2022-2023学年上海初二年级下册同步讲义第11讲 特殊的平行四边形解析版

第11讲特殊的平行四边形

平行四边形在边和角上的特殊性，分别得到菱形和矩形，矩形和菱形在边和角上的特殊

性得到正方形.矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形.

从对称性考虑，平行四边形只是中心对称图形，三种特殊平行四边形都既是中心对称图

形又是轴对称图形.计算面积时，菱形和正方形都还能用对角线长的乘积的一半来运算.尤

其要掌握当矩形的对角线夹角是60°时，两对角线和较短的边构成的三角形是等边三角形,

即较短的边长是对角线长的一半.当菱形两边的较小夹角是60°时，它是由两个等边三角

形合成的，可由等边三角形的特殊性来研究.

模块一：矩形

知识精讲

知识点1:矩形

1.定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形.

注意：矩形的定义既是矩形的基本性质，也是判定矩形的基本方法.

2.性质：

矩形除具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质.

(1)矩形的四个角都是直角；

(2)矩形的两条对角线相等.

注意：

(1)矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成

完全全等的两部分.

(2)矩形也是轴对称图形，有两条对称轴(分别是通过对边中点的直线).

对称轴的交点就是对角线的交点(即对称中心).

3.判定：

矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形.

矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形.

例题解析

例1.(2018•上海杨浦区•八年级月考•)下列判断一个四边形为矩形的命题中真命题的

是：（)

A.对角线互相平分且有一个内角为直角的四边形是矩形.

B.对角线互相平分且有一组邻边相等的四边形是矩形.

C.对角线互相平分且相等的四边形是矩形.

D.对角线互相平分且互相垂直的四边形是矩形.

【答案】C

【分析】对角线相等且有一个内角为直角的四边形不一定是矩形，对角线相等的平行四边

形是矩形，据此可判断A、C选项；根据类似的方法，结合各种特殊四边形对角线的特征，

即可判断B、D选项.

【详解】对于A,对角线相等且有一个内角为直角的四边形不一定是矩形，故原说法错

误；

对于B,对角线互相平分且有一组邻边相等的四边形是菱形，故原说法错误；

对于C,对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故原说法正确；

对于D,对角线相等且互相垂直的平行四边形是菱形，故原说法错误.

故选C.

【点睛】此题考查矩形的判定，解题关键在于掌握判定定理.

例2.（2017•上海徐汇区•八年级期末）下列命题中，假命题是（）

A.有一组对角是直角且一组对边平行的四边形是矩形

B.有一组对角是直角且一组对边相等的四边形是矩形

C.有两个内角是直角且一组对边平行的四边形是矩形

D.有两个内角是直角且一组对边相等的四边形是矩形

【答案】C

【解析】利用矩形的定义或者是矩形的判定定理分别判断四个选项的正误即可.

解：A、有一组时角是直角且一组对•边平行即可得到两组对边平行或四个角均是直角，故此

选项不符合题意；

B、有一组对角是直角且一组对边相等可以得到其两组对边平行，有一个角是直角的平行四

边形是矩形可知此选项不符合题意；

C、有两个内角是直角且一组对边平行的四边形可能是直角梯形，故此选项符合题意；

D、有两个内角是直角的且一组对边相等可以得到其两组对边相等，所以能判定其是一个平

行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可知此选项不符合题意.

故选c.

“点睛”本题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解决此类题目的关键.举反

例往往是解决此类题目的重要的方法.

例3.（2019•上海上外附中）判断：三个内角相等的四边形为矩形（）

【答案】错误

【分析】根据矩形的判定，举出反例即可.

【详解】解：反例：三个内角为80度的四边形不是矩形，故命题是假命题.

故答案为：错误.

【点睛】本题考查了矩形的判定定理，熟练掌握矩形的几种判定方法是解题的基础，举出

反例是关键.

例4.（2020•上海徐汇区•八年级期末）如图，矩形ABCD中，0是两对角线交点，AE±BD

于点E.若0E：01）=1:2,AE=3cm,则BE=cm.

【答案】

【分析】题目条件给出了AE_LBD可以求得NAE0=90°,从而得到AAEO为直角三角形，已

知0E：OD=1：2建立E0与A0的数量关系，通过勾股定理可求得0E的值，便可得出答

案.

【详解】•••四边形ADCD为矩形

.,.OB=OA=OD

又「OE：0D=1：2

11

.,.OE=-OD=-OA=BE

22

VAE±BD

二在RtAAEO中，AE2+0E2=0A2=>AE2+0E2=(20E)2=>32+0E2=(20E)2

.".BE=0E=#

故答案为G

【点睛】本题主要考查了矩形的性质和勾股定理，通过矩形对角线相等的性质和比值关

系，用勾股定理构造直角三角形的边数量关系是解题的关键.

例5.（2019•上海市市西初级中学）如图，在矩形ABCD中，4）=2至，点E在

【答案】15°

【分析】根据矩形性质得出/A=NBCD=90°,AD=BC=BE,根据=得出/

BEA=30°=NEBC,求出NECB的度数，即可求出答案.

