《立体图形的直观图》考点讲解复习与同步训练

（8.2立体图形的直观图》考点讲解

【思维导图】

画法、常用斜二测画法

①原图形中谢、y轴、z轴两两垂直，直观图中，X,轴、/轴

的夹角为45°（或135。）,z，轴与/轴和，轴所在平面垂直.

立

体规则②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴.

图

形平行于渊和z轴的线段在直观图中保持原长度不变,

的

直平行于渊的线段长度在直观图中变为原来的一半

观

图

佳标轴的夹角改变,

“三交”与j•轴平行的线段的长度变为原来的一半

图形改变.

三变与三不变

不行性不改变,

“三不变”与X轴和I轴平行的线段的长度不改变

相对位置不改变.

考法一平面图形的直观图

【例1-1]按图示的建系方法，画水平放置的正五边形月比"的直观图.

1-2].如图，四边形A‘B'c,zy是边长为1的正方形，且它是某个四边形按斜二测

画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积.

B'

【一隅三反】

1.一个菱形的边长为4M，一内角为60°,将菱形水平放置并且使较长的对角线成横

向，试用斜二测画法画出这个菱形的直观图。

2.画出图中水平放置的四边形A3CD的直观图.

考法二空间几何体的直观图

【例2-1】用斜二测画法画一个棱长为3以?的正方体的直观图.

【例2-2].用斜二测画法画一个正六棱柱的直观图.

【一隅三反】

1.用斜二测画法画一个上底面边长为1c•勿,下底面边长为2cn，高（两底面之间的距离,

即两底面中心连线的长度）为2a7的正四棱台.

2.用斜二测画法画出底面边长为2c勿，侧楼长为3面的正三棱柱的直观图.

3.画底面半径为1cm,母线长为3a〃的圆柱的直观图。

4.画出各条棱长都相等的正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的直观图.

考法三直观图与原图的周长面积

【例3】如图是水平放置的四边形力比。的斜二测直观图AB'C'ZX,且AO'||y’轴,

AB'P"轴，则原四边形力笈刀的面积是（)

A.14B.10拒C.28D.14&

【一隅三反】

1.△A6C是边长为1的正三角形，那么△A6C的斜二测平面直观图△A'8'C'的面

积（）

#y/by/3y/3

A•D•-----v•L.

16884

2.用斜二测画法画如图所示的直角三角形的水平放置图，正确的是（）

3.△A6C为边长为2板的正三角形，则其水平放置《斜二测画法》的直观图的面积

为.其直观图的周长为.

考向四斜二测法

［例4］关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是（）

A.原图形中平行于x轴的线段,其对应线段平行于x轴,长度不变

B.原图形中平行于y轴的线段,其对应线段平行于y轴,长度变为原来的y

C.在画与直角坐标系xOy对应的坐标系x'。，'时，Nx'oy必须是45°

D.在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同

【一隅三反】

1.利用斜二测画法画直观图时，下列说法中正确的是（）

①两条相交直线的直观图是平行直线；②两条垂直直线的直观图仍然是垂直直线；③正

方形的直观图是平行四边形；④梯形的直观图是梯形.

A.B.③®C.①③D.②④

2.下列说法正确的是（）

A.互相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线

B.梯形的直观图可能是平行四边形

C.矩形的直观图可能是梯形

D.正方形的直观图可能是平行四边形

3.下列命题中正确的是（）

A.利用斜二测画法得到的正方形的直观图是正方形

B.利用斜二测画法得到的平行四边形的直观图是平行四边形

C.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱

D.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台

《8.2立体图形的直观图》考点讲解答案解析

考法一平面图形的直观图

【例按图示的建系方法，画水平放置的正五边形力腐应的直观图.

【答案】参考答案见试题解析.

【解析】

画法：

（1）在图（1）中作力£Lx轴于G,作加ALx轴于"

(2)在图(2)中画相应的V轴与/轴，两轴相交于点0',使NV0'/=45°.

