2024-2025学年广东省揭阳市普宁市华侨中学高三（上）摸底数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广东省揭阳市普宁市华侨中学高三（上）摸底数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合U={1,2,3,4,5}，A={2,3}，B={x|x=2k,k∈Z}，则B∩∁UA=A.{4} B.{2,4} C.{1,2} D.{1,3,5}2.复数(i−1i)3A.−8 B.−8i C.8 D.8i3.下列函数中，既是偶函数又在(0,1)上单调递增的是(

)A.y=cosx B.y=x C.y=24.已知向量a=(0,−2)，b=(1,t)，若向量b在向量a上的投影向量为−12aA.−2 B.−52 C.2 5.不等式(a−2)x2+2(a−2)x−4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是A.[−2,2] B.(−∞,2) C.(−∞,−2) D.(−2,2]6.A，B，C，D，E五人站成一排，如果A，B必须相邻，那么排法种数共有(

)A.24 B.120 C.48 D.607.设a，b为正数，若圆x2+y2+4x−2y+1=0关于直线ax−by+1=0对称，则A.9 B.8 C.6 D.108.已知函数f(x)=cosxx，若A，B是锐角△ABC的两个内角，则下列结论一定正确的是(

)A.f(sinA)>f(sinB) B.f(cosA)>f(cosB)

C.f(sinA)>f(cosB) D.f(cosA)>f(sinB)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知一组数据：12，31，24，33，22，35，45，25，16，若去掉12和45，则剩下的数据与原数据相比，下列结论正确的是(

)A.中位数不变 B.平均数不变 C.方差不变 D.第40百分位数不变10.已知函数f(x)=cos2x+2A.π是函数f(x)的一个周期

B.x=−π6是函数f(x)的一条对称轴

C.函数f(x)的一个增区间是(−π3,π6)

11.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点A.当A1P=13A1C时，D1P⋅AP的值最小

B.当A1P=23A1C时，三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知直线l1：ax+2y−3=0与l2：3x+(1−a)y+4=0，若l1⊥l13.若事件A，B发生的概率分别为P(A)=12，P(B)=23，且A与B相互独立，则P(A∪B)=

14.若一圆锥的母线长为2，则此圆锥体积的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=mlnx−3x．

(1)若f(x)在(1,f(1))处的切线与直线x+2y+1=0平行，求实数m的值；

(2)若m=2，求函数g(x)=f(x)+16.(本小题15分)

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中c=3，且ba=2tanBtanB−tan(A+B)．

(1)求C17.(本小题15分)

如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC，AB⊥AD，PA⊥平面ABCD，AD=10，BC=2AB=8，M为PC的中点．

(1)求证：平面PAC⊥平面PCD；

(2)若AM⊥PC，求直线BM与面PCD所成角的正弦值．18.(本小题17分)

设F1，F2为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，点A(3,12)在椭圆C上，点A关于原点的对称点为B，四边形AF1BF2的面积为19.(本小题17分)

某学校有甲、乙、丙三家餐厅，分布在生活区的南北两个区域，其中甲、乙餐厅在南区，丙餐厅在北区，各餐厅菜品丰富多样，可以满足学生的不同口味和需求．别就餐区域合计南区北区男251540女15520合计402060(1)现在对学生性别与在南北两个区域就餐的相关性进行分析，得到下表所示的抽样数据，依据α=0.100的独立性检验，能否认为在不同区域就餐与学生性别有关联？

(2)张同学选择餐厅就餐时，如果前一天在甲餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为12；如果前一天在乙餐厅，那么后一天去甲，丙餐厅的概率分别为13,23；如果前一天在丙餐厅，那么后一天去甲，乙餐厅的概率均为12α0.1000.0500.0250.010x2.7063.8415.0246.635(i)求第2天他去乙餐厅用餐的概率；

(ii)求第n(n∈N∗)天他去甲餐厅用餐的概率pn．

附：参考答案1.A

2.A

3.C

4.A

5.D

6.C

7.A

8.D

9.AD

10.ACD

11.ABC

12.−2

13.5614.1615.解：(1)由函数f(x)=mlnx−3x，定义域为(0,+∞)，

可得f′(x)=mx+3x2，

可得f′(1)=m+3，即f(x)在(1,f(1))处的切线的斜率为k=m+3，

因为f(x)在(1,f(1))处的切线与直线x+2y+1=0平行，

所以−12=m+3，

可得m=−72；

(2)若m=2，可得f(x)=2lnx−3x，所以g(x)=2(lnx+1x)，

其中x>0，可得g′(x)=2(1x−1x2)=2(x−1)x2，

16.解：(1)根据tan(A+B)=tan(π−C)=−tanC，由ba=2tanBtanB−tan(A+B)，得ba=2tanBtanB+tanC，

由正弦定理得ba=sinBsinA，所以sinBsinA=2tanBtanB+tanC=2sinBcosCsinBcosC+cosBsinC=2sinBcosCsin(B+C)=2sinBcosCsinA，

因为△ABC中，sinA≠0，sinB≠0，所以2cosC=1，即cosC=12，结合C∈(0,π)，可得C=π3．

17.解：(1)以{AB,AD,AP}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，设PA=m，

则A(0,0,0)，C(4,8,0)，D(0,10,0)，P(0,0,m)，

则PC=(4,8,−m)，CD=(−4,2,0)，

设平面PCD的一个法向量为n1=(x1,y1,z1)，

则PC⋅n1=0CD⋅n1=0，

即4x1+8y1−mz1=0−4x1+2y1=0，令x1=1，则y1=2，z1=20m，

所以n1=(1,2,20m)，

设平面PAC的法向量为n2，

同理可得，n18.解：(1)设椭圆C的焦距为2c(c>0)，四边形AF1BF2为平行四边形，其面积设为S，

则S=2c⋅12=3，所以c=3，

所以a2−b2=c2=3，

又3a2+14b2=1，

解得a2=4，b2=1，

所以椭圆C的方程为x24+y2=1．

(2)证明：F2(3,0)，当直线l与x轴重合时，l的方程为y=0，

此时不妨令|F2M|=a+c=2+3,|F219.解：(1)零假设H0：在不同区域就餐与学生性别没有关联，

根据表中的数据可得，χ2=60×(25×5−15×15)240×20×40×20=1516=0.9375<2.706，

依据α=0.100的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，

因此可以认为H0成立，即认为在不同区域就餐与学生性别没有关联．

(2)设Ai=“第i天去甲餐厅用餐”，Bi=“第i天去乙餐厅用餐”，C