2024-2025学年湖南省衡阳市船山英文学校高三（上）入学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省衡阳市船山英文学校高三（上）入学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|3−xx+2≥0}，集合B={x|(x+3)(x−1)≤0,x∈Z}，则A∩B的真子集个数为A.3 B.5 C.7 D.152.设复数z满足1+2iz=−2i，则z在复平面内对应的点位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.在杭州亚运会上，我国选手盛李豪夺得射击第一枚金牌，他射击的方向向量a=(3,1)，另一名选手余浩楠射击的方向向量b=(5,2)，若(xa+2bA.−16 B.12637 C.−126374.已知函数g(x)=x2+7x+ax在[3,+∞)上单调递增，求aA.(−∞,−3] B.(−∞,9] C.[0,3] D.[0,9]5.已知Sn为等比数列{an}的前n项和，p：S4−S3A.p是q的充分不必要条件 B.p是q的必要不充分条件

C.p是q充要条件 D.p是q的既不充分也不必要条件6.已知cos(α+β)=6−A.12 B.22 C.7.已知圆C1：(x−2)2+(y−2)2=14与圆C2：(x+1)2+(y+2)2=14，过动点M(m,n)分别作圆C1、圆A.192 B.154 C.198.椭圆x29+y25=1，若椭圆上存在不同的两点M，N关于直线A.(−263,223二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.有一组样本数据x1，x2，…，xn，由这组样本得到新样本数据y1，y2，…，ynA.x1，x2，…，xn的中位数为m1，则y1，y2，…，yn的中位数为am1+b

B.x1，x2，…，xn的平均数为m2，则y1，y2，…，yn的平均数为am2+b

D.x1，x2，…，xn的极差为m4，则y1，y210.2008年世界卫生组织的事故调查显示，大约50%−60%的交通事故与酒后驾驶有关.在中国，每年由于酒后驾车引发的交通事故达数万起；而造成死亡的事故中50%以上都与酒后驾车有关，酒后驾车的危害触目惊心，已经成为交通事故的第一大“杀手”.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，则(

)A.若血液中的酒精含量为0.49mg/mL，则在停止喝酒后经过了2个小时

B.4小时后，血液中的酒精含量可以降低到0.2mg/mL以下

C.5小时后，血液中的酒精含量可以降低到0.2mg/mL以下

D.设x小时后，血液中的酒精含量为ymg/mL，则y=(1−30%)x11.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)−1(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图，则关于函数g(x)=Asin(ωx+φ)+1的描述正确的是(

)A.关于x=π6对称

B.关于点(5π12,0)对称

C.在区间[0,π3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.一个词典里包含10个不同的单词，其中有4个以字母“A”开头，其余以其他字母开头.从中选择5个单词组成一个新的子集，其中至少包含两个“A”开头，一共有______个这样的子集.(要求用数字作答)13.在圆台OO′中，上底面直径为6，下底面直径为12，高为4，则圆台的表面积为______．14.过双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点F作其中一条渐近线的垂线，垂足为Q，直线FQ与双曲线的左、右两支分别交于点M四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在△ABC中，C=π6,34sin2B+12cos2B=sinBcosA．

16.(本小题15分)

在几何体B−VACD中，VA⊥平面ABC，VA=AB=BC=2，AB⊥BC，P是VB的中点，Q在线段BC上运动．

(1)证明：平面APQ⊥平面VBC．

(2)当VC//平面APQ时，求平面APQ与平面VAB的夹角的正弦值．17.(本小题15分)

已知函数f(x)=2alnx−12x2−x．

(1)当a=1时，求f(x)的单调区间；

(2)当a>0时，不等式f(x)≤e18.(本小题17分)

假设在数字通信中传送信号0与1的概率为0.8和0.2.由于随机干扰，当传送信号0时，接收到信号为0的概率为0.8，当传送信号1时，接收到信号为1的概率为0.9.求：

(1)当接收到信号0时传送的信号是0的概率；

(2)在信息传送过程中，当第一个人接收到信息后，将信息发送给第二个人，这样依次传递下去，在n次传递中，0出现的次数为X，求E(X)．19.(本小题17分)

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F1(−2,0)，左、右顶点分别A，B，上顶点为P，cos∠APB=−13．

(1)求椭圆E的方程；

(2)参考答案1.C

2.B

3.C

4.B

5.B

6.C

7.A

8.B

9.ABD

10.ACD

11.AD

12.186

13.90π

14.515.解：(1)由34sin2B+12cos2B=sinBcosA可得：32sinBcosB+12cos2B=sinBcosA，

即cosB(32sinB+12cosB)=sinBcosA，

所以cosBsin(B+π6)=sinBcosA，

又C=π6，所以cosBsin(B+C)=sinBcosA，又sin(B+C)=sinA16.(1)证明：由于VA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，故VA⊥BC，

又AB⊥BC，AB∩VA=A，AB，VA⊂平面VAB，

故BC⊥平面VAB，AP⊂平面VAB，故BC⊥AP，

又VA=AB=2，P是VB中点，故VB⊥AP，

VB∩BC=B，VB，BC⊂平面VBC，

故AP⊥平面VBC，又AP⊂平面APQ，

故平面APQ⊥平面VBC；

(2)解：VC//平面APQ时，VC⊂平面VBC，且平面VBC∩平面APQ=PQ，

故VC//PQ，结合P是VB中点，可得Q是BC中点，

有AP⊥平面VBC，又PQ⊂平面VBC，故AP⊥PQ，

由于AP⊥BP，AP⊥PQ，

故∠QPB为平面APQ与平面VAB所成角或其补角，

PB=12VB=12VA2+AB2=2，

PQ=117.解：(1)当a=1时，f(x)=2lnx−12x2−x,(x>0)，

所以f′(x)=2x−x−1=−x2−x+2x=−(x+2)(x−1)x，

因为x>0，所以当x>1时，f′(x)<0，

当0<x<1时，f′(x)>0，

所以f(x)的单调增区间(0,1)，单调减区间(1,+∞)；

(2)因为f(x)=2alnx−12x2−x，

所以f(x)≤ex−12x2+x−xa可化为：2alnx+xa≤ex+2x，

所以2lnxa+elnxa≤ex+2x，

构造函数g(t)=et+2t，(t>0)，显然此函数单调递增，

所以由2lnxa+xa18.解：(1)记A0=“传送信号0”，A1=“传送信号1”，B=“接收信号0”．

可知P(A0)=0.8，P(A1)=0.2，P(B|A0)=0.8，P(B|A1)=0.1，

由贝叶斯公式得所求的概率为：

P(A0|B)=P(A0)P(B|A019.解：(1)因为∠APO=12∠APB，则∠APO为锐角，

又因为cos∠APB=−13，

所以cos∠APB=2cos2∠APO−1，

即−13=2cos2∠APO−1，

解得cos∠APO=33，可得tan∠APO=32−(3)23=2，

而tan∠APO=ab，

所以a=2b，

又因为c=2，a2=c2+b2，

即2b2=4+b2，

解得b2=4，a2=8，

所以椭圆的方程为：x28+y24=1；

(2)由题意可得圆在椭圆内部时，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点M，N，

设圆的方程为x2+y2=