2022-2023学年人教A版高二数学上学期同步讲义拓展二：空间向量基底法在立体几何问题中的应用(详解版)

拓展二：空间向量基底法在立体几何问题中的应用

三目标导航

空间向量在解决立体几何有关位置关系及其延伸出来的相关问题中有着比较广泛的应用.在解题过程中，学

生通常较偏爱于用坐标法来解决问题，实际上，利用向量基底法求解不仅过程简洁，而且在许多问题中其

往往更具有优越性.通过向量基底法在上述平行垂直证明、角度问题、距离问题和位置关系判断等问题中的

应用，我们发现合适基底的选择是十分重要的.在计算问题中，应该尽量选择模己知的向量，且三个向量间

的夹角也易求，而在证明问题中，这些条件可以适当放宽.

纵观近些年的高考试卷，立体几何解答题往往会在已知中给出两两垂直且交于一点的三条线段，这种

方便建系的考查方式让同学们习惯了空间直角坐标系下的机械运算，空间想象能力和逻辑推理能力大幅度

降低.不仅如此，有时考题甚至找不到这样的三条线段，以致于许多同学因为无法合理建系导致解题失败.

因此，也建议教师在教学中可以适当补充一些向量基底法的知识，以便让同学们充分体会到基底法使用的

广泛性和灵活性，领略到立体几何学习的乐趣.

善高频考点

/0_______________________

'工知识梳理

知识点1“三个”定理

共线向量定理共面向量定理空间向量基本定理

对于空间任意两个向若两个向量a,5不共线，则向量p与向如果三个向量a,b,c不共面,

量a,。(际0),a〃。的充要量a"共面的充要条件是存在唯一的有序实那么对任意一个空间向量P,存在唯一

条件是存在实数为使a=数对(x,y),使p=xa+y"的有序实数组(x,j,z),使得

功.p=xa+yV+zc.其中｛a,b,c｝叫做空间的

一个基底,a,b,c都叫做基向量.如

p=xa+yb+zc,贝！］称xa+y5+zc为〃在

基底｛a,b,c｝下的分解式.

知识点2空间平行、垂直关系的向量表示

设III,U2分别是直线，2的方向向量，ni,112分别是平面a,夕的法向量.

(1)线线平行：/l〃，2dl〃U2UB2eR，使得U1=XU2.

(2)线面平行：1i〃QUuiJLniUUi・ni=0.

(3)面面平行：a///uni〃ii2W使得ni=2n2.

(4)线线垂直:/1±/2<=^U|-LU2<={UI,U2=O.

(5)线面垂直：JiJ_〃uui〃niuai£R,使得ui=2ni.

(6)面面垂直:aJ_"un1_L112田IF2=0・

知识点3空间距离及向量求法

设已知平面a的法向量为n,AGa,Pga,向

设u为直线/的单位方向向量，Aei,p^l,AP=

文字量也是向量方在平面上的投影向量,

a,向量弁在直线/上的投影向量为恁，则

语言

PQ=yj\AP)12—|A0|2=-\la2—a-u_\AP-n\

一1«1

知识点4空间角及向量求法

角的分类向量求法范围

设两异面直线所成的角为仇两直线的方向向量分别为U,V,则

异面直线(It

所成的角

cos6»-|cos<u,v)|—|H||v|

直线与平

设直线/与平面a所成的角为〃，/的方向向量为u,平面a的法向量为n,则

si.=|cos<u,n)I'M!

面所成的n

角

平面a与平面。相交，形成四个二面角，把不大于?的二面角称为这两个平面的夹角.设

两平面的

［仇3

平面a与平面”的夹角为〃，两平面a,/?的法向量分别为由，n2,则

夹角

coslcos(m,n2)1-^nJ

P考点精析

考点一平行垂直问题

解题方略:

对于平行垂直关系的证明，一般是结合相关空间定理和性质，借助直观的空间观察和想象.当直观想象

难以为继，却又不想利用坐标化以致有杀鸡用牛刀之嫌的情况下，采用向量基底法不失为一个好的选择.

