理论力学-课件第10章

第10章

动量矩定理本章内容1质点的动量矩定理2质点系的动量矩定理3质点系相对于质心的动量矩定理4刚体对轴的转动惯量的计算5刚体的定轴转动和平面运动微分方程第一节质点的动量矩定理质点的动量矩定理21质点的动量矩一、质点的动量矩图10-1设质点M绕定点O运动，某瞬时的动量为mv，对定点O的矢径为r（见图10-1），类似于力点之矩，我们把质点动量mv对O点之矩，称为质点对O点的动量矩，即（10-1）可仿照力对点之矩和力对通过该点的轴之矩的关系，即质点动量mv对定轴x，y，z之矩的表达式为（10-2）。由式（10-2）可知，质点对定点的动量矩矢在轴上的投影，等于质点对轴的动量矩。动量矩的量纲为质量、速度与长度的量纲的乘积，即在国际单位制中，动量矩的单位为质点对O点的动量矩是矢量，垂直于矢径r和mv所构成的平面，矢量的指向按右手规则来确定，它的大小为二、质点的动量矩定理设质点M对定点O的矢径为r，动量为mv，其上的作用力为F，如图10-2所示。则质点M对O点的动量矩为图10-2将此式对时间求一次导数，有考虑到，另由动量定理有因此上式可写为而，于是得（10-3）式（10-3）就是质点动量矩定理，即质点对某定点的动量矩对时间的导数，等于作用于质点上的力对该点之矩。将式（10-3）投影于定轴x，y，z，得（10-4）由式（10-4）可知，质点对某定轴的动量矩对时间的导数，等于作用力对该轴之矩。下面讨论两种特殊情况由此可知，若作用力对某定点（或定轴）之矩恒等于零，则质点对该定点（或定轴）的动量矩保持不变。这就是质点的动量矩守恒定理。例题解析例10-1如图10-3所示，一质量为m的光滑小球，放在半径为R的固定圆形管内。给小球一初始小扰动，试求小球微小运动的运动规律。图10-3小球的运动规律可通过小球与圆形管中心O的连线的摆动来描述。它可归为转动类型的动力学问题，适合于应用动量矩定理求解。解

（1）取小球为研究对象。（2）受力分析。将小球置于运动的一般位置，其上作用力有重力mg和管的约束力FN，FN的方向指向中心O。（3）求运动规律。应用对O点（即对通过O点而垂直于圆形管平面的轴）的动量矩定理，有或考虑到，代入上式得或此微分方程的解为可见小球做简谐运动。式中任意常数

和

可通过运动的初始条件来确定。第二节质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理质点系的动量矩21一、质点系的动量矩质点系对点O的动量矩，等于质点系中各质点对点O动量矩的矢量和，即（10-5）质点系对某轴z的动量矩，等于质点系中各质点对同一轴z动量矩的代数和，即（10-6）利用式（10-2），有因此得（10-7）由式（10-7）可知，质点系对某点O的动量矩在通过该点的轴上的投影，等于质点系对该轴的动量矩。图10-4令

，称为刚体对轴z的转动惯量，则有（10-8）这就是计算绕定轴转动刚体的动量矩公式。转动惯量的计算在动力学中是很重要的，我们将在后面详细讨论。二、质点系的动量矩定理

（10-9）这样的方程共有n个，将n个式（10-9）相加后，得由于这就是质点系的动量矩定理，即质点系对某定点的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系上的外力对该点的矩的矢量和（或外力对该点的主矩）。在应用时，取式（10-10）的投影式，即（10-11）由上式可知，质点系对某定轴的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对该轴之矩的代数和。由动量矩定理可知，质点系的内力不能改变质点系的动量矩，只有作用于质点系的外力才能使质点系的动量矩发生变化。下面讨论两种特殊情况。由此可知，若作用于质点系的外力对某定点（或定轴）的主矩（或力矩的代数和）恒等于零，则质点系对于该定点（或定轴）的动量矩保持不变。这就是质点系动量矩守恒定理。例题解析图10-5，被提升的例10-2斜面提升装置如图10-5所示。已知鼓轮半径为r，重量为W，对于转轴的转动惯量为J，作用在鼓轮上的力矩为M。斜面的倾角为为P，设绳的重量和各处的摩擦忽略不计。小车重量求小车的加速度。（1）取小车与鼓轮组成的质点系为研究对象。解（4）根据动量矩定理得即例题解析图10-6（2）受力分析。质点系受力如图10-6所示。作用在质点系上的外力对O轴的矩为（1）取重物M1，M2和塔轮组成的质点系为研究对象。解例10-3例题解析

（a）

（b）

（c）图10-7解

这个转动问题也可应用动量矩定理求解。

（1）取圆盘连同转轴及质点M组成的系统为研究对象。（2）受力分析及受力图。画出M在任意位置系统所受的外力的受力图，如图10-7（a）所示。例10-4其中，

是初始时系统对轴Cz的动量矩，

是M点到达D点时系统对轴Cz的动量矩。（3）运动分析，计算动量矩。由受力图可知在运动过程中所有外力对转轴Cz之矩恒等于零，即因此可应用对Cz的动量矩守恒定理，即由图10-7（b）可知由图10-7（c）可知（4）根据动量矩定理得解得第三节

质点系相对于质心的动量矩定理前面介绍的动量矩定理只适用于惯性参考系（或称静坐标系），也就是说动量矩的矩心（或矩轴）是定点（或定轴），质点的速度也是对静坐标系的速度，即绝对速度。设质点系由n个质点组成，质心为C，Oxyz为静坐标系

是以质心C为原点，并随质心做平动的动参考系，如图10-8所示。在坐标系Oxyz中，质点系对定点O的动量矩为下面将证明，在随质点系质心相对静坐标系做平动的动参考系中，仍有与前面形式相同的动量矩定理，这时动量矩的矩心为质点系的质心，质点的速度是对动参考系的速度，即相对速度。图10-8（10-12）在坐标系

