2021-2022学年北师大版必修5-3.3.1基本不等式-教案4-

根本不等式教学设计〔第一课时〕教材分析与学情分析本节是北师大版高中数学必修5中第三章第3节根本不等式〔第一课时〕的内容。它是在系统地学习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的根底上展开的，为后续的学习奠定根底。要进一步了解不等式的性质及运用、研究最值问题是根本不等式必不可少的，在知识体系中它起到承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的优良素材，所以应重点研究。根本不等式的探究与推导需要学生观察、分析、归纳有助于培养学生创新思维和探索精神，是培养数形结合意识和提高数学能力的良好载体。教学目标1、知识与能力了解根本不等式的几何背景，能在教师的引导下探究根本不等式的证明过程，理解根本不等式的几何解释，初步掌握根本不等式的简单应用。2、过程与方法通过引导能从“赵爽弦图〞中抽象出根本不等式，实现对根本不等式几何背景的初步了解，经历根本不等式几何解释的探究过程体会数形结合思想的直观性和重要性，进一步树立数形结合的意识。3、情感、态度与价值观培养学生严谨求实的科学态度，体会数与形的和谐统一，激活学生的思维，培养学生的探索精神，提高其探究能力。教学重点、难点重点：经历根本不等式几何解释的探究过程体会数形结合思想的直观性和重要性，初步掌握用根本不等式解决简单的问题。难点：理解根本不等式的几何意义教学设计思路：〔1〕教法指导：本节课是通过7个教学环节，强调教学过程，在教师的引导下启动观察、分析、感知、归纳、探究等思维活动，理解其几何背景。课堂教学以学生为主体、根本不等式为主线、数形结合为主导，在学生原有的认知根底上充分展示根本不等式这一知识的发生、开展及再创造的过程。〔2〕学法指导：定理的证明要留给学生充分的思考空间，引导学生自主探索，小组讨论与集体交流相结合，通过类比得到答案，体会合作学习的必要性和高效性。通过对根本不等式几何解释的探究提高学生观察与交流，分析与解决问题的能力，渗透数学思想、培养合作意识。〔3〕教学用具：投影仪、白板〔多媒体录课教室〕教学过程情境创设引入课题情境一、引例:用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，问:这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？(数学是源于生活，又应用于生活的，学生很容易猜对结论，如何印证大家的猜测呢？带着问题进入课堂)情境二、图1是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，此会标是根据中国古代数学家赵爽弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。探究1：您能通过这个简单的风车造型中得到一些相等和不等关系吗?〔师生活动：设直角三角形的两条直角边长为a、b，引导学生观察正方形的面积与4个直角三角形的面积之间的关系，从而抽象出结论〕探究2：您能说明上式的等号什么时候成立吗？等号成立时图形有什么特点？怎样证明？〔此处展示几何画板〕不等式1、〔当且仅当a=b时“=〞成立〕〔当a=b时，中间的正方形EFGH缩为一点〕证明：〔当且仅当a=b时“=〞成立〕〔曾称为重要不等式〕追问1：此法称为什么方法？〔作差法〕当且仅当作何解释？此式中令取代a令取代b那么有〔〕从而有不等式2、假设那么〔当且仅当a=b时“=〞成立〕追问2：你能否从代数的角度证明？〔设计意图：类比重要不等式的证明，实现数学方法的迁移，提高学生的数学应用能力。证明过程：略〕我们称不等式2为根本不等式，其中称为a、b的算术平均数，为a、b的几何平均数。因此，根本不等式又被称为均值不等式。

从代数的角度看：两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数思考：假设从数列的角度分析，有何意义？〔设计意图：新旧知识的链接有益于唤醒学生的记忆，丰富学生的知识结构。〕数已经有了，下面我们来研究形〔过渡自然〕自主探究意义建构探究3、你能用几何图形对根本不等式进行几何解释吗？如图,AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DC，连接AD、BD1.求CD和圆半径RCD和圆半径R有什么关系?〔师生活动：图2中哪条线段能表示，哪条线段能表示？你能说出初中学习过的射影定理的内容吗？〕由射影定理知：，而，从形的角度看OD>CD，即〔师生活动：学生思考、分析说理。教师利用多媒体演示C点往O点移动的过程，接着引导学生思考：“=〞能否成立〕〔此处展示几何画板〕试问：“=〞能否成立？