【例J1-1】如图，AEJ-平面/WCD,CF//AE,AD//BC,ADA.AB,AB=AD=\,

AE=BC=2.

求证：3尸//平面AZ）E；

【例1-2】如图，在直三棱柱中，D,E分别为BC,AC的中点,

AB=BC.求证：

BE±C,£.

考点二角度问题解题方略:

通过建立直角坐标系，利用坐标化进行代数运算是解决立体几何中角度问题的“惯例”，这也是对考生数

学运算和数据处理等核心素养的考验.但往往建系不方便或者运算量偏大时，向量基底法的适时引入往往能

够起到柳暗花明的效果.

【例2-1】在长方体A3CD-A耳GR中，AB=BC=\,A4,=6，则异面直线AR与。耳所成角的余弦值

为（）

【例2-2】如图，长方体ABC。-A4GA的底面A5CQ是正方形，点E在棱A4,上，8E_LEg.若AE=,

求二面角B-EC-C,的正弦值.

考点三距离问题

解题方略:

距离问题常以给出角度求距离的方式变相考查角度问题，另外在角度问题中涉及到的向量求模问题也

是对距离问题的一种隐性考查.

【例3-1】如图，49//BC且4)=2BC,ADYCD,EG//4)且EG=4),CD"FG?LCD=2FG,DG1.

平面ABCD,DA=DC=DG=2.若点P在线段£>G上，且直线3P与平面ADGE所成的角为60°,求

线段£>P的长.

【例3-2】如图，直四棱柱A8C£>—AgCQ的底面是菱形，AA,=4,AB=2,NB4T>=60。，E是3c的

中点.则点C到平面GOE的距离为

考点四位置关系问题

解题方略:

空间中点线面的位置关系的判断或证明实际是许多同学比较畏惧的一个知识点，因为其往往是相对抽

象的空间公理的直接应用.对于多点共面、多线共面和线面关系等问题的解决，向量基底法往往显得更为形

象和具体.

【例4-1】如图，在四棱锥P—A88中，R4_L平面A88,AD±CD,AD//BC,PA=AD^CD=2,

PF1

BC=3.E为PZ)的中点，点尸在PC上，且——=-.

PC3

(I)求证：CO_L平面RV)；

(II)求二面角尸一隹-P的余弦值：

(III)设点G在P8上，且生=2.判断直线AG是否在平面心内，说明理

PB3

【例4-2】图1是由矩形AOEB、RtAABC和菱形3FGC组成的一个平面图形，其中4?=1,BE=BF=2,

ZFBC=60o.将其沿/记，BC1折起使得BE与即重合，连结£)G,如图2.

图2证明：图2中的A,C,G,。四点

◎分层提分

题组A基础过关练

1、【多选】如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A/8/。。/,其中，以顶点A为端点的三条楼长均

为6,且它们彼此的夹角都是60。，下列说法中正确的是（）

/1B

A.ACi=6yf6

B.ACiLDB

C.向量5c与胸的夹角是60。

D.8D与AC所成角的余弦值为迈

3

2、在三棱锥A-3CD中，E是3c的中点，尸在AO上，且AF=2FD,BD=a>BC=b>丽=",

A

/X（1）试用九万，6表示向量而；

C

（2）若底面88是等腰直角三角形，S.BD=BC=AB=3,N4BD=ABC=60°,求EF的长.

3、如图所示，在平行四边形ABC。中，AB=AC=\,ZACD=90沿它的对角线AC将“8折起，使A8

与C£＞成60。角，求此时8,。两点间的距离.

AD

\4、如图，正方

CB’

体MCD-AB'C'D的棱长为1,E,F,G分别为CD,ATT,3力的中点.求证：EF//AC.

