导数及应用教案 人教版VIP

导数及应用教案人教版科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）导数及应用教案人教版教材分析《导数及应用》是人教版高中数学选修2-2中的重要章节，旨在深化学生对导数概念的理解，并掌握导数在实际问题中的应用。本章内容与函数的单调性、极值和最值紧密相关，通过导数研究曲线的切线问题，将数学知识与学生生活实际相结合，如物体运动的速度与加速度、最大面积或体积等问题。课程设计将围绕导数的定义、计算法则、导数应用的拓展，结合实际例题，使学生能够熟练运用导数解决平面曲线的切线问题，理解导数在研究函数性质中的核心作用，并培养其逻辑思维能力和解决实际问题的能力。核心素养目标重点难点及解决办法重点是使学生掌握导数的定义、计算法则，并能应用于实际问题，尤其是平面曲线的切线问题。难点在于理解导数在研究函数性质中的作用，以及解决实际问题时构建数学模型的能力。解决办法包括：通过直观的图形演示和实际例题，帮助学生形象理解导数的概念；设计不同难度的习题，分层次引导学生熟练运用导数计算法则；结合实际情境，如物体运动分析，让学生体会导数在解决复杂问题中的应用，从而突破构建数学模型的难点。此外，通过小组合作和讨论，培养学生协作解决问题的能力，增强对导数概念的理解和运用。教学资源准备1.教材：确保每位学生都提前准备好人教版选修2-2教材，提前预习《导数及应用》章节，熟悉导数的定义、计算法则及应用场景。

2.辅助材料：

-准备与导数相关的数学图形、图表，展示函数图像的切线变化，以便学生更直观地理解导数的概念。

-收集生活中与导数相关的实例，如车辆加速度与速度关系图、物体自由下落的位移时间图等，以视频或图片形式展示，增强学生对导数应用的感知。

-设计并打印导数计算练习题，涵盖基础题、提高题和应用题，满足不同层次学生的需求。

3.实验器材：

-准备几何画板或数学软件，让学生通过实际操作探索导数的几何意义。

-若条件允许，准备物理实验器材，如小车、计时器等，进行简单的加速度实验，让学生体验导数在实际物体运动中的应用。

4.教室布置：

-将教室座位布置成小组讨论形式，便于学生进行合作学习。

-在教室前方设置多媒体展示区，方便展示教材、辅助材料及实时展示学生操作过程。

-如有必要，预留一片实验操作区，确保实验过程中学生有足够的空间进行观察和记录。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：通过学校的学习平台，上传《导数及应用》章节的预习PPT和导数基础概念的视频资料，明确要求学生掌握导数的定义和基本计算法则。

-设计预习问题：围绕导数的定义和应用，设计问题如“导数在几何上代表什么？”和“导数如何帮助我们解决实际问题？”

-监控预习进度：通过学习平台的数据分析功能，跟踪学生的预习进度，并通过微信群提醒学生按时完成预习。

学生活动：

-自主阅读预习资料：学生按照要求，阅读教材和预习PPT，初步理解导数的概念和计算方法。

-思考预习问题：学生对预习问题进行思考，记录下自己的理解和对难点的疑问。

-提交预习成果：学生将预习笔记、思维导图和问题通过学习平台提交，便于教师提前了解学生的疑问。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：鼓励学生自主探索新知识，培养其自主学习能力。

-信息技术手段：利用在线平台和微信群，实现资源共享和互动交流。

作用与目的：

-帮助学生提前接触导数概念，为课堂学习打下基础。

-培养学生的独立思考能力和预习习惯。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：通过展示物体下落的速度变化视频，引出导数在描述变化率中的应用。