(3)在图(2)中的轴上取。'B'=0B,O'G'=0G,O'C=0C,GH'=0H,

V轴上取。F=3区分别过，和〃作/轴的平行线，并在相应的平行线上取G'A1

=倒，〃ff=驷

(4)连接/B'，A'E,FD‘，D’C,并擦去辅助线G'/,〃。，V轴

与/轴，便得到水平放置的正五边形仍。宏的直观图4HCD'E1(如图(3)).

【例1-2】.如图，四边形A8C'。是边长为1的正方形，且它是某个四边形按斜二测

画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积.

【答案】图像见解析，2五

【解析】

画出平面直角坐标系xQy,使点A与原点。重合，在“轴上取点C,使AC=夜，

再在y轴上取点O,使AD=2,取AC的中点E,连接DE并延长至点B,使DE=EB，

连接OC,CB,R4,则四边形ABC。为正方形A'5'C'。'的原图形，如图所示.

易知四边形488为平行四边形.

VAD=2^AC=4i，

即原图形的面积为

A54fiCD=2xV2=25/2,2&・

【一隅三反】

1.一个菱形的边长为4cm,一内角为60°,将菱形水平放置并且使较长的对角线成横

向，试用斜二测画法画出这个菱形的直观图。

【答案】见解析.

【解析】

菱形直观图如下：

2.画出图中水平放置的四边形A8C£＞的直观图.

【答案】图见解析.

【解析】

由斜二测画法：纵向减半，横向不变；即可知/、C在对应点A(3』),C'(0,g),而8、

〃对应点位置不变，如下图示:

y

2

3.如图，VA夕C是水平放置的AA5C斜二测画法的直观图，A'C'=6,*C=4,

能否判断△ABC的形状并求A9边的实际长度是多少？

【答案】答案见解析

【解析】根据斜二测画法规则知：NAC8=9(T，故△ABC为直角三角形,

△4AC中，AC=6,BC=8,故ABAAC'BC?=。

考法二空间几何体的直观图

【例2-1]用斜二测画法画一个棱长为3腐的正方体的直观图.

【答案】见解析

【解析】

如图所示：在空间直角坐标系中画出一个正方体的直观图，

擦除坐标轴，即可得到直方图的直观图.

【例2-2].用斜二测画法画一个正六棱柱的直观图.

【答案】见解析

【解析】

（1）如图，在正六边形4BCDE/中，取AO所在直线为*轴，AO的垂直平分线MN

为y轴,两轴相交于点。在图中，面相应的V轴与），'轴，两轴相交于点O，使Nx'Oy'=45°；

（2）根据斜二测画法法，画出正六边形48co£尸水平放置的直观图A8CDEF；

（3）画侧棱，过A8,C,O,E,厂各点分别作z轴的平行线，得到正六棱柱的侧棱；

（4）成图，顺次连接并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部

分改为虚线），

【一隅三反】

1.用斜二测画法画一个上底面边长为1的,下底面边长为2的,高（两底面之间的距离,

即两底面中心连线的长度）为2M的正四楼台.

【答案】见解析

【解析】（1）画轴.如图（1）所示，画/轴、y轴、z轴，三轴相交于点0,使

NxOy=45°,ZxOz=90".

（2）画下底面.以点。为中点，在x轴上截取线段MN=2cm,在y轴上截取线段

PQ=lcm,分别过点M,N作y轴的平行线，过点P,。作x轴的平行线，设它们的交点分

别为4,8,C,£）,四边形A8CO就是正四棱台的下底面.

（3）画高.在。上截取OO'=2cm，过O'分别作平行于Ox,Oy的直线01,0y'.

（4）画上底面.在平面x'Oy'上用画正四棱台下底面的方法画出边长为1。勿的正四棱台

的上底面的直观图

（4）成图.顺次连接整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚

线）得到正四棱台的直观图，如图（2）所示.

2.用斜二测画法画出底面边长为2的，侧楼长为3面的正三棱柱的直观图.