已知O,AB,CD,瓦F,G,H为空间的9个点,且朝“砺,

W=EH+mEF,%=0,机=0.

求证：⑴AC//EG;

b

B

(2)OG=kOC.

6、在所有棱长均为2的三棱柱ABC-A/B/。中，ZB/BC=60°,求证:

(1)AB/_L8C；

(2)A/C_L平面4B/G.

7、如图，平行六面体A88-A4GR的底面ABCO是菱形，JiZC.CB=ZC,CD=ZBCD=60,CD=CC],

求证：。41，平面68。.

如图，正四面体ABC。中，M,N分别为棱8C,AB的中点,

(1)用了,/；,3分别表示向量丽'，cN：

(2)求异面直线DM与CN所成角的余弦值.

9、如图，在四棱锥。一回8中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC,ZBAL>=90°,24,底面ABC。，且

PA=AD=AB=2BC,M为PC的中点.

(1)求证：FBIDM;

(2)求AC与丽所成角的余弦值.

题组B能力提升练

1、如图，在棱长为1的正四面体ABCC中，E是线段CZ)的中点，。在线段BE上，且的=2在，设通=£,

AC=b，AD=c.以忖，反4为基底，用向量法解决下列问题.

A

(I)用基底表示向量而;

(3)求点A到平面BCZ)的距离.

2、二面角"-/-£的棱上有两个点A、B,线段5。与AC分别在这个二面角的两个面内，并且垂直于棱/,

若4?=4,AC=6,30=8,CD=2历，则平面a与平面厂的夹角为

3、如图，平面A88,平面4BEF,四边形"CO是正方形，四边形A8EF是矩形，若G是EF的中点，AF=l,

ACBG=-2,则三棱锥C-ABG的外接球的表面积是()

6乃B.10%C.8乃D.12兀

4、如图，在平行六面体ABC。-A4GA中，AB=AD=\,M=2.^AD==60°,ZDAB=90°,

M为AC与BQ的交点.右A8=a,AD=b>A4j=c.

0

G

(1)用£，b,"表示的，并求8M的长;

(2)求异面直线BM与AC所成角的余弦值.

5、如图,三棱锥0-A8C各棱的棱长都是1,点。是棱A8的中点，点E在棱0C上，且笳=%反，记刀=4,

⑴用向量己，b>1表示向量诙;

⑵求1。回的最小值.

题组C培优拔尖练

1、在平行六面体ABCO-A8CQ中，AB=4,AD=2,M=3,ZBAD=ZBAA,=ZA,AD=,CM=2MQ,

求AM的长;

2、如图，空间四边形O48C的各边及对角线长为2,E是A8的中点，F在0C上，且历==2斤，设砺=£，

o

(1)用a，b>c表不丽；

(2)求向量0底与向量炉所成角的余弦值.

3、如图，平行六面体ABCD-A/CQ中，CBA.BD,ZC,CD=45,ZC,CB=60,CC、=CB=BD=

⑴求对角线CA的长度;

(2)求二面角C-BD一a的余弦值.

拓展二：空间向量基底法在立体几何问题中的应用

三目标导航

空间向量在解决立体几何有关位置关系及其延伸出来的相关问题中有着比较广泛的应用.在解题过程中，学

生通常较偏爱于用坐标法来解决问题，实际上，利用向量基底法求解不仅过程简洁，而且在许多问题中其

往往更具有优越性.通过向量基底法在上述平行垂直证明、角度问题、距离问题和位置关系判断等问题中的

应用，我们发现合适基底的选择是十分重要的.在计算问题中，应该尽量选择模己知的向量，且三个向量间

的夹角也易求，而在证明问题中，这些条件可以适当放宽.

纵观近些年的高考试卷，立体几何解答题往往会在已知中给出两两垂直且交于一点的三条线段，这种

方便建系的考查方式让同学们习惯了空间直角坐标系下的机械运算，空间想象能力和逻辑推理能力大幅度

降低.不仅如此，有时考题甚至找不到这样的三条线段，以致于许多同学因为无法合理建系导致解题失败.