【详解】•••四边形ABCD是矩形，

.,.ZA=ZBCD=90°,AD=BC=BE,AD〃BC,

,/AD=BE=2AB,

.,.ZBEA=30°,

VAD/7BC,

.*.ZEBC=ZBEA=30o,

•/BE=AD-BC,

：.ZECB=-（180°-ZEBC）=75°,

2

VZBCD=90",

:./ECD=90°-75°=15°,

故答案为：15°.

【点睛】本题考查了矩形性质，三角形的内角和定理，平行线性质，等腰三角形的性质，

含30度角的直角三角形性质的应用，解此题的关键是求出NABC和NEBA的度数，题目比

较好，是一道综合性比较强的题目.

例6.（2019•上海上外附中）矩形A5CD的两条对角线AC,8。相交于点。，己知

AC=10,ZACB=3O°,则△COD的周长是

【答案】15

【分析】直接利用矩形的性质得出NOC0=60°,DO=CO=5,进而得出AOCD是等;

边三角形，即可得出答案.

【详解】解：如图所示：•.•矩形力腿的两条对角线4G劭相交于点0,AC=10，

NACB=30°，

Z.OCD=90°-ZACB=6()°.DO=CO=-AC=5,

2

.•.△OCD是等边三角形，

.•.△OOC的周长是：15.

故答案为：15.

【点睛】此题主要考查了矩形的性质以及等边三角形的性质，正确得出AOCD是等边三角

形是解题关键.

例7.(2020•上海市静安区实验中学八年级课时练习)矩形ABCD中，对角线AC=10cm,

两邻边长度之比AB;BC是3:4,那么S矩形ABCD=___cm2>

【答案】48

【分析】根据题意，画出图形，设AB=3xcm,BC=4xcm,根据勾股定理列出方程即可求出x,

从而求出AB和BC,最后根据矩形的面积公式计算即可.

【详解】解：如下图所示,设AB=3xcm,BC=4xcm,

根据勾股定理AB'+BCJAC?

即(3x)2+(4x)2=1()2,

解得：x=2或-2(不符合实际，舍去)

.,.AB=6cm,BC=8cm

S矩形ABCD=6x8=48cnr'

故答案为：48.

【点睛】此题考查的是矩形的性质和勾股定理，掌握矩形的性质和利用勾股定理解直角三

角形是解决此题的关键.

例8.（2019•上海静安区•八年级期末）在矩形A8CO中，AC与BD相交于点。，

乙4。8=46'，那么NQ4。的度数为，.

【答案】230

【分析】根据矩形的性质可得/OAD=/ODA,再根据三角形的外角性质可得/AOB=/DAO+/

AD0=46°,从而可求NOAD度数.

【详解】•••四边形A8CO是矩形

.\OA=OC=OB=OD,

.\ZDAO=ZADO,

,/ZAOB=ZDAO+ZADO=46°,

AZOAD^-ZAOB=-X46°=23°

22

即NQ4O=23°.

故答案为：23°.

【点睛】此题考查矩形的性质，解决矩形中角度问题一般会运用矩形对角线分成的四个小

三角形的等腰三角形的性质.

例9.（2019•上海市田林第三中学）一个周长为20厘米的长方形，长与宽的比是3:2,它

的面积是一平方厘米.

【答案】24.

【分析】根据“一个长方形的周长是20厘米，”知道长+宽=20+2厘米，再根据“长与宽

的比是3：2,”把长看作3份，宽看作2份，长+宽=3+2份，由此求出1份，进而求出长

方形的长和宽，再根据长方形的面积公式S=ab,即可求出长方形的面积.

【详解】1份是:20+2+（3+2）=20+2+5=2（厘米）,

长是：3X2=6（厘米），

宽是：2X2=4（厘米），

长方形的面积：6X4=24（平方厘米），

故答案为：24平方厘米.

【点睛】此题考查按比例分配应用题，长方形、正方形的面积，解题关键在于掌握面积公

式.

例10.（2018•上海静安区•八年级期末）如图，在矩形纸片4版中，AB=6cm,BC=

8cm,将矩形纸片折叠，使点8与点〃重合，那么△〃疗,的周长是__cm.

【答案】14.

【分析】根据翻转变换的性质得到BF=DF,根据三角形的周长公式计算即可.

【详解】由翻转变换的性质可知，BF=DF,

则'的周长=叱小切=瓯所面=册仪=14W，

故答案为：14.

【点睛】本题考查的是翻转变换的性质，翻转变换是一种对•称变换，折叠前后图形的形状

和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.

例11.（2017•上海杨浦区•八年级期末）在矩形ABCD中，AB=1,BC=2,则AC=_.

【答案】V5

分析：利用RtAABC的勾股定理即可得出答案.

详解：根据题意可得：AC=7AB2+BC2=Vl2+22=75-

点睛：本题主要考查的是矩形的性质以及直角三角形的勾股定理，属于基础题型.明确△

ABC为直角三角形是解题的关键.

例12.矩形的一角平分线分矩形一边为1厘米和3厘米两部分，则这个矩形的面积为

平方厘米.

