初升高衔接数学讲义

初升高之集合的概念

资料编号：202307211812

一'本节知识要点

（1）集合的含义与表示；

（2）元素与集合之间的关系与表示；

（3）集合元素的三个基本性质；

（4）常用数集的表示；

（5）集合的两种表示方法（列举法和描述法）；

（6）集合的分类.

二、集合的含义与表示

一般地，指定的某些对象的全体称为集合.集合中的每个对象叫做这个集合的

元素.

集合用大写字母来表示，集合的元素用小写字母来表示.

三、元素与集合之间的关系与表示

元素与集合之间是从属关系:若元素4在集合z中，就说元素。属于集合a记作

ae/;若元素a不在集合A中，则称元素a不属于集合4记作aeA.

要求会判断元素与集合之间的从属关系.

四、集合元素的三个基本性质

集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.

确定性给定一个集合，它的元素必须是确定的.也就是说，给定一个集合,任何一

个元素属于或不属于这个集合,也就确定了.

互异性给定一个集合，它的元素是互不相同的.即同一个集合中的元素不能重复

出现.

在用列举法表示集合时,相同的元素算作集合的一个元素.

无序性集合中的元素是没有顺序的.

如果构成两个集合的元素是相同的，那么就称这两个集合相等.

五、常用数集的表示

自然数集N;正整数集N+或N*;整数集Z;有理数集Q;实数集R.

六、集合的两种表示方法

集合有两种常用表示方法，即列举法和描述法.此外还有韦恩图法（Venn图法）.

列举法

把集合的元素一一列举出来，并用大括号"｛｝''括起来表示集合的方法叫做列

举法.

用列举法表示集合时要注意以下几点：

（1）元素之间必须用逗号隔开；

（2）元素不能重复（即集合的元素要满足互异性）；

（3）元素之间无先后顺序（集合的元素具有无序性）；

（4）表示有规律的无限集时，必须把元素间的规律表示清楚后才可以使用省略号,

如｛1,2,3,…;

（5）注意“与,｝的表示是有区别的表示的是一个元素,｛。｝表示的是只有一个

元素a的集合.二者具有从属关系，及aeA.

列举法常用来表示有限集或有规律的无限集.

描述法

｛xe/|P（x）｝,其中x为集合的代表元素，/表示元素x的取值范围,P（x）表示集合的

元素所具有的共同特征.

第二定义用确定的条件表示某些对象属于一个集合的方法，称为描述法.

注意广共同特征''或"确定的条件=｛x\x2-2x-3=0｝,集合B=｛x\2x-6<0｝.

用描述法表示集合时要注意以下几点：

（1）写清集合中的代表元素，如实数或有序实数对,从而正确表示数集和点集；

（2）用简洁准确的语言表示集合中元素的共同特征；

（3）不能出现未被说明的字母,如集合｛xeZ\x=2〃｝中的〃未被说明，应正确表示

为｛xeZ\x=2n,neZ｝或｛x|x=2n,neZ｝;

（4）元素的取值范围,从上、下文来看,如果是明确的，可以省略.

22

如集合｛xGR\x+X=o｝,也可以写作｛x|x+x=o｝.

（5）出现多层描述时,应正确使用“或”、“且”、“非”等逻辑联结词;

（6）所有描述的内容都要写在大括号内；

（7）识别描述法表示的集合时，要看清代表元素，正确区分数集和点集.

当集合所含元素较多或元素的共同特征不明显时，适合用描述法来表示集合.

例1.用两种方法表示二元一次方程组+,=5的解.

[x-y=1

注意：二元一次方程组的解是有序实数对，所以在表示二元一次方程组的解时，要

表示为点集的形式.

解:解二元一次方程组+歹=5得:,=2

[x-y=lly=1

用列举法表示为｛（2,1）｝，用描述法表示为L,d|x=2-.

I口川

提示：｛（2,1）｝与｛（1,2）｝表示的是两个不同的集合.

例2.指出集合&上=2%-1｝与集合｛（》,夕口=2》-1｝的区别.

注意：区分数集和点集的关键在于代表元素.用描述法表示集合时记作｛xe/|P（x）｝,其

中x表示的就是代表元素，它可以是一个数字（数集），也可以是有序实数对（点

集）.

解:集合｛x|_y=2x-l｝表示的是一个数集，它表示函数解析式y=2x-l中自变量的

取值范围，所以｛x|y=2x-1｝=R;

集合｛（x,y）|y=2x-l｝表示的是一个点集，它表示函数歹=2x-l的图象上所有

点的坐标.

例3.用合适的方法表示下列集合：

（1）文房四宝；

（2）2019年9月3日，新乡市平原示范区所辖乡镇；

（3）平面直角坐标系中,第二象限的点构成的集合.

注意：在用列举法表示集合时，元素之间必须用逗号隔开，不要用错标点符号.点

集的代表元素为有序实数对.