因此，也建议教师在教学中可以适当补充一些向量基底法的知识，以便让同学们充分体会到基底法使用的

广泛性和灵活性，领略到立体几何学习的乐趣.

善高频考点

/0_______________________

'工知识梳理

知识点1“三个”定理

共线向量定理共面向量定理空间向量基本定理

对于空间任意两个向若两个向量a,5不共线，则向量p与向如果三个向量a,b,c不共面,

量a,。(际0),a〃。的充要量a"共面的充要条件是存在唯一的有序实那么对任意一个空间向量P,存在唯一

条件是存在实数为使a=数对(x,y),使p=xa+y"的有序实数组(x,j,z),使得

功.p=xa+yV+zc.其中｛a,b,c｝叫做空间的

一个基底,a,b,c都叫做基向量.如

p=xa+yb+zc,贝！］称xa+y5+zc为〃在

基底｛a,b,c｝下的分解式.

知识点2空间平行、垂直关系的向量表示

设III,U2分别是直线，2的方向向量，ni,112分别是平面a,夕的法向量.

(1)线线平行：/l〃，2dl〃U2UB2eR，使得U1=XU2.

(2)线面平行：1i〃QUuiJLniUUi・ni=0.

(3)面面平行：a///uni〃ii2W使得ni=2n2.

(4)线线垂直:/1±/2<=^U|-LU2<={UI,U2=O.

(5)线面垂直：JiJ_〃uui〃niuai£R,使得ui=2ni.

(6)面面垂直:aJ_"un1_L112田IF2=0・

知识点3空间距离及向量求法

设已知平面a的法向量为n,AGa,Pga,向

设u为直线/的单位方向向量，Aei,p^l,AP=

文字量也是向量方在平面上的投影向量,

a,向量弁在直线/上的投影向量为恁，则

语言

PQ=yj\AP)12—|A0|2=-\la2—a-u_\AP-n\

一1«1

知识点4空间角及向量求法

角的分类向量求法范围

设两异面直线所成的角为仇两直线的方向向量分别为U,V,则

异面直线(It

所成的角

cos6»-|cos<u,v)|—|H||v|

直线与平

设直线/与平面a所成的角为〃，/的方向向量为u,平面a的法向量为n,则

si.=|cos<u,n)I'M!

面所成的n

角

平面a与平面。相交，形成四个二面角，把不大于?的二面角称为这两个平面的夹角.设

两平面的

［仇3

平面a与平面”的夹角为〃，两平面a,/?的法向量分别为由，n2,则

夹角

coslcos(m,n2)1-^nJ

P考点精析

考点一平行垂直问题

解题方略:

对于平行垂直关系的证明，一般是结合相关空间定理和性质，借助直观的空间观察和想象.当直观想象

难以为继，却又不想利用坐标化以致有杀鸡用牛刀之嫌的情况下，采用向量基底法不失为一个好的选择.

【例J1-1】如图，AEJ-平面/WCD,CF//AE,AD//BC,ADA.AB,AB=AD=\,

AE=BC=2.

求证：3尸//平面AZ)E；

【解析】方法一：空间向量法

证明：以A为坐标原点，分别以通，AD,通所在直线为x,y,z轴建立空间

直角坐标系,可得A(0,0,0),5(1,0,0),C(l,2,0),D(0,1,0),E(0,0,2).

设CF=/?(/i>0),则尸(1,2,h).

则福=(1,0,0)是平面ADE的法向量，又砺=(0,2,田，可得8户-A月=0.

又♦.•直线8FC平面;.BF//平面

方法二：基底法

证明：如图所示，因为CT〃AE,所以存'=%醺(/>0),又因为A£)〃BC,BC=2AD=2,所以

BF=BC+CF=2AD+AAE,所以8AA方和4月共面，又Bb.平面ADE,所以8%平面ADE.

