2024-2025学年湖北省武汉市部分学校高三（上）调研数学试卷（9月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖北省武汉市部分学校高三（上）9月调研数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z满足z+2z=2−i，则z=(

)A.−1−i B.−1+i C.1−i D.1+i2.已知集合A={x|x2−2x−3<0}，B={y|y=lg(A.(−1,3) B.(−1,0] C.[0,3) D.(−∞,3)3.(2x−1x2)7A.672 B.−420 C.84 D.−5604.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10−S3A.1 B.2 C.3 D.45.某圆锥母线长为1，其侧面积与轴截面面积的比值为2π，则该圆锥体积为(

)A.3π8 B.π8 C.36.已知a>0且a≠1，若函数f(x)=ax−a,x≤aloga(x+a)+1,x>a的值域为A.(0,12] B.[12,1)7.已知函数f(x)=tanθ−tan(x+θ)1−2tan(x+θ)是[−πA.2 B.−2 C.12 D.8.设椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右焦点为F1，F2，右顶点为A，已知点PA.57 B.63 C.2−二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某科技公司统计了一款App最近5个月的下载量如表所示，若y与x线性相关，且线性回归方程为y=−0.6x+a月份编号x12345下载量y(万次)54.543.52.5A.y与x负相关 B.a=5.6

C.预测第6个月的下载量是2.1万次 D.10.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<2π)的部分图象如图所示，则(

)A.φ=5π6 B.ω=2

C.f(x)的图象关于直线x=5π3对称 D.f(x)11.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(x+1)=f(x)−x，当0<x≤1时，f(x)=x−x，则A.当2<x≤3时，f(x)=x−2−2x+2

B.当n为正整数时f(n)=n−n22

C.对任意正实数t，f(x)在区间(t,t+1)内恰有一个极大值点

D.若f(x)在区间三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知平面向量a=(5,1)，b=(1,−1)，c=(1,k)，若(a−b13.若双曲线x2m+y2m+1=1的离心率为14.两个有共同底面的正三棱锥P−ABC与Q−ABC，它们的各顶点均在半径为1的球面上，若二面角P−AB−Q的大小为120°，则△ABC的边长为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，AB=AD=2，BC=1，PD⊥平面PAB．

(1)求PC的长；

(2)若PD=1，求直线PA与平面PCD所成角的正弦值．16.(本小题15分)

已知函数f(x)=e2x+(a−2)ex−ax．

(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；17.(本小题15分)

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2c−b=2asin(C−π6)．

(1)求角A；

(2)若a=6，D为边BC上一点，AD为∠BAC的平分线，且18.(本小题17分)

已知平面内一动圆过点P(2,0)，且该圆被y轴截得的弦长为4，设其圆心的轨迹为曲线E．

(1)求曲线E的方程；

(2)梯形ABCD的四个顶点均在曲线E上，AB//CD，对角线AC与BD交于点T(2,1)．

(i)求直线AB的斜率；

(ii)证明：直线AD与BC交于定点．19.(本小题17分)

有编号为1，2，…，n的n个空盒子(n≥2,n∈N)，另有编号为1，2，…，k的k个球(2≤k≤n,k∈N)，现将k个球分别放入n个盒子中，每个盒子最多放入一个球.放球时，先将1号球随机放入n个盒子中的其中一个，剩下的球按照球编号从小到大的顺序依次放置，规则如下：若球的编号对应的盒子为空，则将该球放入对应编号的盒子中；若球的编号对应的盒子为非空，则将该球随机放入剩余空盒子中的其中一个.记k号球能放入k号盒子的概率为P(n,k)．

