全国自考（高等数学一）模拟试卷3（共181题）

全国自考（高等数学一）模拟试卷3（共9套）（共181题）全国自考（高等数学一）模拟试卷第1套一、单选题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、y=ln(x+1)－的定义域为A、(－1，+∞)B、(－1，1]C、(－1，1)D、(1，+∞)标准答案：A知识点解析：暂无解析2、已知ψ是f的反函数，则f(2x)的反函数是A、y=ψ(x)B、y=2ψ(x)C、y=ψ(2x)D、y=2ψ(2x)标准答案：A知识点解析：令y=F(2x)，反解出x=ψ(y)，互换x，y的位置得反函数y=ψ(x)，选A3、若=2，则=A、3B、1/3C、2D、1/2标准答案：B知识点解析：4、当x→0时，下列变量为无穷小量的是A、sinB、cosC、D、1n(1+x2)标准答案：D知识点解析：暂无解析5、设f(x)=在x=0处可导，则A、a=1，b=0B、a=0，b为任意常数C、a=0，b=0D、a=1，b为任意常数标准答案：C知识点解析：由函数f(x)在x=0处可导，知函数在x=0处连续．=0．(ax+b)=b，所以b=0．又f＇+(0)==0．f＇－(0)==a，所以a=0.6、设函数y=y(x)是由方程sin(xy)－=1确定的隐函数，则y＇(0)=A、eB、e－1C、e-1D、e(1－e)标准答案：D知识点解析：当x=0时，0+lny=1，此时y=e.对方程两边求导得cos(xy)?(y+xy＇)－=0，将x=0，y=e代入解得y’(0)=e(1－e)．7、若x0是f(x)的极值点，则有A、f＇(x0)必定存在，且f＇(x0)=0．B、f＇(x0)必定存在，但f＇(x0)不－定等于零C、f＇(x0)可能不存在D、f＇(x0)必定不存在标准答案：C知识点解析：y=∣x∣在x=0处取得极小值，但该函数在x=0处不可导．8、设f(x)是连续函数，且f(t)dt=xcosx，则f(x)=A、cosx－xsinxB、cosx+xsinxC、sinx－xcosxD、sinx+xcosx标准答案：A知识点解析：f(x)=（f(t)dt）＇=(xcosx)＇=cosx—xsinx．9、若f(x)在[－a，a]上连续，则x[f(x)+f(－x)]dx=A、xf(x)dxB、xf(－x)dxC、0D、[f(x)+f(－x)]dx标准答案：C知识点解析：暂无解析10、设函数f(u)连续，区域D={(x，y)∣x2+y2≤2y)，则(xy)dxdy=A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：在直角坐标系下，f(xy)dxdy=f(xy)dy．故应排除选项A、B．在极坐标系下，故应选D．二、计算题（一）(本题共5题，每题1.0分，共5分。)11、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析12、设f(x)=当a取什么值时，函数f(x)在其定义域内连续?标准答案：f(x)在x≠3时是连续函数，因此f(x)只要在x=3处连续，就在其定义域内连续．因为=6,f(3)=a，所以只要a=6，f(x)就在其定义域内连续．知识点解析：暂无解析13、设ln=arctan,求标准答案：方程两边对x求导得由此得.知识点解析：暂无解析14、计算定积分标准答案：令=u，则x=dx=—udu．当x=－1，1时，u=3，1．原式=－(5－u2)du=.知识点解析：暂无解析15、设z=x2f()，且f可微，求dz．标准答案：因为=2xf()－yf＇()所以dz知识点解析：暂无解析三、计算题（二）(本题共5题，每题1.0分，共5分。)16、设函数f(x)=且f(x)在(－∞，+∞)内连续，求a，b的值．标准答案：f(x)=(x2+1)=1，f(x)=3x+a=a，f(0)=a若f(x)在x=0处连续，则，故a=1．又因为(x2+1)=2。=b，f(1)=b，若f(x)在x=1处连续，则，故b=2．知识点解析：暂无解析17、设y=arcsin,求y＇．标准答案：y＇=知识点解析：暂无解析18、求在[0，1]上的最大值和最小值．标准答案：令f(x)=dt，f＇(x)=>0，x∈[0，1]，所以f(x)在[0，1]上为增函数，其最小值为f(0)=0．最大值为f(1)=知识点解析：暂无解析19、计算定积分x2cos2xdx的值．标准答案：原式=x2dsin2x=(x2sin2xxsin2xdx)=－xsin2xdx=xdcos2x=(xcos2xcos2xdx)=cos2xd2x=知识点解析：暂无解析20、方程sin(x—y+z)=x—y+z确定了二元隐函数z=z(x，y)，求的值．标准答案：令F(x，y，z)=sin(x—y+z)－(x—y+z)，则=cos(x—y+z)－1，=－cos(x—y+z)+1，cos(x—y+z)－1．