【答案】见解析.

【解析】

正三棱柱直观图如图：

3.画底面半径为1的，母线长为3cm的圆柱的直观图。

【答案】见解析.

【解析】

圆柱直观图如图：

4.画出各条棱长都相等的正六棱柱（底面是正六边形，侧棱垂直于底面）的宜观图.

【答案】见解析

【解析】

第一步：画£轴、y'轴、z'轴，使Nx'Oy=45°,Nr'O'z'=90°

第二步：按£轴、了轴，画正六边形的直观图A8CDM

第三步：过A,8,C,O,民尸各点分别作z'轴的平行线，并在这些平行线上分别截取

阴BB\CC；DD\EE\FF都等于棱AB的长

第四步：顺次连接A,B\C\。',E：F,去掉辅助线及字母，将被遮挡的部分改为虚线,

就得到所求作的正六棱柱的直观图.

考法三直观图与原图的周长面积

【例3】如图是水平放置的四边形力应力的斜二测直观图A3'C'。'，且A。'||y’轴,

A'8'Px'轴，则原四边形4?口的面积是（）

A.14B.10V2C.28D.145/2

【答案】C

【解析】

（方法一）还原平面图形，如图左所示，延长交V轴于E'，如图右所示，画出

平面直角坐标系，取OE=OE,过点£作E尸|及轴，在〃上截取EA=2A'£，

AD=2A'Df=8»再过点〃作。C〃x轴，过点力作轴，并截取DC=D,C'=2，

AB=A'8'=5・连接BC,可得直观图AUCZT的原平面图形ABCD.

由作出的图形可知，S四边形4g。=3、（2+5）乂8=28.

（方法二）因为大小=4,所以梯形AB'。'。'的高为2a，

故^A'B,C,D'=2*2>/^"x（2+5）=7*^2,

则S四边形A8CD=2夜S梯形川用仁犷=28.

故选：c

【一隅三反】

1.AA6c是边长为1的正三角形，那么AA/C的斜二测平面直观图△49C'的面

积（）

卜瓜口在C百

A.D•C•L•---

16884

【答案】A

【解析】

以A片所在直线为无轴，级段4B的垂直平分线为y轴，建立宜角坐标系,

画对应的£轴，画轴，使Nx'O'y'=45使如下图所示,

6x/3

结合图形，AABC的面积为=—xABx0C=—x1x----=-----9

2224

作垂足为。，

则。。=旦0°=与1。。=立。。，AB=A'B^

2224

所以△A'3'C'的面积SA0U=』XAEXC力=^x也

xOCxAB—^S

4ABe2244AABC

即原图和直观图面积之间的关系为学里=",

S原图4

所以，，'夕。’的面积为5八k=立、丑=巫

小丘4416

故选：A.

2.用斜二测画法画如图所示的直角二角形的水平放置图，正确的是()

B.

D.

【答案】B

【解析】

在直观图中此角为钝角，排除C和D,

又原三角形的高在轴上，在直观图中在y上，长度减半，排除A.

故选：R.

3.△ABC为边长为2cm的正三角形，则其水平放置《斜二测面法》的直观图的面积

为.其直观图的周长为.

【解析】

如图所示

1

△ABC为边长为2cm的正三角形，

则其水平放置的直观图力C'的面积为

X2X(1X2Xsin60。)Xsin45。—加

S=—BC,0A—■sin45°=—

△八22224

其直观图△48。'的周长为

L=A3+3C+CA

=，/+（等）-2xlx等xcosl35。+2*卜+-2xlx乎xcos45"

=（渔+L+2+（且/）=2+6

22227

故答案为：直，2+76.