解：⑴｛笔，墨，纸,砚｝;

(2){祝楼乡，韩董庄乡，原武镇,桥北乡，师寨镇};

(3){(x,y)|x<0,且y>0}.

例4.分别用列举法和描述法表示下列集合：

(1)方程£—2=0的所有实数根组成的集合；

(2)由大于10小于15的所有整数组成的集合.

注意：在用描述法表示集合时,代表元素的取值范围，如果从上、下文来看是明确

的，可以省略.

解：⑴列举法:{&,-亚卜

描述法:_2=0}或{R/_2=0}.

(2)列举法：{11,12,13,14};

描述法:{xeZ|10<x<15}.

七、集合的分类

集合按所含元素个数的多少可以分为有限集、无限集和空集

含有有限个元素的集合叫做有限集.含无限个元素的集合叫做无限集.

不含任何元素的集合叫做空集，记作0.

如方程X?+1=0的实数根组成的集合{xwH,+1=0}就是一个空集，即

{xeR\x2+1=O)=0.

八、重要结论：

判断形如ax2+bx+c=0的方程的实数根的个数的方法是：

(1)当“=0时，方程可化为bx+c=0的形式：

①当6H0时，方程有唯一一个实数根X=-£；

b

②当6=0,c=0时，方程有无数个实数根；

③当6=0,c丰0时，方程没有实数根；

(2)当“70时,原方程为关于x的一元二次方程：

①若△=/-4数>0,则方程有两个不相等的实数根；

②若△=y-4ac=0,则方程有两个相等的实数根(此种情况下表示方程的实数

根组成的集合时,集合只有一个元素)；

③若△=/-4改<0,则方程没有实数根.

提示:在讨论集合元素的个数时，一定要注意分类讨论.

例5.已知集合Z={xe及卜/+2》+1=o,ae7?}.

(1)若Z中只有一个元素，求”的值；

(2)若2中至多有一个元素，求。的取值范围.

分析：先弄清楚集合4/是由方程a/+2x+l=0的实数根组成的集合，该方程中

含有参数a，为含参方程.

(1)集合N中只有一个元素，指的是方程ax?+2x+l=0只有一个实数根，该方

程可以是一次方程(a=0),也可以是二次方程(aNO),注意分类讨论；

(2)集合Z中至多有一个元素，指的是方程a/+2x+l=0只有一个实数根或没

有实数根.

解：(1)当a=0时，原方程可化为:2x+l=0,解之得:x=-g,集合/=1-9,符合

题意；

当awO时,•.•"2+2》+1=0只有一个实数根

；.△=4—4a=0，解之得:a=1

综上，当a=0或。=1时,4中只有一个元素；

(2)当Z中只有一个元素时，由(1)可知:a=0或a=l;

当4中没有元素时，即方程ax2+2x+l=0没有实数根

.•.△=4—4a<0,解之得:“>1

综上，当a=0或时4中至多有一个元素.

例6.实数集/满足条件:1任/，若aeZ,则一

1-a

(1)若2w4,求/;

(2)集合4能否为单元素集合?若能，求出4;若不能，请说明理由；

(3)求i正：1一工GA.

a

分析：本题重点考查集合元素的三个基本性质：确定性、互异性和无序性.

(1)解:：2e/,2W1，一'一=-leZ

1-2

J」"

1-(-1)2

—-2eA

1-

2

_1_

：.A={2,-1}；

2

(2)解〃不能为单元素集合.

理由如下:若/为单元素集合，则有«=—，整理得:/_“+1=o

\-a

•.•△=(-1)2-4xl=-3<0

方程1一。+1=0没有实数根

不能为单元素集合；

(3)证明:若ae/，则］eA

1—Cl

例7.已知集合/=区/-3x+a=0},若4e/,求集合4

分析：由题意可知集合/是由方程/-3x+a=O的实数根构成的,“4eN”指的是

x=4是方程x2-3x+a=O的一个实数根.

解：A

，》=4是方程/-38+。=0的一个实数根

.•.42-3x4+4=0

解之得:a=-4

二原方程为：/—3x-4=0

解之得：X[=4,X2=-1

...集合/={-1,4}.

例8.已知集合/=卜卜/-3x-4=0,xw/?}.

(1)当工中只有一个元素时，求a的值，并求出此元素;

(2)当/中有两个元素时，求a满足的条件；

(3)当N中至少有一个元素时，求a满足的条件.

分析:集合4为含参方程a/-3x-4=0的实数根构成的集合.因为方程所含参数

为二次项系数，所以该方程可以是关于x的一元一次方程，也可以是一元二次方

程，所以在研究该方程的实数根时,要分为两种情况进行讨论.