【难度】★★

【答案】4或12.

【解析】由题意可知，矩形的一边为4厘米，另一边长为1厘米或3厘米，所以矩形的面

积为4或12平方厘米.

【总结】考查矩形性质的应用.

例13如图所示，矩形加切的对角线1C、加交于点0,BE_LAC于点反CF1BD

于点凡求证：B片CF.

【难度】★★

【解析】•.•矩形4及/，03=0C.

OB=OC,ABEO=Z.CFO,ZBOE=Z.COF

：.△BOEWACOF,，BE=CF

【总结】考察矩形的性质的运用.

例14.如图，在矩形4ap中，力庐3,4M,夕是4?上不与尔〃重合的一动点,

PELAC,PFVBD,E、尸为垂足，则小麻的值为.

【难度】★★

【答案】

5

【解析】过点〃作破1然于点〃，连接收

;矩形力灰》中，力比3,仍4,AAC=5,AO=DO

12

DHLAC,DH=—.

5

•SAPO+S^DPO~SaADO»

：.-AOPE^--DOPF=-AODH

222

12

JPE+PF=DH=—

5

【总结】考察矩形的性质运用，注意利用面积求出线段长.

例15.已知：若从矩形四切的顶点。作劭的垂线交劭于£,交N胡〃的平分线于反

求证：△。尸是等腰三角形.

【难度】★★

【答案】见解析.

【解析】过力作力£L切，垂足为G

TAGIBD,.,・/加伊/劭氏90°

•:NA除NGAk90°,AZBAG^ZADG

•：/DA84ADG,"DAC=/BAG

•:AF平%/BAD,

ZBAG+ZFAG-ZDAC+ZCAF

♦：4DAC=/BAG,:・/FA人CAF

•:AGLBD,CELBD,：.AG//EC,：.Zf^ZFAG

'：/FAG^/CAF,：.424CAF

，。二0；•••△Q尸是等腰三角形

【总结】考查矩形的性质及等腰三角形判定的综合运用.

例16.已知：矩形1腼中，延长及7至反使陷切，F为DE中点、,连接"、CF.

【难度】★★

【解析】联结防

■:B芹BD,尸为龙中点，/.BFYDE

ZBM+ZA/D=90°

VZDCE=90.F为DE中点,：.CF=DF

：.AFDC=ZFCD,二ZADF=ZBCF

VAD=BC,ZADF=ZBCF,CF=DF

：./\ADF"/\BCF,'ZAFD=ZBFC

'：ZBFA+ZAFD=90°，；.Z6E4+NMC=90°，

即NAFC=9O°，：.AFLCF

【总结】考察全等三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一性质的综合运用.

例17.如图所示，在矩形力及笫中，除8,/庐6,把矩形折叠使点C与点/重合，求折叠哥'

的长.

【难度】★★

【答案】—

2

【解析】联结4c交所于。，连接常

D

♦..矩形折叠使点C与点/重合，,AE=CE.

设M=CE=x,则OE=8-x

在直角中，x2=（8-X）2+62,解得：x=^

由勾股定理可得：AC=10.

;矩形AHCI）,：.AO=工AC=5

2

在直角△AOE中，AE2=OE2+XO-,解得：。£="

4

EF=2OE=—.

2

【总结】考察折叠的性质、矩形的性质、勾股定理的综合运用.

例18.如图，在矩形4%中，AB=8,BC=\,将矩形沿/C折叠，使点〃落在点ZX处,

CD'交AB于点F,则重叠部分△加匕的面积为.

【难度】★★

【答案】10

【解析】•••将矩形沿熊折叠，使点〃落在点。处，

，ZDCA-ZACD'

'：DC//AB,：.ZDCA=NCAF

：.ZACD'=ZCAF,AAF=CF

.,.设AF=CF=x,贝IJ所=8—x

在直角△CFB中，x2=（8-X）2+42,解得：x=5

•••5AAFC=：1-AF-BC=1X5X4=10

【总结】考察折叠的性质、矩形的性质、勾股定理的综合运用.

模块二：菱形

知识精讲

1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

2.性质：菱形除具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：

(1)菱形的四条边都相等；

(2)菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

注意：

(1)菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全

等

的两部分；

(2)菱形也是轴对称图形，有两条对称轴(对角线所在的直线)，对称轴的交点就是对称中

心；

(3)菱形的面积有两种计算方法：

一种是平行四边形的面积公式：底X高；

另一种是两条对角线乘积的一半(即四个小直角三角形面积之和).

实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.

3.判定：

菱形的判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形

菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形

例题解析

例1.(2019•上海浦东新区•八年级期末)在四边形ABCO中，ACYBD,再补充一个

条件使得四边形A5CO为菱形，这个条件可以是()

A.AC=BDB.ZABC=9O°

C.AB=BCD.AC与BO互相平分

【答案】【)

【分析】由在四边形ABCD中，对角线AC,BD互相平分，可得四边形ABCD是平行四边形，

又由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可求得答案.