【例1-2】如图，在直三棱柱43C-ABC中，D,E分别为BC,AC的中点，AB=BC.求证:

BE±C,E.

【解析】方法一：通过线面垂直证线线垂直

•.•在直三棱柱A8C-AMC中，£是AC的中点，AB=BC.

:.BE±AC,

•.•直三棱柱ABC-AAG中，A4,_L平面ABC,庞:u平面ABC.

A4,,

乂AAp|AC=A，.^.BEJ_平面ACGA，

♦.•GEu平面ACGA,，:.BELJE.

方法一：基底法

证明：如图所示，在直三棱柱ABC—中，CGJ.BE,又因为AB=BC,£为AC的中点，所以

ACA.BE,所以BE-qE=BE(C^C+^CA)=BEC^C+^BECA=O,所以BE±CtE.

考点二角度问题

解题方略：

通过建立直角坐标系，利用坐标化进行代数运算是解决立体几何中角度问题的“惯例”，这也是对考生数

学运算和数据处理等核心素养的考验.但往往建系不方便或者运算量偏大时，向量基底法的适时引入往往能

够起到柳喑花明的效果.

【例2-1】在长方体-ABC"中，AB=BC=\,A4,=6，则异面直线AR与。耳所成角的余弦值

为()

A>/5R下,石门近

5652

【解析】方法一：空间向量法

建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设D4=I,

则有：0(0,0,0),A(l,0,0),£>,(0,0,y/3),B,(l,1,73),

所以函=(1,I,百)，A£>'=(-1,0,

设西，通■的夹角为。，则cos6=^^,竺L=♦,

1。即.|四|5

即异面直线AR与DB,所成角的余弦值为亚，

方法二：基底法

如图，|宿R莅+丽|=2,|函莅+通+丽|=行，

5•万瓦=(而5+羽)(-而+诟+题)=2,记A。与。片所成角为8,则

c°se=慢时=3=见

故选A

IAD,||DBt|2V55

【例2-2］如图，长方体ABC。—440〃的底面钻8是正方形,

点E在棱A4,上，BElECt.若AE=AE,求二面角B-EC-0的正弦值.

以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

22

设AE=AE=1,贝lj,=BEJ,平面EBg,BE±EBt,；.BE+EB；=2BE=BB；=4,

：.BE?=2,

AE2+AB2=\+AB2=BE2=2,

则E(l,1,1),A(1,1,0),即0,1,2),C,(0,0,2),C(0,0,0),

BC_LEB、,EBt_L面EBC.

故取平面EBC的法向量为m=EB；=(-1,0,1),

设平面EC£的法向量元=(x,y,z),

万.再=。，得z-0

Hi-,取x=l,得”=(1,一1，0),

n-C£=0x+y+z=0

一tn-n1

..COS<ITlyYl>=------=,

Imllnl2

・・・二面角8-EC-G的正弦值为y

方法二:基底法

如图：记而、瓦和丽'分别为。、氏c,二面角6-EC-G的平面角为。，平面ECG的一个法向量

n=xa+yb+zc,由n-EC="•(a+b-gc)=0和n-CC(=〃・c=0得〃=a-。;在矩形中，因为

E为A4中点，显然用E_LBE,乂因为BC_L平面ABB/,aEu平面A3与A，所以BC1.耳E,

BCC\BE=B,所以&E_L平面BCE,即瓦后=a+是平面BCE的一个法向量，从而

2

BE(a-b)(a+—c)2।J3

IcoseH1=1-------------Y—1=—J=L，所以二面角6-EC-£的正弦值为—.

I〃H4E|\a-b\\a+^c\23222

考点三距离问题

解题方略：

距离问题常以给出角度求距离的方式变相考查角度问题，另外在角度问题中涉及到的向量求模问题也

是对距离问题的一种隐性考查.