(1)当/中只有一个元素时，说明方程ax2-3x-4=0只有一个实数根，此时

4=0；或该方程有两个相等的实数根，此时。工0；

(2)当〃中有两个元素时，说明方程办2-3x-4=0为一元二次方程，此时aw0,

且方程有两个不相等的实数根；

(3)当4中至少有一个元素时，说明方程ax?-3%-4=0只有一个实数根或有两

个不相等的实数根，为(1)问和(2)问结果的综合.

解：(1)分为两种情况：

4

①当a=0时，原方程为:-3x-4=0,解之得:x=—

3

二〃={-g卜符合题意；

②当a工0时，由题意可知方程a/-3x-4=0有两个相等的实数根

.•.△=(-3y-4ax(-4)=0

9

解之得:。=-二

16

a

.•.原方程为:-3/一3》-4=0

16

解之得：X|=x=--

23

综上，当a=0时，集合力只有一个元素-3；当a=-2时,集合/只有一个元素-§；

3163

(2),：A中有两个元素

二方程a/-3x-4=0为一元二次方程，且有两个不相等的实数根

.卜工0

A=(-3)2-4tzx(-4)>0

9

解之得:a>---且aw0;

16

(3),：A中至少有一个元素

：.A中有一个元素或有两个元素

O

当〃中有一个元素时，由(1)可知:。=0或。=——;

16

o

当〃中有两个元素时，由(2)可知:“〉-巳且”0.

综上,a满足的条件是。2-2.

16

重要结论：

判断形如ax?+bx+c=0的方程的实数根的个数的方法是：

(1)当。=0时，方程可化为bx+c=0的形式：

①当时，方程有唯---个实数根x=-£;

b

②当6=0,c=0时，方程有无数个实数根；

③当6=0,CH0时，方程没有实数根；

(2)当awO时，原方程为关于x的一元二次方程：

①若△=/-4℃>0,则方程有两个不相等的实数根；

②若△=62-4公=0,则方程有两个相等的实数根(此种情况下表示方程的实数

根组成的集合时,集合只有一个元素)；

③若A=〃-4ac<0,则方程没有实数根.

例9.已知/={x|x2+px+q=x},B={x|(x-l):+p(x-l)+q=x+1},当2={2}时,

求集合B.

解:：/={2}

2

二方程/+px+q=x，即x+(p-l)x+q=0有两个相等的实数根，且再=x2=2

由根与系数的关系定理可得—1)=4

14=4

解之得：[P=7

[4=4

B-{x|(x-1)：+p[x-\)+q=x+1}={x|(x-1)2-3(x-1)+4=x+1}

整理得:8=卜,2一6X+7=0}

解方程得:1]=3+V2,X2=3—V2

・・・集合6={3+后,3—后}.

例10.设歹=--QX+6,4=^x\y-x=0},5={x\y-ax=0},若A={-3,l},试用列

举法表示集合B.

分析:本题要先由根与系数的关系定理求出。涉的值，然后把集合8中的方程转化

为关于x的具体的一元二次方程，解方程即可求出集合区

解：:y=/一QX+6

/.A={x\y-x=0}={x\x2-(a+l)x+6=0}

B={x,-ax=0}={x|x2-2ax+6=o}

,•&{-3,1}

**.X[=-3,x2=1是方程--(a+l)x+6=0的两个实数根

由根与系数的关系定理可得:+l=—2

[b=-3

(a=—3

解之得:<，:.B={xlx2—2ax+力=0}={x|x2+6x—3二0}

b=-3

解方程/+6工-3=0得:%,=-3+2A/3,X2=-3-243

：.集合5={-3+273-3-2右}.

例11.已知集合M=同(x-aX/_幻+4-1)=0}中各元素之和等于3,求实数a

的值,并用列举法表示集合M

分析:本题考查到集合元素的基本性质：互异性，注意分类讨论.

解:A/={x|(x-a)(x2-ax+a-1)=O}

/.M={x[(x-a)(x-l)[x-(a-1)]-0}

•••a工a-1,且集合M中各元素之和等于3

...当a=I时,M={1,0},I+0w3,不符合题意;

当=即a=2吐〃={2,1},2+1=3,符合题意;

当4/1且4*2时,〃=储,1,4—1},由4+1+4—1=3得4=|,此时〃=[21，；}，符

合题意.

综上，实数a的值为2或g,集合M={2,1}或/=*1]}・

提示:在用列举法表示有限集时，要注意集合元素的互异性.

题型二、集合元素的基本性质的应用

集合的元素具有确定性、互异性和无序性,其中对互异性的考查最为常见.

例12.已知集合N={a-2,苏+4a,l0},^-3e4,求实数a的值.

分析：由元素与集合之间的关系可求出实数。的值，但要注意所求。的值要保证

集合N中的元素互不相同，即满足互异性，所以要对求得的。的值进行检验.