中，质点系对质心C的动量矩为式中，表示对C点的矢径；表示质点（10-13）由图10-8可知式中，

是质心C对O点的矢径，因此（10-14）由于（10-15）式中，M是质点系的总质量。此外，根据运动学中点的速度合成定理则由质心坐标公式可知（10-16）式（10-16）表明，在动参考系中，质点系对质心的动量矩，等于质点系中各质点的绝对动量对质心之矩的矢量和。将式（10-15）、式（10-16）代入式（10-14），得质点系的动量矩定理为（10-17）将式（10-17）代入上式，并注意到

，得式（10-19）表明，质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系上的外力对质心之矩的矢量和（或外力对质心的主矩）。或

（10-18）这个结论称为质点系相对于质心的动量矩定理。这个定理在形式上与质点系相对于静坐标系（惯性参考系）的动量矩定理完全相同。最后得到（10-19）回转半径21简单形状的均质刚体的转动惯量的计算1平行移轴定理第四节刚体对轴的转动惯量的计算前面给出了转动惯量的概念，刚体的转动惯量是刚体转动惯性的度量，它等于刚体内每一点的质量与其到转动轴的距离平方乘积的总和，以公式表示为（10-20）如果刚体质量连续分布，则此式可写成（10-21）转动惯量的单位是由式（10-21）可知，转动惯量恒为正值，它的大小取决于刚体质量的大小及其分布的情况，而与刚体的运动无关。确定刚体对轴的转动惯量可用计算法和实验法。下面举例说明用公式计算转动惯量的方法。1．均质细直杆图12-9将沿杆的直线取为x轴，在其上任取一微段dx，则其质量为

，由公式（10-21）可知,直杆对z轴的转动惯量为式中，,是整根直杆的质量。一、简单形状的均质刚体的转动惯量的计算图10-102．均质薄细圆环图12-11图12-123．均质薄圆盘式中，是圆盘单位面积的质量。圆环对z轴的转动惯量为图10-13图10-14式中

为圆柱体的质量；为其半径。利用均质圆盘对Oz轴的转动惯量公式，还可求出其对

轴、轴的转动惯量。由转动惯量定义可知将均质圆柱体分成许多互相平行的薄圆盘，如图10-14所示，应用上面的结果，则可求出均质圆柱对z轴的转动惯量为圆盘对z轴的转动惯量为式中，

是圆盘的质量。图10-15由于对称性，有此外还有因此得二、回转半径表10-1简单形状均质物体的转动惯量和回转半径注：图中C点表示形心的位置，公式中M表示物体的质量。三、平行移轴定理平行移轴定理：刚体对任一轴的转动惯量，等于刚体对通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体质量与两轴之间距离平方的乘积。（10-23）式中，Cz轴通过刚体的质心；M为刚体的质量；d为两轴之间的距离。图10-16由平行移轴定理式（10-23）可知，在所有相互平行的各轴中，刚体对通过质心的轴的转动惯量最小。如果我们已经知道了刚体对某一轴的转动惯量，根据平行移轴定理，很容易求出与该轴平行轴的转动惯量。则考虑到于是得因为

轴通过质心，

则，所以例题解析解如图10-17所示为一均质等厚度零件，单位面积的质量为ρ，大圆半径为R，挖去的小圆半径为r，两圆心的距离为a，试求通过O点并垂直于零件平面的轴的转动惯量。图10-17设大圆与小圆部分分别为Ⅰ，Ⅱ。根据转动惯量的定义，零件对O轴的转动惯量应为应用平行移轴定理有于是例10-4刚体的平面运动微分方程21刚体的定轴转动微分方程第五节刚体的定轴转动和平面运动微分方程一、刚体的定轴转动微分方程图10-18

（10-24）或（10-25）与质点的动力学一样，应用刚体定轴转动微分方程可解决转动刚体动力学的两类问题，即已知刚体的转动规律时，可求作用于刚体上的外力矩或外力；或已知作用于刚体上的外力矩，可求刚体的转动规律。但是必须指出，由于轴承约束力都通过转轴，它们对转轴之矩为零，在转动微分方程中不出现，因此不可能通过转动微分方程求出这些轴承约束力。这些约束力的求法将在以后讨论。

例题解析解例1为求刚体对通过质心C的AB轴的转动惯量，将刚体固定在一个可以绕定轴DE转动的框架上，如图10-19所示。DE轴平行于AB轴，两轴之间的距离为h。使刚体绕DE轴微小摆动，并测得其周期为T。设刚体重量为P，框架的重量略去不计，试求刚体对AB轴的转动惯量。图10-19框架同刚体固连在一起绕DE轴转动，转动微分方程为这就是刚体绕DE轴转动的微分方程。不难求得其解为考虑到很小，sin，则有式中，

是由运动初始条件决定的常数。由题可知刚体做简谐运动，其圆频率为圆频率

与周期T的关系为因此有或再由平行移轴定理，可得例2（a）

（b）

（c）图12-20解二、刚体的平面运动微分方程图10-21式中，M为刚体的质量；

为刚体对质心C的转动惯量。将上面第一式写成投影的形式，并注意到则有这就是刚体的平面运动微分方程，它完整地描述了刚体的平面运动。利用该方程，可以求解刚体平面运动动力学的两类问题，即已知运动求力；已知力求运动。下面举例说明其应用。例题解析例10-8图10-22一均质滚子质量为m，半径为R，放在粗糙的水平地板上，在滚子的鼓轮上绕以绳索，其上作用力有常力F1，其方向与水平成α角。鼓轮的半径为r，滚子对轴O的回转