【详解】解：...在四边形ABCD中，对角线AC,BD互相平分，

四边形ABCD是平行四边形，:ACLBI),...四边形ABCD是菱形，

故选：D.

【点睛】此题考查了平行四边形的判定以及菱形的判定.此题比较简单，注意掌握对角线

互相垂直的平行四边形是菱形定理的应用.

例2.(2020•上海市静安区实验中学八年级课时练习)菱形具有而矩形不具有的性质是

A.对角相等B.四边相等C.对角线互相平分D.四角相等

【答案】B

试题分析：因为菱形的四条边相等，对角线互相垂直，两组对角相等，而矩形的四个角相

等都是直角，对角线相等，所以菱形具有而矩形不具有的性质是四条边相等和对角线互相

垂直，故选B.

考点：1.菱形的性质；2.矩形的性质.

例3.（2020•上海市静安区实验中学八年级课时练习）在下列命题中，正确的是（）

A.一组对边平行的四边形是平行四边形

B.有一个角是直角的四边形是矩形

C.有一组邻边相等的四边形是菱形

D.对角线互相垂直平分的四边形是菱形

【答案】D

【分析】分别利用矩形的判定方法、以及菱形的判定与性质和平行四边形的判定方法分析

得出答案.

【详解】解：A、有•组对边平行且相等的四边形是平行四动形，错误；

B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，错误：

C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，错误；

D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确；

故选：D.

【点睛】本题主要考查了矩形的判定、以及菱形的判定与性质和平行四边形的判定，正确

把握相关判定定理是解题关键.

例4.（2019•上海静安区•八年级期末）如图，在四边形ABCD中，AC与30相交于

点O,ACJ_BD,BO=。。，那么下列条件中不能判定四边形A8CO是菱形的为（）

A.Z0AB=Z0BAB.Z0BA=Z0BCC.AD〃BCD.AD=BC

【答案】A

【分析】根据菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四

边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形，据此判断即可.

【详解】A.VAC±BD,BO=DO,

・・・AC是BD的垂直平分线，

AAB=AD,CD=BC,

AZABD=ZADB,ZCBD=ZCDB,

,/ZOAB=ZOBA,

AZ0AB=Z0BA=45°,

TOC与OA的关系不确定，

・••无法证明四边形ABCD的形状，故此选项正确;

B.VAC±BD,BO-DO,

・・・AC是BD的垂直平分线，

AAB=AD,CD=BC,

AZABD=ZADA,NCBD二NCDB,

ZOBA=ZOBC,

JZABD=ZADB=ZCBD=ZCDB,

BD=BD,

.,.△ABD^ACBD,

AAB=BC=AD=CD,

・•・四边形ABCD是菱形，故此选项错误；

C.VAD/7BC,

・・・ZDAC=ZACB,

VZAOD=ZBOC,B0=DO,

/.△AOD^ABOC,

?.AB=BC=CD=AD,

・•・四边形ABCD是菱形，故此选项错误；

I).VAD=BC,BODO,

NBOONAOD=90°,

.,.△AOD^ABOC,

AAB=BC=CD=AD,

・・・四边形ABCD是菱形，故此选项错误.

故选：A.

【点睛】此题考查菱形的判定，解题关键在于掌握菱形的三种判定方法.

例5.(2020•上海嘉定区•八年级期末)已知菱形的边长为2。%,一个内角为60。，那

么该菱形的面积为而.

【答案】273

【分析】连接AC,过点A作4ML小于点M根据菱形的面积公式即可求出答案.

【详解】解：过点A作4匕J笫于点M,

•••菱形的边长为2领，

：.AB=B(=2cm,

•••有一个内角是60°,

AZAB(=Q0°,

:.“即U30°,

BM=—AB=1(cm),

2

:•AM7AB2-BM?=6(加,

...此菱形的面积为：2x6=2^(cnh.

故答案为：2百.

【点睛】本题主要考查了菱形的性质和30°直角三角形性质，解题的关键是熟练运用菱形

的性质，本题属于基础题型.

例6.(2019•上海上外附中)菱形一条对角线长为12cm,周长为4()c?w,则菱形的面积为

平方厘米

【答案】96

【分析】画出草图分析.因为周长是40,所以边长是10,根据对角线互相垂直平分得直角

三角形，运用勾股定理求另一条对角线的长，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半

计算求解.

【详解】解：因为周长是40,所以边长是10.

如图所示：A3=1O，AC=12.

根据菱形的性质，AC1BD.AO=』AC=6,

2

...根据勾股定理得：BO=8，BD=16.

面积S=」ACx8。=12x16x^=96平方厘米.

22

故答案为：96.

【点睛】本题考查了菱形的性质及其面积计算，主要利用菱形的对角线互相垂直平分及勾

股定理来解决，要掌握菱形的面积有两种求法：(1)利用底乘以相应底上的高；(2)利用菱

形的特殊性，菱形面积=两条对角线的乘积的一半.

例7.(2018•上海杨浦区•八年级月考)一条对角线的平行四

边形是菱形.