【例3-1］如图，4)//3。且4)=23。，AD1CD,EG//4)且£G=4),CD"FG0CD=2FG,DGA.

平面A8C£>,DA=DC=DG=2.若点尸在线段£>G上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60。，求线段

DP的长.

【解析】方法一:空间向量法

证明：依题意，以。为坐标原点，分别以D4、DC,力G的方向为X轴，

y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系.可得。(0,0,0),A(2,0,0),8(1,2,0),C(0,2,0),

3

E(2,0,2),F(0,1,2),G(0,0,2),M[0,-,1),N(1,0,2).

2

设线段上的长为〃，(〃e[0,2]),则点P的坐标为(0,0,h),

可得8户=(-1,-2,〃)，而力C=(0,2,0)为平面4X7E的一个法向量,

故|cos〈即，反＞|=」B"C"L=-2由题意，可得2..=小60。=且,解得人;且引。，2].

|BP|-|£＞C|"2+5J"+523

方法二：基底法

如图，取平面ADGE的一个法向量诙，因为直线BP与平面ADGE所成的角为60°,DC=2,

所以所在丽的投影为|即|cos＜即，前＞=|而|cos30=|函|=2,所以|即|=述，又BC=1,

3

所以|丽|=君，所以丽2=(而+而)2=而2+而2=5+而2=3,解得|而|=必，从而线段

33

DP的长为芯

【例3-2］如图，直四棱柱ABCO-ABCR的底面是菱形，M=4,AB=2,

ZS4£>=60°,E是3c的中点.则点C到平面CQE的距离为

空间向量法

直四棱柱ABC。-48c。的底面是菱形，

AA=4,AB=21ZBAD=GO°,E是3c的中点.

则ZM,DE,两两垂直，以。为原点，建立空间直角坐标系,

C(-l,石，0),C,(-l,64),0(0,0,0),£(0,60),

DE=(0,拒,0),DC\=(-\,⑺，4),DC=(-1,8，0),

设平面的法向量历=(x,y,z),

则4_L，取x=4,得为=(4,0,1),

n-DE=y/3y=0

.•.点C到平面GOE的距离为：

,\DCri\44Vn

a=-----------=—f==--------.

|n|x/1717

故答案为：晅.

17

方法二：基底法

如图，如图：记砺、反和画分别为。、。、c,平面。EG的一个法向量〃=m+»+zc，由

〃・诙=〃・(ga+b)=O和〃•砺=〃-S+c)=O得〃=8a+c;则点C到平面gOE的距离即为

在n方向的投影的绝对值KGTJc"(8a+c)|=_2=勺叵,所以点c到平面CQE的距离

\n\\n\471717

考点四位置关系问题

解题方略：

空间中点线面的位置关系的判断或证明实际是许多同学比较畏惧的一个知识点，因为其往往是相对抽

象的空间公理的直接应用.对于多点共面、多线共面和线面关系等问题的解决，向量基底法往往显得更为形

象和具体.

【例4-1】如图，在四棱锥中，R4_L平面A8C£>,AD±CD,AD//BC,PA=AD^CD=2,

PF1

BC=3.E为尸£>的中点，点尸在PC上，且——=-.

PC3

(I)求证：四,平面次);

(II)求二面角尸-AE—P的余弦值；

(III)设点G在P3上，且生=2.判断直线AG是否在平面A砂内，说明理由.

PB3

【解析】证明:(I).平面AfiCZ),:.PALCD,

：ADYCD,PA^\AD=A,

.•.8_L平面PAD.

解：(II)以A为原点，在平面MCE)内过4作8的平行线为x轴,

A£＞为y轴，"为z轴，建立空间直角坐标系，

A(0,0,0),£(0,1,1),尸(|,|,g),

-.__224

P(0,0,2),8(2,-1,0),A£=(0,I,1),"

333

平面AEP的法向量元=(1,0,0),

设平面AEF的法向量而=(x,y,z),

in-AE=y+z=0

则一.224，取x=1，得应=(11,-1),

m-AF=—x+—y+—z=0

333

设二面角尸一AE-P的平面角为。,

\m\\ri\£3

.•・二面角尸一AE-P的余弦值为走.

