高中数学试题：不等式

不等式

一、选择题

1.（2013・安徽高考）已知一元二次不等式段）<0的解集为{很<—1或x>

|），则人10*）>0的解集为（）

A.{x|x<—1或%>—lg2}

B.{x|—l<x<—1g2}

C.{x|x>-lg2}

D.{x|x<—1g2}

【解析】由题意知，一元二次不等式八工）>0的解集为:x|—

而火明>0,.---1<10¥<|,解得xVIg3,

即x<-lg2.

【答案】D

2.（2013・武汉模拟）设a,b为实数,则是的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【解析】若0<a"<l,则当a<0时，0>Z?>p此时》<：不成立；

若贝U当a<0时，ab>l,

此时Q<ab<l不成立，

是的既不充分也不必栗条件.

【答案】D

—x+1?（x〈0）,

3.函数段）=<.、小则不等式％+a+i）火光+i）wi的解集是

x~11,（%30）,

B.{小Wl}

C.{x|x<V2-l}

D.{x|—y[2—IWXW也一1}

x+1三0,

【解析】不等式转化为《

、x+(x+l)xWl,

fx+l<0,

或〈

[x+(x+l)(—x)Wl,

解得一lWxW表一1或xV—1.

综上知xW/一1,故选C.

【答案】C

4.（2013-山东高考）在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组

2x—y—2三0,

x+2y—120,所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（）

.3x+y—8W0,

11

C.一D.—2

（2x-y一220,

【解析】如图所示，＜x+2y—1N0,所表示的平面区域为图中的阴影

[3x+y-8W0

部分.

x+2y—1=0,

由《得A(3,-1).

、3x+y-8=0,

当M点与A重合时，0M的斜率最小，koM=—1.

【答案】C

5.在一次为期15天的大型运动会期间，主办方每天都要安排专用大巴接送

运动员到各比赛场馆参赛，每辆大巴可乘坐40人，已知第t日参加比赛的运动

[30r+60,1WW6,

员人数M与f的关系是x”为了保证赛会期间

、3t十61/十88,

运动员都能按时参赛，主办方应至少准备大巴的数量是()

A.10辆B.11辆

C.12辆D.13辆

【解析】①当1WW6时，般⑺=30/+60是增函数，

⑺的最大值为M(6)=240.

②当7WW15时，M(?)=-3(Z-y)2+88+3X(y)2,

当1=10时,M⑺有最大值M(10)=398.

由①②知，M⑺的最大值为398,

.,.至少准备大巴车10辆.

【答案】A

二、填空题

尤+yW3,

6.(2013.开封模拟)设x,y满足约束条件〈、八则z=x—2y的取

X-09

值范围为

【解析】作出不等式组的可行域，如图阴影部分所示,

作直线X—2y=0,并向左上，右下平移，当直线过点A时，Z=x—2y取最

大值；当直线过点3时，z=x—2》取最小值.

%—v+l=0,y=o,

由,[x+厂3=。，得“2),叫,得A(3,0).

lx+y-3=0,

，Zmax=3-2X0=3,Zmin=1—2X2=-3,

...z£[—3,3]•

【答案】[-3,3]

7.(2013・四川高考)已知函数五X)=4X+E(X>°，。>0)在尤=3时取得最小值，

贝!Ja—.

【解析】fix)=4x+-^2A/4x--=4-y[a(x>0,tz>0),当且仅当4x=~,即%

时等号成立,此时取得最小值.又由已知X=3时，/(X)min=4，^,

=3,即a=36.

【答案】36

8.(2013•天津高考)设。+。=2,b>0,则当。=时，册+,取得最

小值.

【解析】由于a+22,所以册+船喏+船俞+嘉+2由于。>。，

⑷>。,所以篇+*2退聘=1,因此当«>0时，册+f的最小值是打1

=|；当a<Q时，]a十号的最小值是一(+1=*故]1+,的最小值为点此时

b\a\

<4|。厂"即a=—2.

、Q<0,

【答案】-2

三、解答题

9.设集合A为函数y=ln(—x2—2%+8)的定义域，集合3为函数丁=%+^^

JiIL

的值域，集合C为不等式[x—1)(x+4)W0的解集.

(1)求AA&

(2)若CJ[RA,求a的取值范围.

【解】⑴由一f—2x+8>0得一4VxV2,

即A=(-4,2).

y=x+^7=(x+D+747—1，当x+l>0，即x>—1时yN2—1=1,此

JiILA-I1

时x=0,符合题意；当％+lVO,即xV—1时，yW—2—1=—3,此时x=12,

符合要求.所以5=(—8,-3]U[1,+8),所以AnB=(—4,-3]U[1,2).

(2)(ax—1)(x+4)=0有两根x=—4或x=*.

当。＞0时，C={x|—4W尤W、},不可能C三[RA；

当aVO时,C={4xW—4或无》3},

若CJ[RA,则，N2,.♦./wT，，-乎WaVO.

故a的范围为一乎，o).

10.某公司计划2013年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广

告，广告总费用不超过9万元.甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分

钟和200元/分钟.假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司

带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.问该公司如何分配在甲、乙两个电视台

的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？

[解】设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，

总收益为z元.

[x+yW300,

由题意，得《500x+200yW90000,

Lx》O,yNO.

目标函数为z=3000x+2OOOy.

(x+yW300,

二元一次不等式组等价于15x+2yW900,

【九20,y20.

作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域

如图所示.

5x+2y-900=0

作直线/:3000x+2OOOj=0,即3x+2y=0.

平移直线/,从图中可知当直线I过M点时，目标函数取得最大值.联立

x+y=300,|x=100,

；解得

[5x+2y=900,ly=200.

.•.点M的坐标为(100,200).zmax=3000x+2000y=700000(元).

故该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的

收益最大，最大收益是70万元.

11.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建

造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成

本为6万元，该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度式单位:

cm)满足关系：C(X)=T£(0WXW10),若不建隔热层，每年能源消耗费用为8

万元.设五x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.

(1)求k的值及火工)的表达式；

(2)隔热层修建多厚时，总