【答案】平分一组对角

【分析】先作图，再根据平行线的性质得到N2=/3,根据角平分的性质得到N1=N2,则

Z1=Z3,由等腰三角形的性质得到AI)=CI),则根据菱形的判定可得答案.

【详解】一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形.

证明：如图所示，

D

在ABCD中，Z1=Z2,Z3=Z4,

•.•四边形ABCD为平行四边形，

；.AB〃CD.

.■.Z2=Z3.

VZ1=Z2,

.\Z1=Z3.

.".AD=CD.

.•.□ABC!）为菱形.

【点睛】本题考查平行线的性质、角平分的性质和菱形的判定，解题的关键是掌握平行线

的性质、角平分的性质和菱形的判定.

例8.（2019•上海浦东新区•八年级期末）菱形的周长为8,它的一个内角为60°,则菱

形的较长的对角线长为.

【答案】2百

【分析】由菱形的性质可得AB=2,AC±BD,BD=20B,由直角三角形的性质可得AO=1,由勾

股定理可求BO的长，即可得BD的长.

【详解】解：如图所示：

•.•菱形ABCD的周长为周

，AB=2,ACXBD,BD=2OB,

VZABC=60",

.•.ZAB0=-ZABC=30°,

2

.•.AO=1,

■■^=yjAB2-AO2=A/3，

•*-BD=2-^3>

故答案为：26

【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性

质，勾股定理，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观.

例9.（2020•上海杨浦区•八年级期末）已知菱形的边长为13,一条对角线长为10,那

么它的面积等于.

【答案】120

【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分，得已知对角线的一半是5.根据勾股定理，得

要求的对角线的一半是12,则另一条对角线的长是24,进而求出菱形的面积.

【详解】解：在菱形ABC。中，AB=13,AC=1O,

•••对角线互相垂直平分，

■■.ZAOB=90°,AO=5,

在RtAAOB中,BO^yjAB2-A02=12-

;.BD=2BO=24.

则此菱形面积是f10x?4=120,

故答案为：120.

【点睛】本题考查了菱形的性质，注意菱形对角线的性质：菱形的对角线互相垂直平

分.熟练运用勾股定理.

例10.（2020•上海松江区•八年级期末）如图，菱形A8CO的对角线AC与BO相交于

点。.已知A3=10加，AC=12cm.那么这个菱形的面积为cm2.

D

//

B(7

【答案】96

【分析】根据菱形的性质可得ACJ_BD,然后利用勾股定理求出0B=8cm,得出BD=16cm,

最后根据菱形的面积公式求解.

【详解】•••四边形ABCD为菱形,

AAC1BD,OA=OC=—AC=6cm,OB=OD,

2

0B=\JAB2-O/^==8(cm)，

...BD=20B=16cm,

1I,

S发般血n=—AOBD=—X12X16=96(cm-).

22

故答案为：96.

【点睛】本题考查了菱形的性质以及勾股定理，解答本题的关键是掌握菱形的两条对角线

互相垂直的性质.

例11.如图，在菱形心?(力中，A<=4,B庐6,夕是小上一动点(P与。不重合)，PEHBC交AB

于点发杼〃切交助于点E连结用，求图中阴影部分的面积.

【难度】★★

【答案】6

【解析】,:菱形ABCD,：.BC〃AD,AB//CD

'：PE//BC,PF//CD,：.PE//AF,PF//AE

四边形AEFP是平四边形，S&PEF=S^APE-

,"S阴影=S&FEP+S四边形EPCB=S/^AHC~2S四边形ABC。=5x12=6,

【总结】考察菱形的性质和面积的求法，注意对方法的总结.

例12.如图，在口4BCD中，。是对角线AC的中点，过点O作AC的垂线与边A。、3c分

别交于点E、F.

求证：(1)“OE/ACOE；(2)四边形AFCE是菱形.

【难度】★★

【解析】(1)'：AD//BC,：.ZEAC=ZFCA

"：OA=OC,ZAOE=NCOF,^AOE^COF:

(2)---AAOE*COF,OE=OF,

：04=OC,...四边形4FCE是平行四边形

---ACLEF,.•.四边形AFCE是菱形.

【总结】考察平行四边形的性质和菱形的判定的综合运用.

例13.如图O是菱形ABC£>对角线的交点，作OE//AC,CE//BD,DE、CE交于点E,

四边形OCED是矩形吗?证明你的结论.

【难度】★★

【答案】是矩形，证明见解析.

【解析】VDE//AC,CE//BD,

四边形OCM是平行四边形

四边形他8是菱形，ZDOC=90°

,平行四边形OCED是矩形.

【总结】考察菱形的性质和矩形的判定定理的综合运用.

例14.如图，矩形纸片ABCZ)中，AB=4,A£>=8,将纸片折叠，使得点8与点。重合，折

痕为EF.

(1)求证：四边形3EZ加是菱形；

(2)求菱形8田尸的边长.

【难度】★★

【答案】（1）见解析；（2）5.

【解析】（1）设£F与的交点为O.

；将纸片折叠，使得点B与点。重:合，折痕为EF

:.EFLBD，BO=DO.'：AB//CD,：.ZEDO=AFBO.

