2021-2022学年新教材人教A版必修第二册-10.3.1-频率的稳定性-学案

10．3.1频率的稳定性历史上有很多学者做了掷硬币试验，有详细记载的学者的试验结果如下表：试验者抛掷次数(n)正面朝上次数(m)德·摩根20481061蒲丰40402048费勒100004979皮尔逊120006019由上表可知，掷硬币试验中，正面朝上的频率在哪个数值附近波动？【问题1】这些学者掷硬币试验中，正面朝上的频率分别是多少？【问题2】你能推断掷硬币试验中，正面朝上的概率吗？【问题3】频率与概率有何关系？频率的稳定性频率概率性质具有稳定性是一个常数范围[0，1]频率的稳定性一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).称频率的这个性质为频率的稳定性．因此可以用频率fn(A)估计概率P(A).1．本质：频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同．而概率是一个确定的常数，是客观存在的，与每次试验无关．频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．2．混淆：一定不要混淆频率与概率的关系．3．对频率的理解：(1)随机性：在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性．(2)稳定性：如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率eq\f(m,n)，当n很大时，可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为eq\f(m,n).随机事件在一次试验中是否发生与概率的大小有什么关系？提示：随机事件的概率说明了随机事件发生的可能性的大小，但并不表示概率大的事件一定发生，概率小的事件一定不发生．1.频率与概率可以相等吗？2．小概率事件就是不可能发生的事件吗？3．一个事件发生的概率是随着试验次数的变化而变化的吗？4．频率能反映随机事件发生的可能性大小吗？提示：1.可以；2.不是；3.不是；4.能．教材P251“掷硬币试验〞中，如果同学甲再重复做25次试验，他记录的A事件发生的次数一定与上次相同吗？提示：不一定．1．某人将一枚硬币连抛20次，正面朝上的情况出现了12次，假设用A表示事件“正面向上〞，那么A的()A．频率为eq\f(3,5)B．概率为eq\f(3,5)C．频率为12D．概率约为eq\f(3,5)【解析】选A.抛硬币20次，正面朝上出现了12次，记事件A＝“正面向上〞，所以A的频率为eq\f(12,20)＝eq\f(3,5).2．如果袋中装有数量差异很大而大小相同的白球和黄球(只是颜色不同)假设干个，从中任取1球，取了10次有7个白球，估计袋中数量较多的是________球．【解析】取10次球有7次是白球，那么取出白球的频率是0.7，故可估计袋中数量较多的是白球．答案：白根底类型一频率与概率的关系(数学抽象)1．在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为eq\f(m,n)，当n很大时，那么P(A)与eq\f(m,n)的大小关系是()A．P(A)≈eq\f(m,n)B．P(A)<eq\f(m,n)C．P(A)>eq\f(m,n)D．P(A)＝eq\f(m,n)【解析】选A.在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率为eq\f(m,n)，当n很大时，eq\f(m,n)越来越接近P(A)，因此我们可以用eq\f(m,n)近似地代替P(A).2．试题中共8道单项选择题，每道题有4个选项，其中只有1个选项是正确的．某同学说：“每个选项正确的概率是eq\f(1,4)，假设每题都选择第一个选项，那么一定有3道题的选择结果正确〞．这句话()A．正确B．错误C．有一定道理D．无法解释【解析】选B.从四个选项中正确选择选项是一个随机事件，eq\f(1,4)是指这个事件发生的概率，实际上，做8道选择题相当于做8次试验，每次试验的结果是随机的，因此每题都选择第一个选项可能没有一个正确，也可能有1个，2个，3个，…，8个正确．因此该同学的说法是错误的．3．某射击教练评价一名运发动时说：“你射中的概率是90%.〞你认为下面两个解释中能代表教练的观点的为________(填序号).①该射击运发动射击了100次，恰有90次击中目标；②该射击运发动射击一次，中靶的时机是90%.【解析】能代表教练的观点的为该射击运发动射击一次，中靶的时机是90%.答案：②对频率与概率的理解(1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．(2)频率本身是随机的，在试验前不能确定．(3)概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关．根底类型二游戏的公平性(数学建模、数学运算)下面有两个游戏规那么，袋子中分别装有红球和白球，从袋中无放回地取球，分别计算甲获胜的概率，并说明哪个游戏是公平的？游戏1游戏22个红球和2个白球3个红球和1个白球取1个球，再取1个球取1个球，再取1个球取出的两个球同色→甲胜取出的两个球同色→甲胜取出的两个球不同色→乙胜取出的两个球不同色→乙胜【解析】在游戏1中，取两球同色的概率为：eq\f(2,4)×eq\f(1,3)＋eq\f(2,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)，取两球异色的概率为：eq\f(2,4)×eq\f(2,3)＋eq\f(2,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)，所以甲获胜的概率为eq\f(1,3)，因此游戏1中规那么不公平．游戏2中，取两球同色的概率为：eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,2)，取两球异色的概率为：eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)×eq\f(3,3)＝eq\f(1,2)，所以甲获胜的概率为eq\f(1,2)，因此游戏2中规那么是公平的．游戏规那么公平的判断标准在各类游戏中，如果每人获胜的概率相等，那么游戏就是公平的，这就是说是否公平只要看获胜的概率是否相等．甲、乙两人做游戏，以下游戏中不公平的是()A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数那么甲胜，向上的点数为偶数那么乙胜B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上那么甲胜，两枚都是正面向上那么乙胜C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色那么甲胜，是黑色那么乙胜D．