抽象函数的单调性奇偶性周期性课件高一上学期数学人教A版

抽象函数的单调性、奇偶性、周期性第三章

函数2024/9/23抽象函数抽象函数主要研究赋值求值、证明函数的性质、解不等式等，一般（1)通过代入特殊值(赋值法）求值、

（2）通过f(x1)－f(x2)的变换判定单调性、

（3）出现f(x)及f(－x)判定抽象函数的奇偶性，

（4）换x为x＋T确定周期性.探究新知例1：

题型一抽象函数的单调性例题讲解1、取值：在指定的区间上任意取两个数x1，x2，不妨设x1<x2

；2、作差：

f(x1)－f(x2)[或f(x2)－f(x1)]；4、定号：确定f(x1)－f(x2)[或f(x2)－f(x1)]的符号；5、下结论。3、变形：通过因式分解，配方有理化等，转化为易判断正负的式子复习回顾

判断函数单调性的方法3.图像法（直观观察）1.定义法（定量刻画）2.导数法4.利用函数的运算性质判定

例1：

解：

题型一抽象函数的单调性例题讲解抽象函数(1)判断抽象函数单调性的方法①若给出的是“和型”抽象函数f(x＋y)＝…，判断符号时要变形为f(x2)－f(x1)＝f((x2－x1)＋x1)－f(x1)或f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f((x1－x2)＋x2)；

题型一抽象函数的单调性归纳总结例2：

解：

题型一抽象函数的单调性例题讲解例2：

题型一抽象函数的单调性例题讲解

解：

题型一抽象函数的单调性跟踪训练例3.f(x)的定义域为(0,+∞),且对任意都有f(xy)=f(x)＋f(y),又当x>1时,f(x)>0且f(3)＝1.（1）求f(1)的值。（2）判断f(x)的单调性（3）若f(x+8)-f(x)≤2求x的取值范围。例题讲解

题型一抽象函数的单调性例3.f(x)的定义域为(0,+∞),且对任意都有f(xy)=f(x)＋f(y),又当x>1时,f(x)>0且f(3)＝1.（1）求f(1)的值。（2）判断f(x)的单调性（3）若f(x+8)-f(x)≤2求x的取值范围。例题讲解

题型一抽象函数的单调性

题型一抽象函数的单调性归纳总结抽象函数(1)判断抽象函数单调性的方法①若给出的是“和型”抽象函数f(x＋y)＝…，判断符号时要变形为f(x2)－f(x1)＝f((x2－x1)＋x1)－f(x1)或f(x2)－f(x1)＝f(x2)－f((x1－x2)＋x2)；

题型二抽象函数的奇偶性例题讲解复习回顾

判断函数奇偶性的方法2.图像法1.定义法3.利用函数奇偶性的运算判定

（1）先求定义域，看是否关于原点对称；（2）再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立；（3）根据定义下结论．

题型二抽象函数的奇偶性例题讲解

题型二抽象函数的奇偶性例题讲解

题型二抽象函数的奇偶性跟踪训练

题型二抽象函数的奇偶性跟踪训练

题型二抽象函数的奇偶性跟踪训练

题型三抽象函数的周期例题讲解周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且

，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.f(x＋T)＝f(x)复习回顾

题型三抽象函数的周期例题讲解

题型三抽象函数的周期例题讲解

例题讲解①正比例函数f(x)＝kx(k≠0)，对应f(x±y)＝f(x)±f(y)；归纳总结常见的抽象函数模型⑤正弦函数f(x)＝sinx，对应f(x＋y)f(x－y)＝f2(x)－f2(y)，来源于sin2α－sin2β＝sin(α＋β)sin(α－β)；归纳总结常见的抽象函数模型典例

(1)(多选)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x>0时，f(x)>0，且满足f(2)＝1，则下列说法正确的是A.f(x)为奇函数B.f(－2)＝－1C.不等式f(2x)－f(x－3)>－2的解集为(－5，＋∞)D.f(－2024)＋f(－2023)＋…＋f(0)＋…＋f(2023)＋f(2024)＝2023√√例题讲解

题型四抽象函数的综合应用对于A，令x＝y＝0，可得f(0)＝f(0)＋f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0，令y＝－x，得到f(－x)＋f(x)＝f(0)＝0，即f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，故A正确；对于B，因为f(x)为奇函数，所以f(－2)＝－f(2)＝－1，故B正确；对于C，设x1>x2，x＝x1，y＝－x2，可得f(x1－x2)＝f(x1)＋f(－x2)，例题讲解

题型四抽象函数的综合应用所以f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)，又因为x1>x2，所以x1－x2>0，所以f(x1－x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在R上单调递增，因为f(－2)＝－1，所以f(－4)＝f(－2－2)＝2f(－2)＝－2，由f(2x)－f(x－3)>－2，可得f(2x)>f(x－3)＋f(－4)，例题讲解

题型四抽象函数的综合应用所以f(2x)>f(x－3－4)＝f(x－7)，所以2x>x－7，得到x>－7，所以f(2x)－f(x－3)>－2的解集为(－7，＋∞)，故C错误；对于D，因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0，所以f(－2024)＋f(2024)＝f(－2023)＋f(2023)＝…＝f(－1)＋f(1)＝0，又f(0)＝0，故f(－2024)＋f(－2023)＋…＋f(0)＋…＋f(2023)＋f(2024)＝0，故D错误.例题讲解

题型四抽象函数的综合应用(2)已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，对任意x，y满足f(x－y)＝f(x)g(y)－g(x)f(y)，且f(－2)＝f(1)≠0，则下列说法正确的是A.f(0)＝1B.函数g(2x＋1)的图象关于点(1,0)对称C.g(1)＋g(－1)＝0D.若f(1)＝1，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2023)＝1√例题讲解

题型四抽象函数的综合应用对于A，令x＝y＝0，代入已知等式得f(0)＝f(0)g(0)－g(0)f(0)＝0，得f(0)＝0，故A错误；因为g(3)＝cos2π＝1≠0，所以g(x)的图象不关于点(3,0)对称，所以函数g(2x＋1)的图象不关于点(1,0)对称，故B错误；例题讲解

题型四抽象函数的综合应用对于C，令y＝0，x＝1，代入已知等式得f(1)＝f(1)g(0)－g(1)f(0)，可得f(1)[1－g(0)]＝－g(1)f(0)＝0，结合f(1)≠0得1－g(0)＝0，g(0)＝1，再令x＝0，代入已知等式得f(－y)＝f(0)g(y)－g(0)f(y)，将f(0)＝0，g(0)＝1代入上式，得f(－y)＝－f(y)，所以函数f(x)为奇函数.例题讲解

题型四抽象函数的综合应用令x＝1，y＝－1，代入已知等式，得f(2)＝f(1)g(－1)－g(1)f(－1)，因为f(－1)＝－f(1)，所以f(2)＝f(1)[g(－1)＋g(1)]，又因为f(2)＝－f(－2)＝－f(1)，所以－f(1)＝f(1)[g(－1)＋g(1)]，因为f(1)≠0，所以g(1)＋g(－1)＝－1，故C错误；对于D，分别令y＝－1和y＝1，代入已知等式，得以下两个等式：f(x＋1)＝f(x)g(－1)－g(x)f(－1)，f(x－1)＝f(x)g(1)－g(x)f(1)，例题讲解

题型四抽象函数的综合应用两式相加易得f(x＋1)＋f(x－1)＝－f(x)，所以f(x＋2)＋f(x)＝－f(x＋1)，即f(x)＝－f(x＋1)－f(x＋2)，有－f(x)＋f(x)＝f(