-讲解知识点：详细讲解导数的定义、计算法则，并通过实例解释导数在几何和物理中的应用。

-组织课堂活动：设计小组讨论，探讨导数在曲线切线问题中的应用，并进行角色扮演，模拟实际问题中的导数应用。

-解答疑问：在活动中针对学生的疑问进行解答，并提供个性化指导。

学生活动：

-听讲并思考：学生专心听讲，对教师提出的问题进行积极思考。

-参与课堂活动：学生在小组讨论中积极发言，通过角色扮演等活动体验导数的实际应用。

-提问与讨论：对不懂的问题勇于提问，与同学和教师进行讨论。

教学方法/手段/资源：

-讲授法：通过讲解和实例，帮助学生深入理解导数的概念和计算。

-实践活动法：通过小组讨论和角色扮演，加强学生对导数应用的理解。

-合作学习法：通过团队合作，培养学生的沟通能力和协作精神。

作用与目的：

-加深学生对导数的理解，掌握导数的计算和应用。

-通过实践活动，培养学生的动手能力和解决实际问题的能力。

-增强学生的团队合作意识和沟通能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：根据本节课内容，布置相关的习题，包括基础计算题和应用题。

-提供拓展资源：推荐与导数相关的学术文章、在线课程等资源，供学有余力的学生深入探索。

-反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈，指导学生改进。

学生活动：

-完成作业：学生认真完成作业，巩固课堂学习内容。

-拓展学习：对导数感兴趣的学生可以使用拓展资源进行深入学习。

-反思总结：学生对学习过程进行反思，总结导数学习的收获和不足。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：鼓励学生自主完成作业和拓展学习。