4

考向四斜二测法

［例4］关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是（）

A.原图形中平行于彳轴的线段，其对应线段平行于不轴，长度不变

B.原图形中平行于y轴的线段,其对应线段平行于y轴，长度变为原来的y

C.在画与直角坐标系xOy对应的坐标系x'O'y'时，NVO'y'必须是45°

D.在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同

【答案】C

【解析】根据斜二测画法的规则,平行于x轴或在x轴上的线段其长度在直观图中不变,

平行于y轴或在y轴上的线段其长度在直观图中变为原来的y,并且NxO,y=45°或

135°,

故选：C.

【一隅三反】

1.利用斜二测画法画直观图时，下列说法中正确的是（）

①两条相交直线的直观图是平行直线；②两条垂直直线的直观图仍然是垂直直线；③正

方形的直观图是平行四边形；④梯形的直观图是梯形.

A.B.③®C.①@D.②④

【答案】B

【解析】根据斜二测画法的规则，可得两条相交直线的直观图仍然是相交直线，所以①

错；

两条垂直直线的直观图是两条相交但不垂直的直线，所以②错；

根据直观图的画法中，平行性保持不变，可得③，④正确.

故选：B.

2.下列说法正确的是（）

A.互.相垂直的两条直线的直观图仍然是互相垂直的两条直线

B.梯形的直观图可能是平行四边形

C.矩形的直观图可能是梯形

D.正方形的直观图可能是平行四边形

【答案】D

【解析】A项，原图形相互垂直的两条直线在直观图中不一定相互垂直，故A项错误。B

项，原图形中平行的两条线段仍然平行，不平行的两条线段也不会平行，所以梯形的直观图

不可能为平行四边形，故B项错误。C项，原图形相互垂直的两条直线在直观图中不一定仍

然相互垂直，但是原图形相互平行的两条线段在直观图中仍然互相平夕亍，所以矩形的直观图

中对边仍然平行，所以矩形的直观图可能为平行四边形而不能为梯形。故C项错误。D项，

原图形相互垂直的两条直线在直观图中不一定仍然相互垂直，但是原图形相互平行的两条线

段在直观图中仍然互相平行，所以正方形中垂直的两边不一定仍然垂直,但是对边仍然平行,

所以正方形的直观图可能是平行四边形。故D项正确。选D

3.下列命题中正确的是（）

A.利用斜二测画法得到的正方形的直观图是正方形

B.利用斜二测画法得到的平行四边形的直观图是平行四边形

C.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱

D.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体口」棱台

【答案】B

【解析】利用斜二测画法得到的正方形的直观图是平行四边形；

利用斜二测画法得到的平行四边形的直观图是平行四边形；

有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱；

用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体才是棱台；

因此B正确，选B.

《8.2立体图形的直观图（精练）》同步练习

【题组一平面图形的直观图】

1.用斜二测画法画出下列水平放置的等腰直角三角形的直观图；

（1）直角边横向；（2）斜边横向.

2.用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（尺寸自定）.

（1）矩形；（2）平行四边形；（3）正三角形；（4）正五边形

3.用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.

4.如图所示是由正方形力及⑦和正三角形狈所构成的平面图形，请画出其水平放置的

直观图.

5.用斜二测画法画出图中水平放置的四边形OABC的直观图.

【题组二空间几何体的直观图】

1.画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图并说明画法.

2.若给定长，宽，高分别为4cm,3M,2c勿的长方体43977,如何用斜二测画

法画出该长方体的直观图?

3.已知一棱柱的底面是边长为3cm的正方形，各侧面都是矩形，且侧棱长为4cm,试

用斜二测画法画由此棱柱的直观图.

4.画出一个上、下底面边长分别为1,2,高为2的正三棱台的直观图.

5.画出底面是正方形,高与底面边长相等且侧棱均相等的四棱锥的直观图.

6.已知一个圆锥由等腰直角三角形旋转形成，画出这个圆锥的直观图.

7.一个简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个半球，并且半球

的球心就是圆柱的」•底面圆心，画出这个组合体的直观图.

8.如图为一几何体的平面展开图，按图中虚线将它折叠起来，画出它的直观图.