解:当a-2=-3时，解之得:a=-l，此时/={-3,-3,10},不满足元素的互异性，舍去;

当+4a=-3时，解之得:a,=-1(已舍去)，4=-3

当a=-3时,4={一5-3,10)，符合题意.

综上，实数a的值为-3.

例13由实数羽-巧风47,-疗所组成的集合中，含有元素的个数最多有【】

(A)2(B)3(C)4(D)5

分析:本题主要考查集合元素的互异性.

解：=|x|VP-=-\x\

.,.①当X〉0时,=|x|=xVP'=-|x|=-x

...所组成的集合中含有2个元素x,-x;

②当x=0时，所组成的集合中，只有一个元素0;

③当X<0时,VP'=|x|=-X,-=-|x|=X

...所组成的集合中含有2个元素x,-x.

综上，含有元素的个数最多有2个.选择【A】.

题型三、元素与集合的关系

元素与集合的关系是从属关系,只有元素属于集合和元素不属于集合两种关系.

判断一个元素是否属于集合的方法是：

(1)弄清集合代表元素的含义以及集合所含元素的共同特征；

(2)看元素是否满足集合元素的共同特征.

例14已知集合/满足条件:若ae/,则匕若工€4且集合/中的

1-(73

元素不超过4个，求集合力中的其它元素.

分析:根据“若aw/,则上q€血。71)”，将4=1代入匕应即可求出集合/的

1-Q31—(7

另一个元素，以此类推，可得集合力中的其它三个元素.

1+-

解：—w/,.•---^=2eA

31-1

3

二集合，中的其它元素为

例15.已知集合〃++eM，则

与与N的关系是【】

(A)x§€N(B)史N

(C)X。€"或看任N(D)不能确定

xx=《+；,kez}={x2k+\

解：•••〃=x=,k&Z

2

•••集合M为全体奇数的一半所组成的集合

左+2

X=,keZ

2

・・・集合N为全体整数的一半所组成的集合

・•・若/£A/，则必有4£N.选择【A】.

令解:N={xx=g+l,%£z}=(xx=卜；,keZ

当左二2n(n€Z)时,N={x\x=〃+wZ};

当％=2〃-1(〃£Z)时,N=<xx=〃+GzL

x0GA/

可设。=（：）

Xuu+—2'AGZJ,，Xun£N.

（由后面可知，集合〃与集合N的关系为〃qN,所以若/e”,则有x,eN）

例16.已知集合N={x||x-l|<2,xeN},B={y|y=x2+l,xG/},则集合B中所有

元素之和为.

分析：先解绝对值不等式|x-l|«2,再用列举法表示出集合4下面给你补充简单

绝对值不等式的解法.

知识点简单绝对值不等式的解法

（1）国2。（。20）型不等式的解法：（.NO）oxNo或xW—a.

（2）|x|W“（aNO）型不等式的解法：WWo（。20）Q-aWxWa.

根据上面补充的结论，若,一心2,则一2Wx—lW2,解之得：—1WXW3.

解:,；4={x||x-1|<2,xeJV}={X|-1<x<3,xeTV-}={0,1,2,3}

3={*=—+1,X€a}={1,2,5,10},集合8中所有元素之和为18.

初升高之集合的概念测试题

资料编号：202307222203

1.若a,b,c,d为集合力的四个元素，则以a,b,c,d为边长的四边形可能是【】

(A)矩形(B)平行四边形(C)菱形(D)梯形

2.方程组=:的解集是

“一丁=1

(X=3

(A)\(B){%/卜=3且^=2}

b=2

(C){3,2}(D){(x,y)|x=3且y=2}

3.己知集合N=kW=x},下列说法正确的是

(A)-leA(B)leA(C)0任/(D)2EA

4.集合N=卜wNxeN1的元素个数为

(A)3(B)4(C)5(D)6

5.已知集合4中的元素x满足2x-a>0,且1e42wZ,则[]

(A)a>4(B)aW2

(C)2<aW4(D)2Wa<4

6.若Z={0J,2},6={3,4},M={x|x=ab,aee8},则V中元素的个数为[]

(A)3(B)4(C)5(D)6

7.(多选题)下列说法中不正确的是【】

(A)0与{0}表示同一个集合

(B)集合”={3,4}与％={(3,4)}表示同一个集合

(C)方程(x-4(x-2)=0的所有解的集合可表示为{1,1,2}

(D)集合{x|4<x<5}不能用列举法表示

8.已知集合4=卜€及辰2+2工+1=0}淇中。61<若1是集合N中的一个元素，则

集合4=[1

(A){-3}(B){1}(C),1}(D)《,11

9.已知x,乂z为非零实数，集合M=!+=+£+当]，下列判断正确的

IWblIWMJ

是【】

(A)4eA/(B)2GM(C)0任河(D)一4eA/

10.(多选题)给出下列说法，其中正确的是【】

(A)集合{xeN,=x}用列举法表示为{0,1}

(B)实数集可以表示为卜,为全体实数}或{R}

(O方程组尸+'=。的解组成的集合为

x—y=—1122J

(D)方程(x—2)2+(”3)2=0所有解组成的集合为{(2,-3)}

11.已知集合/={x|x2+2QX-Q<o},且一1e4,则实数〃的取值范围为.