：.,；.OF=OE.

,/BO=DO,：.四边形BEDF是平行四边形.

,/EFLBD，：.四边形BEDF是菱形;

（2）设BF=OF=x,则尸C=8-x,

在直角4C田中，由勾股定理，得：X2=（8-X）2+42,解得：x=5,

菱形BEDF的边长为5.

【总结】考察矩形的性质和菱形的判定定理的综合运用.

例15.如图，AABC中，ZACB=90,CD±AB,AE平分N&4c交8于尸,

£6_1转交48于6.求证：四边形CEG尸是菱形.

【难度】★★

【解析】：AE1平分NB4C,EG工AB,ZAC3=90

/.CE=EG,ZAEG=ZAEC

VCE^EG,ZAEG=ZAEC,EF=EF

/\CEF94GEF,；.FG=FC,Z.CFE=ZGFE

,：CDA.AB,EGLAB

CD//EG,：.NCFE=NGEF

,：Z.CFE=ZGFE,/.ZCFE=ZCEF,；.CF=CE

,:FG=FC,CE=EG

：.CF=CE=EG=FG，

四边形CEGP是菱形

【总结】考察菱形的判定定理的综合运用.

例16.如图，菱形力及力的边长为4cm,且N4?C=60°,£■是正的中点，P点在加上，则

密■尸C的最小值为.

D

【难度】★★★

【答案】2石.

【解析】联结隹与BD的交点即为所求作的点尸.

...△ASC为等边三角形

是6C的中点，

AE±BC

VAB=4,BE=2

：.AE=dAB?-BE?=2百

【总结】考察菱形的性质和轴对称最短路程问题，注意对方法的归纳总结.

例17.如图，菱形｛比。的边长为2,BD=2,E,尸分别是边必上的两个动点且满足

AE+CF=2.

(1)判断△麻下的形状，并说明理由；

(2)设△戚的面积为S,求S的取值范围.

【难度】★★★

【答案】（1）等边三角形，证明见解析；⑵3754s4百.

4

【解析】（1）•・,菱形4?切的边长为2,81）=2,

・・・△ABQ和△BCD都为等边三角形.

AZBDE=ZfiCF=60°,BD=BC.

VAE+DE=AD=2,又AE+CF=2,

，DE=CF.

VDE=CF,ZBDE=ZBCF,BD=BC,

:・QBE=/CBF,BE=BF

,:ZDBC=ZDBF+ACBF=60°，

:.ZDBF+ZDBE=6(r,即ZEBF=60。，

•••△B所是正三角形；

(2)设BE=BF=EF=x,贝US=2-x•3》=无一

224

当BEJ_A。时，x取最小值为行时-，S=-V3：

4

当BE与■重合时，x取最大值为2,5=石；

：.-y/3<S<y[3.

4

【总结】考察菱形的性质的具体应用，注意动点的运动轨迹.

例18.已知△/比是等边三角形，点〃是射线式'上的一个动点(点〃不与点8、C重合)，

△1%■是以为边的等边三角形，过点£•作助的平行线，分别交射线4?、4C于点AG,

连接砥

(1)如图1所示，当点〃在线段比■上时，

①试说明：XAE的XADC

②探究四边形成彼是怎样特殊的四边形，并说明理由.

(2)如图2所示，当点〃在优1的延长线上时，探究四边形a'曲是怎样特殊的四边形，并

说明理由.

(3)在(2)的情况下，当点〃运动到什么位置时，四边形8a法是菱形？并说明理由.

【难度】★★★

【解析】（1）①和△OE4都是等边三角形

AAB^AC,AE=AD，ZS4C=/E4£>=60°

AZBAC-ABAD=AEAD-ZBAD,ZDAC=ZBAE

VAB=AC,ZDAC=ZBAE,AE=AD,AASEgAADC；

②四边形BCGE是平行四边形.

•；/\ABC和ADEA都是等边三角形，二ZACB=ZBAC=60°

,?/XABE丝△ADC,ZABE=ZACD=60°

，ZABE=ABAC,，BE//AC

•；EG〃BC，.•.四边形8CGE是平行四边形.

（2）四边形BCGE是平行四边形.方法同（1）

（3）当点。运动到OC=8C时,，四边形8CGE是菱形.

4（1）一样可证：AABE^AADC,则3E=C£>

与（D一样可证：四边形3CGE是平行四边形

.•.当8c=8E时，四边形8CGE是菱形，此时8C=C3

即当点£>运动到OC=3C时，四边形BCGE是菱形.

【总结】本题综合性较强，主要考察特殊的平行四边形的判定的综合运用.

模块三：正方形

知识精讲

1.定义：有一组邻边相等并且有一个内角是直角的平行四边形叫做正方形.

2.正方形与矩形、菱形的关系

矩形邻边相等,正方形菱形一个一是直角工正方形

3.性质定理>

正方形即是矩形又是菱形，因而它具备两者所有的性质.

性质定理1：正方形的四个角都是直角；正方形的四条边都相等.

性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对

角.

4.判定定理：

判定定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形.