(1)求P(3,3)；

(2)当n≥3时，求P(n,3)；

(3)求P(n,k)．

参考答案1.D

2.C

3.D

4.C

5.B

6.A

7.B

8.D

9.ACD

10.BC

11.BD

12.−2

13.−814.4315.解：(1)取AD中点O，连PO，CO，由BC/​/AO，且BC=AO，

所以四边形ABCO为平行四边形，所以OC/​/AB，

由PD⊥平面PAB，得PD⊥AB，所以OC⊥PD，

又AB⊥AD，所以OC⊥AD，又AD∩PD=D，所以OC⊥平面APD，

由OP⊂平面APD，所以OC⊥PO，

由PD⊥平面PAB，得PD⊥AP，所以OP=12AD=1，

又OC=AB=2，所以PC=OP2+OC2=5；

(2)以O为坐标原点，OC，OD为x，y轴的正方向，以过O且与平面ABCD垂直向上为z轴的正方向建立空间直角坐标系．

由PD=1，得△POD为正三角形，所以P(0,12,32)，

又A(0,−1,0)，C(2,0,0)，D(0,1,0)，所以CD=(−2,1,0)，PD=(0,12,−32)，

设平面PCD的法向量n=(x,y,z)，则n⋅CD=0n⋅PD=016.解：(1)当a=2时，则f(x)=e2x−2x，f′(x)=2e2x−2，

可得f(1)=e2−2，f′(1)=2e2−2，

即切点坐标为(1,e2−2)，切线斜率为k=2e2−2，

所以切线方程为y−(e2−2)=(2e2−2)(x−1)，即(2e2−2)x−y−e2=0．

(2)由题意可知：f(x)的定义域为R，且f′(x)=2e2x+(a−2)ex−a=(2ex+a)(ex−1)，

(i)若a≥0，则2ex+a>0，

令f′(x)>0，解得x>0；令f′(x)<0，解得x<0；

可知f(x)在(−∞,0)内单调递减，在(0,+∞)内单调递增；

(ii)若a<0，令f′(x)=0，解得x=ln(−a2)或x=0，

①当ln(−a2)<0，即−2<a<0时，令f′(x)>0，解得x>0或x<ln(−a2)；

令f′(x)<0，解得ln(−a2)<x<0，

可知f(x)在(ln(−a2),0)内单调递减，在(−∞,ln(−a2))，(0,+∞)内单调递增；

②当ln(−a2)=0，即a=−2时，则f′(x)=2(17.解：(1)由2c−b=2asin(C−π6)及正弦定理，

可得2sinC−sinB=2sinA(3 2sinC−12cosC)，

又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，

则有2sinC−cosAsinC=3sinAsinC，

又C∈(0,π)，sinC≠0，所以3sinA+cosA=2，

即sin(A+π6)=1，又A+π6∈(π6,7π6)，

所以A+π6=π2，即A=π3；

(2)由AD为∠BAC的平分线，可得∠BAD=∠CAD=π6，

由S△ADB18.解：(1)设圆心为Q(x,y)，

由题意可得：|x|2+22=(x−2)2+y2，整理可得y2=4x，

所以曲线E的方程为y2=4x；

(2)(i)由题意可知：直线AB的斜率不存在，且不为0，

设AB：x=my+n(m≠0)，A(x1,y1).B(x2,y2).C(x3,y3).D(x4,y4)，

联立方程x=my+ny2=4x，消去x可得y2−4my−4n=0，则Δ=16m2+16n>0，

可得y1+y2=4m，y1y2=−4n，

可知直线AC：x=x1−2y1−1(y−1)+2，

联立方程x=x1−2y1−1(y−1)+2y2=4x，消去a可得y2−4(x1−2)y1−1y+4(x1−2)y1−1−8=0，

由题意可知：y1+y2=4(x1−2)y1−1，即y3=4x1−8y1−1−y1，且y12=4x1，

可得y19.解：(1)1号球放入1号盒中的概率为13，此时2，3号球分别放入2，3号盒中，

1号球放入2号盒中的概率为13，

欲使3号球放入3号盒中，则2号球需放入1号盒中，概率为12，

1号球放入3号盒中，此时3号球不能放入3号盒中，

综上所述：P(3,3)=13+13×12=12．

(2)1号球放入1号，4号，5号，n号盒中的概率为n−2n，

此时3号球可放入3号盒中，

1号球放入2号盒中的概率为1n，欲使3号球放入3号盒中，

则2号球需放入1号，4号，5号，…，n号盒中，概率为n−2n，

1号球放入3号盒时，此时3号球不能放入3号盒中，

综上，P(n,3)=n−2n+1n×n−2n−1=n−2n−1．

(3)1号球放入1号，k+1号，k+2号，k+3号，…，n号盒的概率为n−k+1n，

此时，k号球可放入k号盒中，

1号球放入j(2≤j≤k−1)号盒中的概率为1n，

此时2号，3号，…，j−1号球都可以放入对应的编号的盒中，

剩下编号为是j，j+1，j+2，…，k的球和编号为1