12.已知集合A={x^ax2-3x+1=o},其中a为常数，且。ER.若A中至多有一个元

素，则实数。的取值范围为.

13.集合/={a2+。-2,1-凡2},若4G4,则a-.

14.已知集合N={x—eN,xeN},那么集合A用列举法可表示为.

15.已知集合〃中有且仅有2个元素，并且实数。满足aeN,

4-aw/,且aeN,4-awN,则A=.

16.(1)用列举法表示方程组I"：'：1的解组成的集合；

[x+夕=1

(2)用描述法表示不等式-l<2x+3<9的解集.

17.已知集合4与集合(？,。+仇0}是两个相等的集合，求/。24+〃。24的

值.

18.已知集合4={xQx?+2x+l=0,ae7?}.

（1）若leZ,用列举法表示集合N;

（2）当集合4中有且只有一个元素时，求a的值组成的集合区

初升高之集合的概念测试题答案解析

1.D2.D3.B4,C5.D6.C7.ABC

8.C9.A10.AD

11.卜12.{“/(或”。:13.214.{1,2,3,4}

15.{0,4}或{1,3}

16.解：(1)解方程组

〔/+/=ME"

方程组1的解组成的集合为{(0,1),(1,0)};

[x+y=\

(2)解不等式-l<2x+3<9得:-2<x<3

，不等式-l<2x+3<9的解集为{x|-2<x<3}.

QW0

17.解：由题意可得：〃，.•"=()

—=0

「・A={a,0,1},{〃2,Q+6,0}={a2,a,。}

显然—1,Q2=1，解之得：。=—1(Q=1舍去)

Aa2024+Z?2024=(_1)2024+()2024=1

18.解：(1);IE/

・・・]=1是方程。/+2工+1=()的实数根

a+2+1=0，解之得:(7=—3

2

—3x+2x+1=0，解之得:x}—l,x9=

(2)当Q=0时,2x+l=0,解之得：x=-g,・'・/二1一g卜符合题意;

当。工0时，方程"+2x+1=0有两个相等的实数根

.**A=4—4a—0，解之得:tz=1,A—|X|JC2+2x+1=o}={-1}，符合题意.

综上所述,。的值组成的集合B={0,1}.

初升高之集合间的基本关系

一、本节知识点

（1）Venn图,表示集合的图示法；

（2）子集的含义及表示；

（3）集合相等；

（4）真子集的含义及表示；

（5）空集的含义及其性质；

（6）子集'真子集个数的确定.

知识点一Venn图

在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图

（韦恩图）.这种表示集合的方法叫做图示法.

关于Venn图：

（1）Venn图的边界是封闭的曲线，它可以是椭圆、圆、矩形，也可以是其它的封

闭曲线；

（2）用Venn图表示集合的优点是能直观地反映集合之间的关系,缺点是集合元

素的共同特征不明显.

知识点二子集的含义及表示

子集反映的是集合之间的包含关系.

一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中的任意一个元素都是集合3中的元

素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作Z=6（或

B=A），读作7含于8”（或“5包含A"）.

对子集的理解：

（1）8的Venn图表示：

（2）4=8的符号表述:对任意的xe2,都有xe8.

（3）若集合A中存在不属于集合B的元素时,则集合A不是集合B的子集.

（4）空集是任何集合的子集.

子集的性质：

（1）任何一个集合都是它本身的子集（包括后面的空集，即0=0）;

（2）传递性:若/==则N=

子集的应用

根据集合之间的关系可以确定参数的值或取值范围.

若/q8，在未指明A非空时，要分两种情况进行讨论：

①/=0;

②/*0.

知识点三集合相等

如果集合A是集合B的子集（/=8），且集合B是集合A的子集（3=4）,

此时集合A与集合B的元素是一样的，集合A与集合B相等，记作A=B.

上面也即互为子集的两个集合相等.

集合A=B的符号表述:若Z工8,且8q则/=8.

如何证明两个集合相等

对于两个集合A,B，若要证明A=B，只需证明AqB与B=A均成立即可.

如何判断两个集合相等

（1）当两个集合为有限集时,若两个集合的元素个数相同，且都含有相同的元素,

则这两个集合相等.

（2）当两个集合为无限集时，若两个集合的代表元素满足的条件一致，则两个集合

相等.

注意:集合相等与集合的形式无关，形式不同的两个集合也可以相等.

如{xeZ|0<x<3}={1,2}.

知识点四真子集的含义及表示

如果集合AqB，但存在元素xe8,且x任Z,我们称集合A是集合B的真子集,

记作（或8圣〃），读作“〃真含于夕’（或“8真包含〃”）.