【题组三直观图的面积周长】

1.如图，5c的斜二测直观图为等腰咫其中R8'=2,则AABC的面积

为（）

A.2B.4C.2&D.4&

2.用斜二测画法画水平放置的AA/C的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形

VAEC.己知点O'是斜边6'C’的中点，且A也=1,则AASC的边5c边上的高为（）

A.1B.2C.720.2&

3.如图，正方形O'AB'C的边长为2cm,它是水平放置的一个立面图形用斜二测画法

得到的直观图，则原图形的周长是（）

A.16cmB.12cmC.10cmD.18cm

4.已知用斜二测画法得到的某水平放置的平面图形的直观图是如图所示的等腰直角

△O'8'C'，其中。'9=1,则原平面图形中最大边长为（）

A.2B.2&C.3D.20

5.如图，平行四边形是水平放置的•个平面图形的直观图，其中O'A'=4,

O'C'=2，NA'（7C=30。，则下列叙述正确的是（)

A.原图形是正方形B.原图形是非正方形的菱形

C.原图形的面积是8&D.原图形的面积是8b

6.把四边形按斜二测画法得到平行四边形43'。。'（如图所示），其中

B'O'=OC=2,00=6,则四边形A3CO一定是一个（）

A.菱形B.矩形C.正方形D.梯形

7.如图所示，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知

直观图OA'5'C'的面积为4,则该平面图形的面积为（）

A.近B.4夜C.8&氏2夜

8.如图所示，正方形O'A'8C'的边长为1cm,它是水平放置的•人平面图形的直观图,

则原图形的周长是（）

1

(VAx

A.6cmB.8cmC.2+3&cmD.2+2\/3cm

9.如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为〃的正方形。Tire,则

原平面图形的周长和面积分别为（）

A.2a,——a2B.8。，2&储

4

C.a,a2I）.近a，2a2

9.如图所示，正方形的边长为1cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图,

则原图形的面积是（）

A.1cm2B.2^2cm2

C.3&cm2【）.——cm2

10.一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45。，腰和上底长均为1的等腰梯

形，则该平面图形的面积等于（）.

C，也D.]+"

A.1+72B.2+0

222

11.如图，边长为1的正方形O'ARC’是•个水平放置的平面图形。钻C的直观图,

则图形O4BC的面积是（）

/o'A，xf

A.近--□B.e---

42

C.V2D.2>/2

IT

12.已知边长为1的菱形A5CQ中，ZA=-,则用斜二测画法画出这个菱形的直观

3

图的面积为（）

A73百C指

2468

13.己知正三角形4%的边长为2,那么/力回的直观图△45G的面积为（）

N&R_L,«「、不

2244

14.如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，则其原平面图形的面积为.

【题组四斜二测画法】

1.下列命题中正确的是（）

A.正方形的直观图是正方形

B.平行四边形的直观图是平行四边形

C.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱

D.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台

2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法不正确的是（）

A.原来相交的仍相交B.原来垂直的仍垂直

C.原来平行的仍平行D.原来共点的仍共点

3.用斜二测画法画水平放置的平面图形直观图时，下列结论中正确的个数是（）

①平行的线段在直观图中仍然平行；②相等的线段在直观图中仍然相等；

③相等的角在直观图中仍然相等；④正方形在直观图中仍然是正方形

A.1B.2C.3D.4

4.下列说法正确的是（）

A.用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分称为棱台

B.空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等

C.通过圆台侧面上一点，有且只有一条母线

D.相等的角在直观图中对应的角仍相等

5.在用斜二测画法画水平放置的△A6C的直观图时，若在直角坐标系中NA的两边分

别平行于x轴、y轴，则在直观图中等于（）

A.45°B.135°C.90°D.45°或135°

6.利用斜二测画法画直观图时，下列说法中正确的是（）

①两条相交直线的直观图是平行直线；②两条垂直直线的直观图仍然是垂直直线；③正

方形的直观图是平行四边形：④梯形的直观图是梯形.