-反思总结法：引导学生通过反思，提升自我认知。

作用与目的：

-巩固学生对导数的理解和应用能力。

-拓宽学生的知识视野，激发对数学学科的兴趣。

-培养学生自我反思和自我提升的能力。学生学习效果1.知识与技能：

-掌握导数的定义，理解导数在几何和物理中的意义，如切线的斜率、物体的瞬时速度等。

-熟练运用导数的计算法则，包括基本函数的导数公式、导数的四则运算法则等。

-能够应用导数解决实际问题，如找出函数的极值点、最大值和最小值，理解其在经济学、工程学等领域的应用。

-学会使用数学软件或几何画板等工具，进行导数的图形表示和计算。

2.过程与方法：

-通过自主探索、小组讨论等学习方式，提高自主学习能力和团队合作能力。

-在解决实际问题的过程中，学会构建数学模型，提高解决问题的能力。

-通过观察、分析、归纳等思维过程，增强逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：

-增强对数学学习的兴趣，认识到数学与现实生活的紧密联系。

-培养科学探究的精神，敢于面对挑战，勇于克服困难。

-树立正确的价值观，认识到学习数学对个人发展和社会进步的重要性。

具体表现在以下方面：

-学生能够理解导数的概念，并能够用数学语言准确描述导数的定义和几何意义。

-学生能够独立完成导数的计算题，包括复合函数、反函数的导数计算。

-在小组讨论中，学生能够积极参与，运用导数知识分析实际问题，如物体的运动规律、曲线的切线方程等。

-学生能够运用数学软件或几何画板，直观地观察导数与函数图像之间的关系，加深对导数概念的理解。

-学生在解决实际问题时，能够运用导数找到函数的极值点，解释其在最优化问题中的应用，如成本最小化、利润最大化等。

-学生在学习过程中，能够展现出积极的探究精神，对不懂的问题主动提问，与同学和教师进行交流。

-学生在完成作业和拓展学习时，能够体现出良好的自我管理能力，对学习进度和效果进行自我监控和反思。重点题型整理题型一：导数的定义与计算

1.给定函数f(x)=x^2，求f(x)在x=1处的导数。

解答：根据导数的定义，f'(1)=lim(h->0)[(1+h)^2-1^2]/h=lim(h->0)[h^2+2h]/h=lim(h->0)[h+2]=2。

题型二：导数的四则运算法则

2.已知函数f(x)=g(x)+h(x)，其中g(x)=x^3，h(x)=2x，求f(x)的导数。

解答：根据导数的四则运算法则，f'(x)=g'(x)+h'(x)=3x^2+2。

题型三：复合函数的导数

3.设函数f(x)=(x^2+1)^3，求f(x)的导数。

解答：设u=x^2+1，则f(x)=u^3，f'(x)=3u^2*u'=3(x^2+1)^2*(2x)=6x(x^2+1)^2。

题型四：导数在实际问题中的应用

4.一物体从静止开始做直线运动，其速度v(t)与时间t的关系为v(t)=3t^2，求物体在t=2秒时的加速度。

解答：加速度a(t)是速度v(t)对时间t的导数，即a(t)=v'(t)=6t。所以物体在t=2秒时的加速度为a(2)=6*2=12m/s^2。

题型五：导数与极值问题

5.求函数f(x)=x^3-3x^2-9x+5的极大值和极小值。

解答：

-首先求导数f'(x)=3x^2-6x-9。

-令f'(x)=0，解得x=-1和x=3。

-检查导数的符号变化，当x从-∞增加到-1时，f'(x)由正变负，说明f(x)在x=-1处取得极大值。

-当x从-1增加到3时，f'(x)为负，说明f(x)在x=3处取得极小值。

-计算f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2-9(-1)+5=8，f(3)=3^3-3(3)^2-9(3)+5=-22。

-因此，函数的极大值为8，极小值为-22。

补充说明：

-在题型一中，通过导数的定义直接计算了函数在某一点的导数值，这是导数计算的基础。

-题型二展示了导数的四则运算法则，这是处理复杂函数导数计算的重要工具。

-题型三涉及复合函数的导数计算，需要使用链式法则，即外函数的导数乘以内函数的导数。

-题型四将导数与实际问题结合，通过物理中的速度与加速度关系，展示了导数在实际情境中的应用。

-题型五探讨了导数在寻找函数极值中的应用，通过求解导数为零的点，并结合导数的符号变化，确定了函数的极值点。板书设计①知识点梳理

-导数的定义

-导数的计算法则

-复合函数的导数（链式法则）

-导数在实际问题中的应用

-函数的极值与导数的关系

②关键词强调

-切线斜率

-瞬时变化率

-极值

-最值

-导数符号

③核心句子

-导数表示函数在某一点的瞬时变化率。

-导数为正表示函数在该点附近单调递增。

-导数为负表示函数在该点附近单调递减。

-导数为零的点可能是函数的极值点。

-导数可以用来解决最优化问题。

板书设计示例：

```

导数及应用

|

├──导数的定义

|└──瞬时变化率

|

├──导数的计算

|├──基本函数的导数

|├──四则运算法则

|└──链式法则（复合函数）

|

├──导数的应用

|├──切线问题

|├──极值与最值

|└──实际情境（如物理学、经济学）

|

└──导数与函数图像

├──单调性

└──极值点

```

板书设计要求：

-结构清晰，层次分明，便于学生跟随思路。

-关键词和核心句子用不同颜色或加粗突出，增强视觉效果。

-结合图形和实际例题，使抽象知识具体化，增强趣味性和艺术性。

-留有空白区域，方便学生记录笔记和思考。

-语言简洁，避免冗余，让学生能够快速抓住重点。作业布置与反馈1.作业布置

-计算题：包括基本函数的导数、复合函数的导数以及四则运算的导数，共5题。

-应用题：结合实际问题，如物体运动、经济模型等，运用导数解决，共3题。

-绘图题：绘制函数图像，并标注切线，共2题。

-探究题：探究导数在解决最优化问题中的应用，如最大利润、最小成本等，共1题。

2.作业反馈

-及时批改作业，对每份作业进行详细批改，指出存在的问题。

-对普遍性问题进行总结，并在课堂上进行讲解。

-对个别问题进行一对一辅导，帮助学生解决问题。

-鼓励学生提出问题，并及时给予解答。

-对学生的进步给予肯定，激发学生的学习积极性。

-定期对作业情况进行总结，分析学生的学习情况，调整教学策略。

作业布置示例：

1.计算题

-求函数f(x)=x^3-3x的导数。

-已知函数g(x)=(x^2+1)^2，求g(x)的导数。

-求函数h(x)=x^2+2x+3的导数。

-已知函数j(x)=x^4-4x^3+3x^2，求j(x)的导数。

-求函数k(x)=x^5-5x^4+4x^3的导数。

2.应用题

-一物体从静止开始做直线运动，其速度v(t)=2t^2，求物体在t=3秒时的加速度。

-一家公司生产某种产品的成本函数为C(x)=100x+200，其中x为生产量，求成本函数的导数，并解释其经济意义。

-一辆汽车以v(t)=4t^3的速度行驶，求汽车在t=2秒时的瞬时加速度。

3.绘图题

-绘制函数f(x)=x^3的图像，并标注其在x=1处