2024-2025学年广东省珠海市高三（上）第一次摸底数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省珠海市高三（上）第一次摸底数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集U={x|x>0}，集合A={x|1<x<2}，则∁UA=(

)A.(−∞,1]∪[2,+∞) B.(0,1]∪[2,+∞)

C.(−∞,1)∪(2,+∞) D.(0,1)∪(2,+∞)2.复数z=10−3+i(i为虚数单位)，z的共轭复数为A.−3−i B.−3+i C.3−i D.3+i3.在△ABC中，D是BC上一点，满足BD=3DC，M是AD的中点，若BM=λBA+μA.54 B.1 C.78 4.已知点A(−1,0)，B(0,3)，点P是圆(x−3)2+y2=1A.6 B.112 C.92 5.一个内角为30°的直角三角形，分别以该三角形的斜边、两条直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体.这3个几何体的体积从小到大之比为(

)A.1：3：2 B.1：3：4 C.6.已知函数f(x)=2 x− a,x≤0log12(|x|+1)−a,x>0，(a∈R)A.(1,+∞)∪{0} B.(0,+∞) C.(−∞,0] D.(−∞,1]7.函数f(x)=23sin2(ωx)+sin(2ωx+2πA.ω=1

B.函数f(x)图象关于点(π3,3)对称

C.函数f(x)图象向右移φ(φ>0)个单位后，图象关于y轴对称，则φ的最小值为5π12

8.若不等式bx+1≤e−x−ax2对一切x∈R恒成立，其中a，b∈R，e为自然对数的底数，则A.(−∞,−1] B.(−∞,−1) C.(−∞,1] D.(−∞,2)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设A，B为随机事件，且P(A)，P(B)是A，B发生的概率.P(A)，P(B)∈(0,1)，则下列说法正确的是(

)A.若A，B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)

B.若P(AB)=P(A)P(B)，则A，B相互独立

C.若A，B互斥，则A，B相互独立

D.P(A−|B)10.设f(x)=x3−3x，则下列说法正确的是A.函数y=f(x)的图象与圆x2+y2=1有且只有两个公共点

B.存在无数个等腰三角形ABD，其三个顶点都在函数y=f(x)的图象上

C.存在无数个菱形ABCD，其四个顶点都在函数y=f(x)的图象上

D.11.中国结是一种手工编织工艺品，其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，中国结有着复杂曼妙的曲线，其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线.已知在平面直角坐标系xOy中，到两定点F1(−a,0)，F2(a,0)距离之积为常数a2的点的轨迹C是双纽线.若M(3,0)是曲线A.曲线C的图象关于原点对称

B.曲线C经过5个整点(横、纵坐标均为整数的点)

C.曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过3

D.曲线C上有且仅有3个点P满足|PF三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.直线y=ax−e与曲线C：y=xlnx相切，则a=______．13.已知点P在双曲线C：x264−y236=1上，F1，F2分别是双曲线C14.甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人.甲班的平均成绩为72分，方差为90分 ​2；乙班的平均成绩为90分，方差为60分 2.那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩是______分，方差是______分 ​四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c其中m=(a,b)，n=(cosB,34sinA)，且m⋅n=c．

(1)求sinA的值；

(2)若16.(本小题15分)

如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面ABB1A1⊥底面ABC，AB=AA1=AC=2，BC=22,∠ABB117.(本小题15分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=42，点M(22,233)在椭圆C上，直线l：y=x+t．

(1)若直线l与椭圆C有两个公共点，求实数18.(本小题15分)

设函数f(x)=ln(x+1x)，x∈(0,1)．

(1)试判断f′(x)的单调性；

(2)证明：对任一x0∈(0,1)19.(本小题17分)

对于数列{an}，若存在常数T，n0(T,n0∈N∗)，使得对任意的正整数n≥n0，恒有an+T=an成立，则称数列{an}是从第n0项起的周期为T的周期数列.当n0=1时，称数列{an}为纯周期数列；当n0≥2时，称数列{an}为混周期数列.记[x]为不超过x的最大整数，设各项均为正整数的数列{a参考答案1.B