A.®@B.③®C.①@D.②③

<8.2立体图形的直观图（精练）》同步练习答案解析

【题组一平面图形的直观图】

1.用斜二测画法画出下列水平放置的等腰直角三角形的直观图；

（1）直角边横向：（2）斜边横向.

【答案】见解析.

【解析】（1）直角边横向如图①②.

（2）斜边横向如图③

2.用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（尺寸自定）.

（1）矩形；（2）平行四边形；（3）正三角形；（4）正五边形

【答案】见解析

【解析】（1）根据斜二测画法的规则，可得：

（3）根据斜二测画法的规则，可得:

（4）根据斜二测画法的规则，可得:

3.用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.

【答案】见解析

【解析】画法：（1）如图（1）,在正六边形ABCDE尸中，取AD所在直线为x轴，AD

的垂直平分线MV为y轴，两轴相交于点。在图（2）中，画相应的％’轴与轴，两轴相

交于点0，使Z-xOy=45°.

（2）在图（2）中，以。'为中点，在x轴上取4/）'=4）,在y轴上取M'N'=gMN

以点N'为中点，画AC平行于x轴，并且等于8C；再以M.为中点，画FZ平行于V轴，

并且等于用.

（3）连接百A,并擦去辅助线x轴和）轴，便获得正六边形

A8CDE户水平放置的直观图A'B'C'D'E'/图（3）.

4.如图所示是由正方形力四和正三角形。龙所构成的平面图形，请画出其水平放置的

直观图.

D

【答案】作图见解析

【解析】（1）以仍所在直线为轴，9的中垂线为y轴建立直角坐标系（如图①所示），

再建立坐标系"oy,使两坐标轴的夹角为45,（如图②所示）.

（2）以O'为中点，在V轴上截取A'B'=A3：分别过A，3,伶炉轴的平行线，截取

=；AE,3'd=；8c.在），'轴上截取db=；OD.

（3）连接ETX，£d，CD,得到平面图形AB'CDE.

（4）去掉辅助线，就得到所求的直观图（如图③所示）

【答案】见解析

【解析】画法：(1)画V轴，V轴，使NA"V=45。；

(2)在轴上取O'、9，使。'。=3,。'9=。8,在办'轴上取C,使

OV=-OC；

2

在轴下方过小作O'A'平行于＜/，使DA=1；

(3)连线，连接O7T、A9、3'C,所得四边形即为水平放置的四边形OABC的宜观

图.如图

【题组二空间几何体的直观图】

1.画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图并说明画法.

【答案】答案见解析.

【解析】

⑴画轴：画3轴、0V轴、Oz轴，NxOy=45°(或135°)，ZrOz=90，如左图;

⑵画底面：以。为中心，在xOy平面内，画出正方形水平放置的直观图A8CO：

(3)画顶点：在Qz轴上截取。尸，使。尸的长度是原四校锥的高；

(4)成图：顺次连接E4、PB、PC、PD，

并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如下图.

2.若给定长，宽，高分别为4cm,3cm,2c勿的长方体43。£＞一，如何用斜二测画

法画出该长方体的直观图？

【答案】见解析

【解析】⑴画轴.如图⑴，面X轴、y轴、Z轴,三轴相交于点。使Nx0y=45。，

ZxOz=90°.

⑵画底面.以点0为中点，在＞轴上取线段恻使MV=4cm;以点0为中点，在y轴上取

线段

尸。，使PQ=1.5cm.分别过点J/和川作y轴的平行线,过点〃和。作x轴的平行线，设它

们的交点分别为A,B,GD,则平面仍切就是长方体的底面,如图（1）.

（3）画侧棱.过4氏C〃各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取2c初长的

线段A4',BP,CC,如图⑴.

⑷成图.顺次连接A,B,C',D，并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚

线），就得到了长方体的直观图,如图（2）.

图（1）图（2）

3.已知一棱柱的底面是边长为3cm的正方形，各侧面都是矩形，且侧棱长为4CM,试

用斜二测画法画出此棱柱的直观图.