判定定理2：有一个内角是直角的菱形是正方形.

例题解析

例1.（2019・上海八年级课时练习）正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）

A.对角线相等B.对角线互相垂直平分

C.四条边相等D.对角线平分一组对角

【答案】A

【分析】根据正方形和菱形的性质可以判断各个选项是否正确.

【详解】解：正方形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故A符合题意；

正方形和菱形的对角线都互相垂直平分，故B不符合题意；

正方形和菱形的四条边都相等，故C不符合题意；

正方形和菱形的对角线都平分一组对角，故D不符合题意，

故选：A.

【点睛】本题考查正方形和菱形的性质，解答本题的关键是熟练掌握基本性质.

例2.（2018•上海闵行区•八年级月考）下列命题是假命题的是（）

A.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形.B.对角线互相垂直的矩形是正方

形.

C.对角线相等的菱形是正方形.D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形.

【答案】D

【分析】根据正方形的各种判定方法逐项分析即可.

【详解】解：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确；

对角线互相垂直的矩形是正方形，正确；

对角线相等的菱形是正方形，正确；

对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；

可知选项1）是错误的.

故选：D.

【点睛】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命

题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.

例3.（2019•上海上外附中）判断：对角线互相垂直且相等的四边形是正方形（）

【答案】错误

【分析】根据题设画出反例图形即可.

【详解】解：反例：如图，AC=BD,ACA.BD,AO^CO,则四边形ABC。不是

正方形.

故命题是假命题.

故答案为：错误.

【点睛】本题考查了正方形的判定定理，解题的关键是熟悉正方形对角线的性质.

例4.（2021•上海八年级期末）如图，已知正方形ABCD的面积为4,正方形FH〃的面

积为3,点。、C、G、J、/在同一水平面上，则正方形3EFG的面积为.

E

【答案】7

【分析】首先由正方形的面积得出BC=2,E/=百，然后证明△BCGM/XG/F，得出

CG=FJ=5然后利用勾股定理得出阳的长度，最后利用面积公式求解即可.

【详解】•.•正方形ABCO的面积为4,正方形F”〃的面积为3，

BC=2,FJ=6,

:NCBG+ZBGC=90°,ZFGJ+ZBGC=90°,

ZCBG=ZFGJ.

/BCG=NGJF

在ABCG和△G"'中，,NC3G=ZFGJ,

BG=FG

:.ABCG^/\GJF(AAS),

:.CG=FJ=日

：.BG=yjBC2+CG2=J7,

正方形BEFG的面积为J7xJ7=7，

故答案为:7.

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，勾股定理，掌握这些性质是解题的关

键.

例5.（2019•上海浦东新区•八年级期末）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在

CG上，BC=a,CE=b,H是AF的中点，那么CH的长是.（用含a、b的代数式表示）

［答案］-V2a2+2b2

2

【分析】连接AC、CF,根据正方形的性质得到NACF=90°,根据勾股定理求出AF的长,

根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半计算即可.

【详解】解：连接AC、CF,

在正方形ABCD和正方形CEFG中,

ZACG=45°，NFCG=45°,

AZACF=90°,

VBC=a,CE=b,

•••AC-yfo,a»CF=yfo,b,

由勾股定理得，AF=7AC2+CF2=V2a2+2b2»

VZACF=90°,H是AF的中点,

CH-—，2a~+2b~,

2

故答案为：-V2a2+2b2.

2

【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理的应用、正方形的性质，掌握在直角

三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.

例6.（2020•上海市位育实验学校）如图，P是正方形ABCD内的一点，PA=PB=10,并且P

点到CD的距离也等于10,则正方形面积是

B

【答案】256

【分析】设PE=x,根据正方形各边相等的等量关系，即可根据FP+PE=AB的等量关系,

列出等量关系式解本题.

【详解】过P作EF_LAB于E,交CD于F,则PF_LCD

所以PF=PA=PB=10,E为AB中点

设PE=x,则AB=AD=10+x

所以AE=-^AB=L(10+x)

22

在RtZXPAE中，PA2=PE2+AE2

所以10"=X2+[L(10+X)「所以X=6

2

所以正方形ABCD面积=AB2=(10+6)2=256.

故填:256.

【点睛】本题考查了勾股定理的灵活运用，考查了正方形各边均相等的性质，解本题的关

键是根据正方形边长相等列出等量关系式并且求解.

例7.(2019•上海市民办上宝中学八年级月考)如图，已知正方形ABCD的顶点A(l,

1),B(3,1),直线y=2x+b交边AB于点E,交边CD于点F,则直线y=2x+b在y轴上的

【分析】由于直线y=2x+b交AB于点E,交CD于点F,所以点E在线段AB上，最左端是A

点，于是把A的坐标代入可求得一个b值，同理，F的最右端为点C,代入C的左标可求出

b的另一个值，答案可得.