3

(III)方法一：空间向量法

直线AG在平面AEF内，理由如下:

・・•点G在必上，且生=M.-.G(-,二，2),

PB3333

__422

.IAG=(§,--,y),

・・•平面AEF的法向量比=(1,1,-1),

—«422

m-AG=-------=0,

333

故直线AG在平面AEF内.

X方法二：基底法

直线AG在平面AEF内，说明如下：如图，记加、加和入户分别为a、b、c,平面AE尸的一个法向量

—11—112

〃=M+M+ZC,由n-AE=«•(—tz+—c)=0和n-AF=n-(—a+—b+—c)=O得n=a—g乂

—.1?1—►121a2c2—

AG=——a+-b+-c,所以AG-〃=(a—c>(——a+-b+-c)=——+—=0,所以AGJ_〃，所以

33333333

AG在平面AEF内.

【例4-2】图1是由矩形ADEB、RtAABC和菱形3FGC组成的一个平面图形，其中

4?=1,BE=BF=2,ZFBC=f^)°.将其沿AB,8c折起使得况与5尸重合，连结。G,如图2.

图1图2证明：图2中的A,C,G,。四点

共面

【解析】方法一：基本事实

证明：由已知得4£>//3E,CG//BE,:.AD//CG,

.\AD,CG确定一个平面，

;.A,C,G,。四点共面，

方法二：基底法

证明：在图1中，因为四边形ADEB和BFGC分别为矩形和平行四边形，所以通=布，函=而，又因为

在图2中，而=诙，所以函=屁，从而A方=BG,;.A,C,G,力四点共面，

分层提分

题组A基础过关练

1、【多选】如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCC-A/B/C/S,其中，以顶点A为端点的三条棱长均

为6,且它们彼此的夹角都是60。，下列说法中正确的是（）//二//

AB

A.AC尸6加）

B.ACiLDB

C.向量就与油的夹角是60。

D.与AC所成角的余弦值为逅

3

【解析】因为以顶点A为端点的三条棱长均为6,且它们彼此的夹角都是60。，

所以•丽二A4,AD=ADAB=6x6xcav60°=18,

（羽+A月+而）J福2+通2+而*+2随瓦+2通通+2福而

=36+36+364-3x2x18=216,

UUU_________________

贝！J|1=1A4,+通+标1=6#，所以A正确；

UUU______

AC,■DB^AA.+AB+ADHAB-AD）

=AB-AA^AD+AB2-AB-AD+ADAB-AD=0，所以B正确；

显然△AA/D为等边三角形，则NA4O=60。.

因为麻=丽，且向量丽与丽■的夹角是120。，所以麻与丽的夹角是120。，所以C不正确;

\S^]BD；=AD+AA^-AB,AC=AB+AD

所以IBD；1=J(而+福-A分尸=60,\AC\=yl(AB+A5f=6+,

BD；•祝=（而+随-而）•（而+而）=36,

所以0.，<丽次>=需送=6/6斯器，所以C不正确.

故选:AB.2、在三棱锥A—BCD中，E是BC的中点，尸在AO上，且A尸=2田，BD=a>BC=b>BA=c>

(2)若底面BCD是等腰直角三角形，S.BD=BC=Afi=3,ZABD=ABC=(^°,求EF的长.