【答案】见解析

【解析】（1）画轴.画出X轴、）轴Z轴,三轴相交于点。，使ZxOy=45°,ZxOz=90°.

3

（2）画底面.以点。为中点，在x轴上画MV=3cm,在y轴上画「。二万。%,分别

过点M,N作》轴的平行线，过点尸，。作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B,

C,D,则四边形4BCO就是该棱柱的底面.

（3）画侧棱.过点A,8,C,。分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取4c机

长的线段A4'，BB'，CC',DD\如图①所示.

DfC

（4）成图.连接A®,BC\CD>DA>并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的

部分改为虚线），就得到该棱柱的直观图，如图②所示.

4.画出一个上、下底面边长分别为1,2,高为2的正三棱台的直观图.

【答案】见解析

【解析】①建立空间直角坐标系,画x轴J轴、z轴相交于点0.使x轴与y轴的夹角为

45°,y轴与z轴的夹角为90°,

②底面在y轴上取线段QD取0。=正，且以Z）为中点，作平行于x轴的线段AB,

6

使A5=2,在y轴上取线段OC,使OC=且.连接BC,CA,则△A3C为正三棱台的下底

3

面的直观图.

③画上底面在z轴上取。。'，使OO'=2,过点。'作Ox//Ox,Oy//Oy,建立坐标

系VO，'.在VO'），'中，类似步度②的画法得上底面的直观图V4EC.

④连线成图连接A4',BB',CC',去掉辅助线,将被遮住的部分画成虚线,则三棱台

ABC-A^C即为要求画的正三棱台的直观图.

5.画出底面是正方形,高与底面边长相等且侧棱均相等的四棱锥的直观图.

【答案】见解析

【解析】⑴建系:先画x轴、y轴、z轴，其交点为Q使Nx0y=45。，ZrOz=90°.

(2)画底面.以0为中心，在xa平面内，画出正方形水平放置的直观图ABCD,如图.

⑶画顶点.在应上截取曲使OP=A3.

⑷成图.连接PA,PB,PC,PD,并擦去辅助线,将被遮挡的部分改为虚线,得四棱锥的直观

6.已知一个圆锥由等腰直角三角形旋转形成，画出这个圆锥的直观图.

【答案】见解析.

【解析】圆锥直观图如下：

7.一个简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个半球，并且半球

的球心就是圆柱的上底面圆心，画出这个组合体的直观图.

【答案】见解析

【解析】如图所示，先画出圆柱的卜下底面,再在圆柱和球共同的轴线卜确定球的半径.

最后画出圆柱和半球，并标注相关字母，就得到组合体的直观图.

8.如图为一几何体的平面展开图，按图中虚线将它折叠起来，画出它的直观图.

【答案】见解析

【解析】

由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，

其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2,其直观图如图所示.

【题组三直观图的面积周长】

1.如图，AMC的斜二测直观图为等腰&△A'8'C',其中A'8'=2,则AABC的面积

为（）

A.2B.4C.2近D.472

【答案】D

【解析】由题意，aABC的斜二测直观图为等腰RsA'B'C,NC'A3'=45°

AC7/Oy,

・.・Ab=2

AC'2=A8,2+CB，2

AC=2&

由已知直观图根据斜二测化法规则画出原平面图形，

c\y

ABC

则AB=2,AC=4&，且ACJLAB

z.S!XAIiC=--ABAC=-x2x4>/2=442

LVIOV22

•••原平面图形的面积是4&

故选：D.

2.用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形

VAEC.已知点O'是斜边BC'的中点，且A©=1,则5c的边8C边上的高为（）

A.1B.2C.7212>/2

【答案】D

【解析】•・•直观图是等腰直角三角形A3'C,?8%C90,At>=1,・,・

A七=6，根据直观图中平行于》轴的长度变为原来的一半，

•••△A8C的边3C上的高AC=2A匕=2JL故选D.