【详解】•.•四边形ABCD是正方形,A(l,1),B(3,1)

点坐标为(3,3)

•直线y=2x+b交边AB于点E,交边CD于点F

所以点E在线段AB上，最左端是A点，

当直线通过点A时，将A(l,1)代入y=2x+b得，

2x1+1=1,解得力=—1；

F点在CD上，最右端为C,

当直线通过点C时^,将C(3,3)代入y=2x+b得，

2x3+6=3,解得匕=—3,

b的范围为-SWbWT.

故答案为：TWbWT.

【点睛】本题考查一次函数的图像与性质，由正方形的性质得到C点坐标，采用数形结合

思想判断出直线平移的范围是解题的关键.

例8.(2018•上海杨浦区•八年级月考)点E在正方形ABCD的边BC的延长线上,CE=AC,

连接AE交CD于F,则ZAFD=.

【答案】67.5°

【分析】由图知NAFD=NFAC+NACF,即求出NFAC,NACF的值,可知NAFD的度数.

【详解】根据题意画出如图所示：

".•ABCD为正方形

.,.DC1BC

即NDCE=90°

又：AC是正方形ABCD的对角线

ZACF=45°

ZACE=ZDCE+ZACF=135°

•/CE=CA

.,.ZFAC=ZE=-(180°-135°)=22.5。

2

AZAFD=ZFAC+ZACF=22.5°+45°=67.5°.

【点睛】此题考查正方形的性质，解题关键在于求出NFAC.

例9.(2018•上海杨浦区•八年级月考)在正方形ABCD中，两条对角线相交于点0,Z

BAC的平分线交BD于点E,若正方形ABCD的周长是16cm,则DE=

【答案】4cm

【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得N0DC=N0CD=/BAC=45°,再根据角平分

线的定义求出N0AE,然后求出NDAE=67.5°,再根据三角形内角和等于180。求出N

DEA=67.5°,从而得到NDEA=/DAE,再根据等角对等边可得AD=DE,再根据正方形的周长

求出边长DC的长度，从而得解.

【详解】如图,在正方形ABCD中，Z0DC=Z0CD=ZBAC=45°,

VAE>ZBAC的平分线，

/.ZOAE=-ZBAC=-X450=22.5°,

22

AZDAE=Z0AD+Z0AE=45°+22.5°=67.5°,

在AADE中，ZDEA=1800-ZDAE-ZADE=180°-67.5°-45°=67.5°

.'.ZDEA=ZDAE,

I)E=DA,

.正方形ABCD的周长是16cm,

二边长DC=16+4=4(cm),

DE=4cm.

故答案为:4cm.

【点睛】此题考查正方形的性质，解题关键在于求出/OAE.

例10.(2018•上海杨浦区•八年级月考).的菱形是正方形.

【答案】一个角是90°或对角线相等

【分析】根据正方形的判定定理即可解答.解答此题的关键是熟练掌握正方形和菱形的性

质.我们知道一个角是90°的菱形是正方形，对角线相等的菱形是正方形.

【详解】根据正方形的判定定理可知一个角是90°或对角线相等的菱形是正方形.

故答案为：一个角是90°或对角线相等.

【点睛】此题考查正方形的判定，解题关键在于掌握判定定理.

例11.（2019•上海浦东新区•八年级期末）如图，正方形A8CZ）和正方形CEFG中，点

。在CG上，BC=a,CE=b,，是AE的中点，那么CH的长是（用含

。、6的代数式表示）.

【分析】连接AC、CF,根据正方形的性质得到NACF=90°,根据勾股定理求出AF的长,

根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半计算即可.

【详解】解：连接AC、CF,

在正方形ABCD和正方形CEFG中,

ZACG=45°,ZFCG=45°,

.,.ZACF=90°,

；BC=a,CE=b,

:.AC=y/2a,CF=yf2b>

由勾股定理得：AF=IAC?+cF=J2a2+2c2

；NACF=90°,H是AF的中点,

CH--AF=‘2/+2'

22

【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理的应用、正方形的性质，掌握在直角

三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.

例12.（2017・上海八年级期末）如图，已知正方形ABCD的边长为1,点E在边DC上，AE

平分NDAC,EFJ_AC,点F为垂足，那么FC=_.

【答案】V2-1

【解析】根据正方形的性质和已知条件可求得AF,AC的长，从而不难得到FC的长.

解：：四边形ABCD是正方形，

.-.AB=BC=AD=CD=1,ZD=ZB=90°,

*'•AC=+J2="J2>

：AE平分NDAC,EFJ_AC交于F,

.•.AF=AD=1,

.,.FC=AC-AF=V2-1)

故答案为：y/2—1：

“点睛”本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、角平分线的性质：熟练掌握正方形的

性质，求出AF=AI）是解决问题的关键.

例13.（2019•上海普陀区•八年级期中）如图：在正方形ABCD中，对角线AC、BD

相交于点0,NB4C的平分线AE交5。于点E，交于点F.

求证：（1）BE=BF；

（2）OE=-CF.

2

【分析】（1）根据正方形的性质得NACB=NABO=45°,根据角平分线的性质得

ZBAE^ZFAC，利用三角形外角的性质即可证得=从而证得结论;

(2)取AF的中点G,连接0G,根据三角形的中位线得出OG=5FC,根据平行线的性