对真子集的理解:

（1）的Venn图表示:

（2）的符号表述:若且则458.

（3）若则B中至少存在一个4中没有的元素.

（4）规定0是任何非空集合的真子集，即若/w0,则05N.

子集与真子集的关系

若/18,则4=6或256.

知识点五空集的含义及其性质

不含任何元素的集合叫做空集，记作0.

空集的性质：

（1）空集是任何集合的子集（包括空集）.

（2）空集只有一个子集,是空集，即它本身.

（3）空集是任何非空集合的真子集，即若NN0,则0*4

重要提醒:在由集合间的关系确定参数的值或参数的取值范围时，注意对空集的

讨论.

知识点六子集、真子集个数的确定

若集合/含有〃个元素，则集合A:

（1）含有2"个子集；

（2）含有2"-1个非空子集；

（3）含有2"-1个真子集；

（4）含有2"-2个非空真子集.

知识点七关于集合为空集的重要结论

(1)若集合A={x\mVx4〃}=0,则机>〃；

(2)若集合A-{X|/M<x<〃}=0,则2”；

(3)若集合A={X|/M<x<n}=0^A={x[m<x<n}=0，则m》〃.

以上结论，在解决由集合间的关系确定参数取值范围的问题时要会灵活运用,

并注意分类讨论(如关于空集的讨论).

二、例题讲解

例1.已知集合A={x|x<一I或x>4},8={x\2aKx〈a+3},若6q/,求实数q的

取值范围.

分析：这是一道由集合间的关系确定参数的取值范围的问题，注意数形结合思想

和分类讨论思想的应用.

因为8=/,集合8中含有参数，所以分为两种情况:①8=0;②8/0.对于

8这种情况，要借助于数轴来完成对参数的约束，从而可以确定参数的取值

范围.

最后需要说明的是，参数的取值范围要表示成集合的形式.

解:,；B=A,B={x\2a4x4a+3},...分为两种情况：

①当8=0时,2a>a+3,解之得:a>3;

②当3*0时，则有3或产<。+3,解之得："_^2<QW3.

综上，实数a的取值范围为{a[a<-4或a>2}.

例2.已知集合A-{x|-3<x<4},B={x\2m-1<x<m+1},若8口/,求实数〃?的

取值范围.

分析：需要知道的是由集合间的基本关系可以确定参数的取值范围.

本题在分类讨论时要用到下面的结论：

关于集合为空集的重要结论

(1)若集合N={x\m4x4〃}=0,则加>〃；

(2)若集合N=[x\m<x<〃}=0,则加2〃；

（3）若集合Z={x\m4x<”}=0或4={x\m<x4〃}=0,则加2〃.

最后，实数m的取值范围最好写成集合的形式.

解：8=4,8=（x\2m-1<x<7M+1}

.♦.分为两种情况：

①当8=0时,2加一1>加+1，解之得:m>2;

2m-1<m+1

②当8工0时，则有：，2^-1>-3，解之得W2.

m+1<4

综上,实数机的取值范围为何加2-1}.

例3.设集合/={x|x2+4x=o},5={x|x2+2（a+l）x+a2-1=o},若8屋/，则实

数。的值取值范围为.

分析:在进行分类讨论时要做到不重不漏，特别注意不能漏掉对8=0的讨论.解

决本题还要明白以下两点：（1）空集是任何集合的子集；（2）空集是任何非空集

合的真子集.

解：Z=|x|x-+4x=o}={0,-4}

,:B三A,B={x|x2+2（a+l）x+a1-1=0}

.•.分为两种情况：

（1）当8=0时，方程/+2（。+l）x+d-1=0没有实数根

△=[2（a+l）『一4年—1）<0,解之得1;

（2）当8R0时，则有8={0}或8={—4}或8={0,-4}

①当B={0}或8={-4}时，方程/+2（。+l）x+/一1=0有两个相等的实数根

A=[2（a+1）]"—4（a~—1）=0，解之得:a=—1

.•.8={0}符合题意；

②当八{0,-4}时，由根与系数的关系定理可得:匚2匕[：=—4

解之得:a=1.

综上，实数a的值取值范围为{a|a=1或a<-1}.

例4.已知集合/={x|—24x<5}.

(1)若BqA,B={x|w+l<x<2加一1},求实数机的取值范围；

(2)若/=8,8={x|加-64x42m-l},求实数机的取值范围；

(3)若A=B,B={x\m-6Vx<2〃?一1},求实数m的取值范围.

解：(I)3a4,8={x|/w+14x42十-1},...分为两种情况:

①当B=0时,利+1>2m-1，解之得:m<2;

②当8H0时,则有：

w+1<2m-1

<m+l>-2，解之得:2WMW3.