甲、乙两人各写一个数字，假设是同奇或同偶那么甲胜，否那么乙胜【解析】选B.A项，P(点数为奇数)＝P(点数为偶数)＝eq\f(1,2)；B项，P(恰有一枚正面向上)＝eq\f(1,2)，P(两枚都正面向上)＝eq\f(1,4)；C项，P(牌色为红)＝P(牌色为黑)＝eq\f(1,2)；D项，P(同奇或同偶)＝P(奇偶不同)＝eq\f(1,2).综合类型频率稳定性的应用(数学建模、数据分析)用频率估计概率下表是某品牌乒乓球的质量检查统计表：抽取球数408015040010002000优等品数36761443829481904优等品频率(1)计算各组优等品频率，填入上表：(2)根据频率的稳定性估计事件“抽取的是优等品〞的概率．【解析】(1)根据优等品频率＝eq\f(优等品数,抽取球数)，可得优等品的频率从左到右依次为：0.9，0.95，0.96，0.955，0.948，0.952.(2)由(1)可知乒乓球抽取的优等品频率逐渐稳定在0.95附近，故估计优等品的概率是0.95.用频率估计概率时的关注点(1)在实际问题中，常用事件发生的频率作为概率的估计值．(2)通过公式fn(A)＝eq\f(nA,n)＝eq\f(m,n)计算出频率，再由频率估算概率．(3)在用频率估计概率时，要注意试验次数n不能太小，只有当n很大时，频率才会呈现出规律性，即在某个常数附近波动，且这个常数就是概率．【加固训练】表一和表二分别表示从甲、乙两个厂家随机抽取的某批篮球产品的质量检查情况：表一抽取球数n5010020050010002000优等品数m45921944709541902优等品频率eq\f(m,n)表二抽取球数n7013031070015002000优等品数m6011628263713391806优等品频率eq\f(m,n)(1)分别计算表一和表二中篮球是优等品的各个频率(结果保存到小数点后两位)；(2)假设从两个厂家生产的这批篮球产品中任取一个，质量检查为优等品的概率分别是多少？(3)假设两厂的篮球价格相同，你打算从哪一厂家购货？【解析】；表二中“篮球是优等品〞的各个频率为0.86，0.89，0.91，0.91，0.89，0.90.(2)由(1)可知，抽取的篮球数不同，随机事件“篮球是优等品〞的频率也不同．表一中的频率都在常数0.95的附近摆动，那么在甲厂随机抽取一个篮球检测时，质量检查为优等品的概率大约为0.95；表二中的频率都在常数0.90的附近摆动，那么在乙厂随机抽取一个篮球检测时，质量检查为优等品的概率大约为0.90.(3)根据概率的定义可知：概率是从数量上反映一个随机事件发生可能性的大小．因为P甲>P乙，表示甲厂生产出来的篮球是优等品的概率更大．因此应该选择甲厂生产的篮球．概率的实际应用【典例】如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．【解析】(1)共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，用频率估计概率，可得所求概率为eq\f(44,100)＝0.44.(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得所求各频率为所用时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60L1的频率L2的频率0(3)记事件A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；记事件B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)>P(A2)，所以甲应选择L1；P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，P(B2)>P(B1)，所以乙应选择L2.概率的实际应用由于概率表达了随机事件发生的可能性，所以在现实生活中我们可以根据随机事件概率的大小去预测事件能否发生．从而对某些事情作出决策．当某随机事件的概率未知时，可用样本出现的频率去近似估计总体中该事件发生的概率．【加固训练】某保险公司利用简单随机抽样的方法对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：赔付金额(元)01000200030004000车辆数(辆)500130100150120①假设每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；②在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．【解析】①设A表示事件“赔付金额为3000元〞，B表示事件“赔付金额为4000元〞，以频率估计概率得P(A)＝eq\f(150,1000)＝0.15，P(B)＝eq\f(120,1000)＝0.12.由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3000元和4000元，所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.②设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元〞，由，可得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100(辆)，而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为eq\f(24,100)＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.创新题型谚语(成语)中的概率问题(数学抽象)【典例】“不怕一万，就怕万一〞这句民间谚语说明()A.小概率事件虽很少发生，但也可能发生，需提防B.小概率事件很少发生，不用怕C.小概率事件就是不可能事件，不会发生D.大概率事件就是必然事件，一定发生【解析】选A.因为这句谚语是提醒人们需提防小概率事件．(1)理解概率的意义(2)结合概率理解谚语(成语)【加固训练】成语“千载难逢〞意思是说某事()D.为不可能事件，根本不会发生【解析】选C.根据概率的意义可判断A、B、D都不正确．1．以下说法一定正确的选项是()A.一名篮球运发动，号称“百发百中〞，假设罚球三次，不会出现三投都不中的情况eq\f(1,6)，那么掷6次一定会出现一次2C.假设买彩票中奖的概率为万分之一，那么买一万元的彩票一定会中奖一元【解析】选D.A错误，概率小不代表一定不发生；B错误，概率不等同于频率；C错误，概率是预测，不必然出现；D正确，随机事件发生的概率是屡次试验的稳定值，与试验次数无关．2．在给病人动手术之前，外科医生会告知病人或家属一些情况，其中有一项为哪一项说这种手术的成功率大约是99%.以下解释正确的选项是()A.100个手术有99个手术成功，有1个手术失败C.99%的医生能做这个手术，另外1%的医生不能做这个手