+2×1=

20(种)不同选法.题型一：两个计数原理题型剖析方法技巧使用两个原理解决问题时应注意的问题对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题,我们可以恰当地画出示意图或列出表格,使问题更加直观、清晰.【例2】在高三(1)班元旦晚会上,有6个演唱节目,4个舞蹈节目.(1)当4个舞蹈节目要排在一起时,有多少种不同的节目安排顺序?(2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时,有多少种不同的节目安排顺序?(3)若已定好节目单,后来情况有变,需加上诗朗诵和快板2个节目,但不能改变原来节目的相对顺序,有多少种不同的节目演出顺序?题型二：排列、组合的应用解

(1)第1步,先将4个舞蹈节目捆绑起来,看成1个节目,与6个演唱节目一起排,有

=5

040(种)方法;第2步,再松绑,给4个节目排序,有

=24(种)方法.根据分步乘法计数原理,一共有5

040×24=120

960(种).(2)第1步,将6个演唱节目排成一列(如下图中的“□”),一共有

=720(种)方法.×□×□×□×□×□×□×第2步,再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间(即图中“×”的位置),这样相当于7个“×”选4个来排,一共有

=7×6×5×4=840(种).根据分步乘法计数原理,一共有720×840=604

800(种).方法技巧1.解决排列组合应用题的一般步骤(1)认真审题,弄清楚是排列(有序)还是组合(无序),还是排列与组合混合问题.(2)抓住问题的本质特征,准确合理地利用两个基本原理进行“分类与分步”.2.处理排列组合应用题的规律(1)两种思路:直接法,间接法.(2)两种途径:元素分析法,位置分析法.3.排列组合应用题的常见类型及解法(1)特殊元素、特殊位置优先安排的策略.(2)合理分类与准确分步的策略.(3)正难则反,等价转化的策略.(4)相邻问题捆绑法,不相邻问题插空法的策略.(5)元素定序,先排后除的策略.(6)排列、组合混合题先选后排策略.(7)复杂问题构造模型策略.【例3】将5个不同的球放入4个不同的盒子中,每个盒子中至少有1个球,若甲球必须放入第1个盒子中,则不同的放法种数是(

)A.120 B.72C.60 D.36答案

C【例4】(1)已知(1+ax2)6(a是正整数)的展开式中x8的系数小于120,则a=

.

(2)已知(5x-)n的展开式中各项系数之和是各二项式系数之和的16倍.①求n;②求展开式中二项式系数最大的项;③求展开式中所有的有理项.题型三：二项式定理的应用(1)答案

1方法技巧应用二项式定理解题要注意的问题(1)通项表示的是第“k+1”项,而不是第“k”项.(2)展开式中第k+1项的二项式系数

与第k+1项的系数,在一般情况下是不相同的,在具体求各项的系数时,一般先处理符号,对根式和指数的运算要细心,以防出差错.(3)通项表示二项展开式中的任意项,只要n与k确定,该项也随之确定.对于一个具体的二项式,它的展开式中的项Tk+1依赖于k.【例5】设(2-x)100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100,求下列各式的值.(1)a0;(2)a1+a2+a3+a4+…+a100;(3)a1+a3+a5+…+a99;(4)(a0+a2+…+a100)2-(a1+a3+…+a99)2;(5)|a0|+|a1|+…+|a100|.方法技巧赋值法的应用与二项式系数有关的问题,包括求二项展开式中二项式系数最大的项、各二项式系数或各项的系数的和、奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和,主要解决方法是赋值法,通过观察二项展开式右边的结构特点和所求式子的关系,确定给字母所赋的值,有时赋值后得到的式子比所求式子多一项或少一项,此时要专门求出这一项,而在求奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和时,往往要两次赋值,再由方程组求出结果.解析B易错点01不能正确理解题意致误易错易混解易错点02忽视排列数公式的隐含条件致误解析易错点03未关注组合数中字母的取值范围致误D解析56易错点04不能正确判断是排列还是组合致误解析120解析60易错点05重复、遗漏计算出错解解析C易错点06未能正确理解二项展开式中的项与项数致误解易错点07未能正确转化三项式问题而致误解析225易错点08混淆展开式中的奇偶次项与奇偶数项致误易错点09混淆二项式系数与展开式系数致误1.（2023春•长宁区校级期末）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为

．

押题预测2.（2023春•青浦区期末）某校开展“全员导师制”．有2名导师可供5位学生选择，若每位学生必须也只能选取一名导师且每位导师最多只能被3位学生选择，则不同的选择方案共有____种(用数字作答)．

20

2104.（2023春•浦东新区校级期末）某人有4种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多)，要在如图所示的6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有_____种(用数字作答)．【解析】解：每种颜色的灯泡都至少用一个，即用了四种颜色的灯进行安装，分3步进行，第一步，A、B、C三点选三种颜色灯泡共有A43种选法；第二步，在A1、B1、C