2/w-1<5

综上所述,实数机的取值范围是侧加<3);

(2)A^B,A={x\-2<x<5},：.B^<Z>

m-6<2m-\

则有:vm—6W—2，解之得:3WmW4

2m-1>5

...实数4的取值范围是祠34mV4};

(3)•:A=B

―6=-2

一，无解，即不存在实数m，使得A=B.

2m-1=5

例5.已知集合/={x|x>O,xeR},B={x|x2-x+p=O},且3=/,求实数p的取

值范围.

分析：本题的解决要用到关于一元二次方程的结论.

一元二次方程如2+bx+c=O（a工0）有两个正根的条件是：

A>0

<X]+=-->0

a

x,-x=—>0

.2a

一元二次方程ax2+bx+c=0(。w0)有两个负根的条件是：

A>0

b八

〈X1+x=——<0

2a

x,-x,=—>0

.'a

解：6=={x|x2-x+0},.,.分为两种情况：

①当B=0时,△=(一1丫一4P<0,解之得:p>~；

4

②当8n0时，方程/一%+2=0有两个正实数根,则有：

△=(—1)2-4p>0

,须+》2=1>0，解之得：0<pW；.

x]x2=p>0

综上所述，实数P的取值范围是{p\p>0}.

例6.已知集合A={x|x2-4/nx+2m+6=O},8={x|x<0},若/q8，求实数用的

取值范围.

解:•••4=3,.•.分为两种情况:

a

①当A=0时,A=(-4/w)--4(2加4-6)<0，解之得:一1<加<§;

②当4w0时，方程x2-4mx+2加+6=0有两个负实数根,则有：

A=(-4m)2-4(2/72+6)>0

<X,+x2=4加<0，解之得:-3<加W-1.

x,x2=2〃z+6>0

综上所述,实数m的取值范围是卜-3</〃<|}.

例7.已知集合N=卜卜/一3x+2=o}.

（1）若0呈/,求实数a的取值范围；

（2）若3=郎2一%=（）},且4工8,求实数4的取值范围;

分析对于（1）,因为空集是任何非空集合的真子集，所以集合4不是空集，据

此列出参数a满足的条件，注意对参数分类讨论；

对于（2）,若未说明集合Z非空，则要分4=0和两种情况讨论.

解：（1）,.,0呈4,二/H0

当a=0时,-3x+2=0，解之得:x=|，此时A={|}，符合题意;

Q

当aR0时，则有A=9-8。20,解之得:aW—.

8

综上所述，实数a的取值范围是《«<|j；

(2)B-{x|x2一x=o}={0,1},AqB

，4=0或工={0}或/={1}或/={0,1}

显然,a=0不符合题意,，ar0

9

a>-

当4=0时，则有A=9-8a<0,解之得:8

a

当N={0}或/={1}时，则有△=9—8a=0，解之得:a=-，此时A，不符合题

8

音.

当N={0,1}时，则有△=9-8a〉0,解之得:a<2,由根与系数的关系定理可得:

8

（-3

0+1=——

<a，解之得:无解.

0x1=-

.a

综上所述，实数a的取值范围是

8J

初升高之集合的基本运算

资料编号:202307241001

本节知识点：

(1)并集.

(2)交集.

(3)全集与补集.

(4)德•摩根定律.

知识点一并集

自然语言一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合

A与集合B的并集，记作4U8，读作7并

符号语言={x|xe或xe6}.

图形语言(用Venn图表示并集)图中阴影部分表示两个集合的并集.

OO

(1)Z与5有公共元素，相互不包含(2)/与8没有公共部分

一

(3)A既B(4)B砥A

(5)A=B

对并集的理解

(1)求两个集合的并集是集合的一种运算，结果仍是一个集合，它是由属于集合A

或集合8的元素组成的.

（2）并集概念中的“或”“xe4或xe8”分为三种情况:

①xw/,但x定8;②x纪N,但xwB;③xe/,且xeB.

（3）根据集合元素的互异性，在求两个集合的并集时,两个集合中的公共元素在并

集中只能出现一次.

并集的性质

性质说明

并集运算满足交换律

（NU8）UC=NU（BUC）并集运算满足结合律

A\J0=A任何集合与空集的并集等于这个集合本身

A\JA=A任何集合与其本身的并集等于这个集合本身

若4U8=8,则N=B并集运算与子集关系的转化

任何集合都是该集合与另一个集合的并集的

子集

求并集的方法

（1）求两个有限集的并集按照并集的定义进行计算，但要特别注意集合元素

的互异性.

（2）求两个无限集的并集借助于数轴进行计算.注意两个集合的并集等于这两

个集合在数轴上对应的图形所覆盖的全部范围.

知识点二交集

自然语言一般地，由属于集合/且属于集合8的近直元素组成的集合，称为集合

A与集合B的交集，记作，读作7交B'\

符号语言A^\B={x|xeA,RxGB].