2.B

3.C

4.D

5.C

6.A

7.D

8.A

9.ABD

10.ABC

11.AC

12.2

13.25

14.80

470315.解：(1)由题意得，m⋅n=acosB+34bsinA=c，

由正弦定理可知，sinAcosB+34sinBsinA=sinC，

在△ABC中，因为A+B+C=π，sin(A+B)=sinC，

所以sinAcosB+34sinBsinA=sinAcosB+cosAsinB，

即34sinBsinA=cosAsinB，

因为A，B∈(0,π)，所以sinB≠0，

所以34sinA=cosA，又sin2A+cos2A=1，

所以sinA=45；

(2)由正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R，

因为R=5，sinA=45，所以a=816.解：(1)证明：因为三棱柱ABC−A1B1C1中AB=AA1，

所以四边形ABB1A1为菱形，又∠ABB1=60°，点D是棱A1B1的中点，

所以AD⊥AB，

又侧面ABB1A1⊥底面ABC，侧面ABB1A1∩底面ABC=AB，A

D⊂侧面ABB1A1，

所以A

D⊥底面ABC，又BC⊂底面ABC，

所以AD⊥BC；

(2)因AB=AC=2，BC=22，

所以△ABC为直角三角形，

所以AB⊥AC，

故分别以AB，AC，AD所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图：

则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，

由(1)可知，A1D=1，AD=AA12−A1D2=3，

故A1(−1,0,3)，17.解：(1)设椭圆的半焦距为c，则c=22，故a2−b2=8，

因为M(22,233)在椭圆上，故8a2+43b2=1，

解得a2=12，b2=4，故椭圆方程为：x212+y24=1，

联立y=x+tx2+3y2=12，消去y可得4x2+6xt+3t2−12=0，

故Δ=36t2−16(3t2−12)>0，即192−12t2>0，解得−4<t<4，

所以实数t的取值范围为(−4,4)．

(2)当t=2时，直线l：y=x+2，故A(−2,0)，B(0,2)，

由题设可得P，Q为位于直线AB的两侧，不妨设Q在直线AB上方，P在直线AB的下方，

当过Q的直线与直线AB平行且与椭圆相切时，Q到直线AB的距离最大及△QAB的面积最大，

当过P的直线与直线AB18.解：(1)函数f(x)=ln(x+1x)，x∈(0,1)，

则f′(x)=x2−1x(x2+1)，设g(x)=x2−1x(x2+1)，

则g′(x)=−x4+4x2+1(x3+x)2=4x2+(1+x2)(1−x2)(x3+x)2，

因为x∈(0,1)，所以1−x2>0，

所以g′(x)=4x2+(1+x2)(1−x2)(x3+x)2>0，

所以，f′(x)19.解：(1)因为对任意整数n都有an≠1，

所以取a1=2，则a2=a12=1，不符合题意；

取a1=3，a2=a1−12+2[log23]=1+2=3，a3=a4=⋯=an=3，此时数列{an}为常数列{3}；

取a1=4，a2=a12=2，a3=a22=1，不符合题意；

取a1=5，a2=a1−12+2[log25]=2+22=6，a3=a22=3，a4=a5=⋯=an=3，此时数列{an}的通项公式为an=5,n=16,n=23,n≥3；

取a1=6，a2=a12=3，a3=a2−12+2[log23]=1+2=3，a4=a5=⋯=an=3，此时数列{an}的通项公式为an=6,n=13,n≥2；

所以满足条件的三个a1=2的值为3，5，6；

(2)取a1=1，a2=a1−12+2[log21]=1，a3=a4=⋯=an=1，

此时数列{an}为常数列{1}，为纯周期数列；

取a1=2，则a2=a12=1，a3=a4=⋯=an=1，

此时数列{an}的通项公式为an=2,n=1