【解析】(1)依题意，因E是8C的中点，/在A£)上，旦AF=2/D,

则乔=丽+丽+江=胡+通一炉=丽+—而——BC=BA+-(BD-BA)——BC

3232

2——1―.1—.2-1.1-

=-BD——BC+-BA=-a——/?+-(7,

323323

―,2-1-1-

所以EF=-a——b+-c；

323

(2)因BD=3C=AB=3,NCBD=90>,ZABD=ABC=60°,

____-9—9

即|〃|=|b|=|c|=3,则a.B=O，a,c=万,bc=—,

由(1)知：|乔卜后一1+¥)2=即+.+/_|£/一].1+,£=与,

所以£F的长是息.

2

3、如图所示，在平行四边形ABCD中，AB=AC=\,ZAC。=90,沿它的对角线AC将△ACO折起，使A8

与C。成60角，求此时反。两点间的距离.

边形A8CZ）为平行四边形，「.AB//。，又乙48=90,/.ZC4fi=90,

:.ACCD=0>ACfiA=0.

・在空间四边形ABCD中，4B与CD成60角，，＜丽，而＞=60或120。，

又而=丽+/+而，：.\BD^=\BA!\+\AC^+\CD^+2BA-AC+2BA-CD+2AC-CD

=3+2xlxlxcos＜l?X,C£）＞,

当〈丽，前＞=60「时，|南（=4,，B4=2,即此时B,。两点间的距离为2；

当〈丽，丽＞=1201时，回『=2,:.\BD\=42,即此时B,O两点间的距离为拉：

综上所述：8，。两点间的距离为2或④.

4、如图，正方体ABCO-A'B'C'D的棱长为1,E,F,G分别为C'£）’,AD,DO的中点.求证：EF//AC.

则｛7，LD构成空间的一个单位正交基底.

所以而=西_麻=3：_3]=3（；-力，CA=DA-DC=l-j.

所以前=4直.

2

所以即〃4c.

5、如图，已知aA.BCZXEEG,”为空间的9个点，且在=%乐，炉=%而，丽=%而，衣=而+〃?而,

EG=EH+mEF,

求证：（1）AC//EG;

(2)旃=左诙.【解析】证明：(1)EG=EH+mEF=OH-OE+m(OF-OE)

=k(OD-OA)+km(OB-OA)=kAD+kmAB=k(AD+mAB^=kAC：.AC//EG.

(2)OG=OE+W=kOA+kAC=k{OA+AC}=kOC.

6、在所有棱长均为2的三棱柱ABC-4/B/C/中，ZB/BC=60°,求证：

(1)AB/1BC；

（2）4CJ■平面AB/G.

【解析】证明：（1）易知〈而，比＞=120°,鬲=福+函，

则通!'反=（而+瓯）BC=ABBC+BI^JC=2X2XJ+2x2xy=0.

所以AB」8c.

（2）易知四边形AA/C/C为菱形，所以A/CLA。.

因为鬲・卡=（西-丽）•（前-丽）

=（函-丽）（及-丽-丽）

AA.-BABC+BABA+BAAA^

BC-BB^AA^-BA-BC+BA-BA

=2x2x442x2x1+4=0,

22

所以AB/L4/C又AC/OAB/=A,所以A/CL平面ABC/.

7、如图，平行六面体4BCD-ABCR的底面ABC£>是菱形，且NGCB=NCC。=NBCO=60,CD=CC1,

求证：。,_1平面（7田。.

由于四边形ABCD为菱形，则CB=CO=CG，即同=欠=/，

所以，C“=HJNCOS60=；卜］，同理可得==,

由题意可得以=£+后+",BD=b-a,

所以，C4,•BD=（a+b+c^-（b-a^=b-a+c-b-c-a=Q,所以，CA}±BD,

同理可证。।，BG，

因为B£）n8£=B,因此，。4，平面£8。.

8、如图，正四面体ABCZ）中，M,N分别为棱BC,A3的中点，设通=a,AC=b<AD=c-

c分别表示向量DM,CN;

（2）求异面直线DM与CN所成角的余弦值.

A

【解析】（1）如图，设正四面体棱长为1,

则丽=次+丽7=-"+'(£+5)」(£+5-2工)，