3.如图，正方形O'AB'C的边长为2cm,它是水平放置的一个立面图形用斜二测画法

得到的直观图，则原图形的周长是（）

V’

A.16cmB.12cmC.10cmD.18cm

【答案】A

【解析】将直观图还原为平面图形，如图所示.

OB=2O'B'=4&，OA=（7A!=2,所以A8=+（4&<=6,

所以原图形的周长为16cM

故选：A.

4.己知用斜二测画法得到的某水平放置的平面图形的直观图是如图所示的等腰直角

△O'B'C，其中0'9=1,则原平面图形中最大边长为（）

A.2B.2cC.3D.26

【答案】D

【解析】

由斜坐标系中作AC"LB'C'交£轴于A点，由。9=1,△O'8'C'等腰直角三角形,

AVC=近

由斜二测法的纵半横不变，可将直观图在直角坐标系中还原成原平面图形如下:

AAC=2At=2&0A=\,

22

・•・最长边BC=VAC+AB=2V3，

故选：D

5.如图，平行四边形。TB'C是水平放置的一个平面图形的直观图，其中。'4'=4,

O'C'=2，NA'OV=30。，则下列叙述正确的是（）

A.原图形是正方形B.原图形是非正方形的菱形

C.原图形的面积是8亚D.原图形的面积是

【答案】C

【解析】过C'作。‘勿夕'轴，交/轴于〃将加'绕〃逆时针旋转45。，并伸长到原来

的两倍，得到实际图中的点C将C沿。勿'方向和长度平移得到用得到水平放置时直观图还

原为实际的平面图形,如下图所示：

・.・ZA'"=30。,

「•NA。。w90,OCw4,

故原图并不是正方形,也不是菱形,故A,B均错误，

又直观图的面积£=2・，4,2・sin3（T=4,

所以原图的面积S=20S=80,

故选:C.

6.把四边形45co按斜二测画法得到平行四边形A'3'C'O'（如图所示），其中

B'0'=0'C'=2,0,0・石，则四边形48。。一定是一个（）

A.菱形B.矩形C.正方形D.梯形

【答案】A

【解析】把平行四边形A'3'C'。'还原回原图形，过程如下：

在平面直角坐标系中，在x轴上截取BC=4,且使。为8c的中点，

在V轴上截取0。二26，过。向左左1轴的平行线段使DA=4,

连接AB，CD,可得平行四边形ABC。.

,：OC=2,00=26・,・C£）=祖+修厨=4.

・•・平行四边形ABC。为菱形.

故选：A.

y

7.如图所示，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知

直观图OAB'C的面积为4,则该平面图形的面积为（）

A.y/2B.4&C.872，2夜

【答案】C

【解析】已知直观图OAB'C的面积为4,

所以原图的面积为2播x4=8/，

故选：C

8.如图所示，正方形OABC的边长为1cm,它是水平放置的一人平面图形的直观图,

则原图形的周长是（）

A.6cmB.8cmC.2+3&cm氏2+2V3cm

【答案】B

【解析】先把水平放置的平面图形的直观图还原成原来的实际图形，如图：

由斜二测画法得：04=04=1，OB=2OB=2五，BC=BC=1，

AB=OC=Jl+(2物2=3,

所以原图形周长为8.

故选：B.

9.如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为。的正方形。4'8'C',则

原平面图形的周长和面积分别为（）

A.2a»-^-crB.8。，2瓶/

4

C./D.缶，2a2

【答案】B

【解析】由直观图可得原图形,

O9

AOA=BC=a,OB=2垃a，N4QA=90，

/.AB=OC=3a,原图形的周长为8。，

・・・S=a・2亿=2亿2，

故选：B

9.如图所示，正方形OAB'C的边长为1cm,它是水平放置的一人平面图形的直观图,

则原图形的面积是()

A.1cm2B.2>/2cm2

C.3\/2cm2D.cm2

4

【答案】B

【解析】如图所