图形语言（用Venn图表示交集）图中阴影部分表示两个集合的并集.

如下页图所示.

（1）〃与8有部分公共元素（2）2与8无公共元素,/口3=0

(3)若则4n8=8(4)若则/nB=N(5)A[}B=A=B

对交集的理解

（1）求两个集合的交集是集合的一种运算，结果仍是一个集合，它是由属于集合A

且属于集合B的所有元素组成的集合，及两个集合的公共元素所组成的集合.

（2）交集概念中的“所有”二字不能省略,否则会漏掉一些元素，一定要将两个集合

中的相同元素（公共元素）全部找出来.

（3）当集合力与集合B没有公共元素时，不能说集合A与集合B没有交集，而是

交集为空集,.

交集的性质

性质说明

znsmz交集运算满足交换律

ACl0=0任何集合与空集的交集都是空集

AQA=A任何集合与其本身的交集等于这个集合本身

(AQB)ac=An(Bac)交集运算满足结合律

（/nmuc=（/uc）n（8uc）满足分配律

(^U5)Ac=(^nc)U(5Ac)

若Zn8=/,则Z=6交集运算与子集关系的转化

两个集合的交集是其中任何一个集合的子集

求交集的方法

(1)求两个有限集的交集按照交集的定义进行计算，但要特别注意一定要找出

两个集合中的所有公共元素.

(2)求两个无限集的交集借助于数轴进行计算.两个集合的交集等于这两个集

合在数轴上对应的图形所覆盖的公共范围.

知识点三全集与补集

全集一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这

个集合为全集，记作U.

补集对于一个集合4由全集。中不属于工的所有元素组成的集合称为集合/

相对于全集U的补集，简称集合〃的补集，记作心儿即

Ct/Z={x|xe。，且x史A}.

用Venn图表示为:

对补集的理解

(1)补集是相对于全集而言的，求一个集合的补集，结果因全集的不同而不同.所

以求补集前，要先明确全集.

(2)补集既是集合间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算.

(3)符号有三层意思：

①CuA={x|xeU,SLXA);

②CuZ是U的一个子集，及(h/)工U;

③WuA表示一个集合.

补集的性质

①(Cu4)U/=。；(2)(Ct/rJ)nA=0;③Of(C(/J)=A;

④CuU=0;⑤h，0=U.

知识点四德•摩根定律

集合运算中的两个重要等式，即德•摩根定律（图解）.

（1儿（4A8）=（C⑷U（C消）

(2)CU(4LIB)=(C⑷G5)

知识点五重要结论

如图所示，集合/,3将全集。分成了四部分,这四部分用集合表示如下:

（1）①表示zriB；

（2）②表示zn（Cu5）;

（3）③表示8n（CuZ）；

（4）④表示（厚⑷n&8）.

知识点六集合中元素的个数

若集合Z为有限集，则用card(Z)表示集合/中元素的个数.

如果集合力中含有加个元素，那么有card(^)=m.

(1)一般地，对于任意两个有限集合民有

card(AU8)=card(/)+card(5)—card(ND8).

(2)一般地，对于任意三个有限集合Z,8,C,有

card(/U8UC)=card(J)+card(5)—card(/A5)—card(/DC)—card(8DC)+

card(znBnC).

例题讲解

题型一并集运算

一般地，由所有属于集合/或属于集合8的元素组成的集合，称为集合/与集

合B的并集，记作A\JB，读作“4并8”.即

ZU6={x|xG4或xeB}.

求并集的方法

(1)求两个有限集的并集按照并集的定义进行计算，但要特别注意集合元素

的互异性.

(2)求两个无限集的并集借助于数轴进行计算.注意两个集合的并集等于这两

个集合在数轴上对应的图形所覆盖的全部范围.

例1.已知集合么=卜€川1〈》43},8={2,3,4,5},则/118=[]

(A){2}(B){2,3}

(C){2,3,4,5}(D){1,2,3,4,5}

分析：将一个用描述法表示的集合转化为用列举法表示时，一定要弄清代表元素

的含义或特征.

求两个集合的并集运算时，可以按照并集的定义进行，也可以用Venn图求解

或借助于数轴求解.

解:4={xeN|1<x<3}={1,2,3}

，/U8={1,2,3}U{2,3,4,5}={1,2,3,4,5}.

选择【D】.

例2.已知集合/={乂》21},8=卜k2一2》一3<0},则/1]8=.

分析：先解一元二次不等式x,-2x-3<0,求出集合瓦然后把集合4、8在数轴

上画出来，它们对应图形所覆盖的全部范围即为NU3.

W：V5={X|X2-2X-3<0}={X|-1<X<3}~,

A\^B-{x|x>1}U{x|-1<x<3}={x|x>-1}.

例3.已知集合/={1,3,疝},8={1,机},若406=4则加等于【