〔当点C与圆心O重合时，即a=b时等号成立，此时△ADB为等腰直角三角形〕几何意义：在圆内，半径长不小于半弦长。〔设计意图：抓住时机，渗透数形结合思想，引导学生善于捕捉的暗示信息，从全方位、多角度去理解并掌握所学知识，提升思维的灵活性。〕学以致用深化理解引例:用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，问:这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？变式：一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少?归纳反思提高归纳反思提高稳固理解①②③④，的最小值为2其中正确的序号是----③④即：“一正、二定、三相等〞----“七字口诀〞〔再次强调“一正、二定、三相等〞，针对④中的函数，引导学生引起重视，下一节课将重点研究〕思考交流协作互助探究4:函数f(x)=(a,b>0)是定义在R上的增函数.由f(1)≥f(0)≥f≥f(-1).你能得出什么结论?答案:≥≥QUOTEab≥.(a>0,b>0)可进一步化为不等式链归纳：假设a、b为正数，那么〔当且仅当a=b“=〞成立〕这是一个非常重要的不等式链，在解不等式和证明不等式中发挥很大的作用，所以我们有必要继续研究。归纳小结反思提高1、本节课的学习，你学到了哪些知识？2、在解决问题的根底上，你掌握了哪些探求问题的方法和数学思想方法？3、你还有什么收获与感想？〔先由学生小结，再在不当之处由教师点评进行补充标准〕〔设计意图：有利于学生构建自己的知识体系，形成知识的正向迁移，同时培养学生反思的习惯和概括能力〕作业布置分层对待1、书面作业：习题3.4A组12、拓展作业：类比根本不等式的几何意义的探究方法，你能从几何的角度解释以下不等式吗？----以后还将学习上升到n个正数的情况(设计意图：通过训练稳固本节课所学知识，检测学生运用所学知识解决问题的能力)适当引导探索拓展1、你能做出函数的图像吗？2、通过探索，你有何发现？请用数学小论文记录下你的成果。八、板书设计一、情境创设“赵爽弦图〞三、学以致用四、思考交流〔当且仅当a=b“=〞成立〕探究1引例五、归纳小结探究2探究4六、作业布置二、自主探究例2七、适当拓展探究3课外思考自评与反思数学课程标准明确指出：“高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动、让学生体验数学发现和创造的历程，开展他们的创新意识。〞数学探究是学生学习的心理回归,它有利于学生深入理解数学知识、把握数学思想方法，提高数学探究能力。一、提示语的暗示与启发，“暗中〞引领学生去感悟数学探究的要素：<1>您能从“赵爽弦图〞中提炼出正方形的面积与4个全等直角三角形的面积之间的不等关系吗？面积何时会相等？<2>数的大小比拟通常用作差，那代数式呢？<3>从图2中您能否借助射影定理找到根本不等式呢？<4>回忆刚刚我们是怎样获得这组公式的？<5>接下来您想研究什么？可否归纳出一系列的不等式？关注活动性、合作性、反思性的学习课堂教学应当是一种充满活力的对话的实施，营造出一种活动性、合作性、反思性的学习气氛。本节课我充分尊重学生在探究过程中的“自组织性〞，给予学生广阔的探究空间，同时既明确学习问题和小组达标要求，又注意对小组的监控和适时介入，较好的发挥了指导者、引领者的作用。三、教师要有“用教材教〞而非“教教材〞的意识课本是借助来得出的,而本节课的设计是突破教材借助“赵爽弦图〞让学生直观地猜测构造，这样设计有利于对学生思维的开发，是对教材的再创造。同时宏观上它也是对学生进行情感价值观教育的优良素材有利于数学素养的培养；另外我充分利用学生已有的知识和经验，使新经验自然地生长；每个环节都有总结，总结时屡次强调“数形结合千般好，形数别离万事休〞或“形离数时难入微，数离形时难直观〞〔华罗庚语〕，而总结的内容又引发下一个环节，层层推进，环环相扣逐步深入。四、数形结合为主线、数学思想方法是灵魂“数学是思维的体操〞数学教育是通过对数学知识的组织，对数学思想方法的领悟来实现其价值的。在数学教学中探究是手段，数学思想方法才是灵魂。在本教学设计中，处处渗透着丰富的数学思想：1、归纳思想：如从赵爽弦图中归纳出一些不等式。2、类比思想：由数的大小比拟类比到代数式的大小比拟。由重要不等式的推导类比归纳出根本不等式的证明等。3、转化思想：求函数的值域等，可转化为利用根本不等式求解。4、数形结合思想：从赵爽弦图中抽象出根本不等式后，接着追问：如何用代数的方法证明？你能用几何图形2对根本不等式进行几何解释吗？由数思形，由形得数贯穿于整个教学过程，表达了发现和探究的理念，深化了对根本不等式的理解。缺乏之处：其一，分组交流时，应根据学生的实际水平，强弱结合(而非“就近原那么〞)可以最大限度地调动其积极性