所以=－1，=1故=0．知识点解析：暂无解析四、应用题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)21、设函数f(x)在[0，π]上连续，且f(x)dx=0，f(x)cosxdx=0，试证明：在(0，π)内至少存在两个不同的点ξ1，ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0．标准答案：引入辅助函数F(x)=f(t)dt，x∈[0，π]，则F＇(x)=f(x)，F(0)=F(π)=0，又0=f(x)cosxdx=cosxdF(x)=F(x)cosxF(x)sinxdx=F(x)sinxdx，因此，必存在－点ξ∈(0，π)，使F(ξ)sinξ=0，否则F(x)sinx在(0，π)内恒正或恒负，均与F(x)sinxdx=0矛盾，因ξ∈(0，π)，sinξ≠0，所以F(ξ)=0．综上所述，F(0)=F(ξ)=F(π)=0，ξ∈(0，π)．在区间[0，π]和[ξ，π]上分别对F(x)应用罗尔定理，知存在ξ1∈(0，ξ)和ξ2∈(ξ，π)，使得F＇(ξ1)=F＇(ξ2)=0，即f(ξ2)=f(ξ2)=0．知识点解析：暂无解析过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D．22、求D的面积A；标准答案：设切点横坐标为x0，则曲线y=lnx在点(x0，lnx0)处的切线方程是y=lnx0+(x－x0)．由该切线过原点知lnx0－1=0，从而x0=e，所以该切线的方程是y=x，从而D的面积A=(ey—ey)dy=－1.知识点解析：暂无解析23、求D绕直线x=e旋转－周所得旋转体的体积V．标准答案：切线y=x与x轴及直线x=e围成的三角形绕直线x=e旋转旋转所得的旋转体体积为V1=πe2.曲线y=lnx与x轴及直线x=e围成的图形绕直线x=e旋转所得的旋转体体积为V2=π(e－ey)2dy=π(－)因此，所求体积为V=V1－V2=(5e2－12e+3)．知识点解析：暂无解析24、求函数f(x，y)=xy(a—x—y)的极值．标准答案：由得驻点(0，0)(0，a)，(a，0)，()．A=f＂xx=－2y，B=f＂xy=a－2x－2y，C=f＂yy=－2x．对四个驻点分别计算AC—B2，易知(0，0)，(0，a)，(a，0)处都有AC—B2＜0，故都不是极值点，而()处AC—B2=＞0，A=－2y=－a，所以当a＞0时，函数在此点取得极小值,当a＜0时，函数在此点取得极大值.知识点解析：暂无解析25、求曲线y=2－x2和直线y=2x+2所围成图形的面积．标准答案：曲线y=2－x2和直线y=2x+2的交点满足方程组解得交点为(－2，－2)，(0，2)．故平面图形面积为：S=dxdy=[(2－x2)－(2x+2)]dx=(－x2－2x)dx=(－－x2).知识点解析：暂无解析全国自考（高等数学一）模拟试卷第2套一、单选题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、D1，D2，D3，D4分别为单位圆x2+y2≤1在－、二、三、四象限的部分，则=A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：x2y在第－象限和第二象限是对称的，所以在第－、二象限二重积分的值相等．2、设z=，则A、－2xysin(2xy2)B、2xysin(2xy2)C、2xy2sin(2xy2)D、－2xy2sin(2xy2)标准答案：A知识点解析：?(－sin2xy2)y＇=－?sinxy2?(sinxy2)y’=－?sinxy2?cosxy2?(xy2)y＇=－sin(2xy2)?2xy=－2xysin(2xy2)3、A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：4、A、—2B、0C、2D、∞标准答案：C知识点解析：5、函数y=的定义域是A、(0，1)B、(0，1)∪(1，4)C、(0，4)D、(0，1)∪(1，4]标准答案：D知识点解析：暂无解析二、计算题（一）(本题共5题，每题1.0分，共5分。)6、计算定积分标准答案：知识点解析：暂无解析7、设f(x)=当a取什么值时，函数f(x)在其定义域内连续?标准答案：f(x)在x≠3时是连续函数，因此f(x)只要在x=3处连续，就在其定义域内连续．因为=6,f(3)=a，所以只要a=6，f(x)就在其定义域内连续．知识点解析：暂无解析8、设函数f(x)在(－∞，+∞)上有定义，在区间[0，2]上，f(x)=x(x2－4)；在[－2，0]上f(x)=kx(x+2)(x+4)，问k为何值时，f(x)在x=0处可导．标准答案：由题设知f(0)=0．f＇+(0)=—4．f＇－(0)=8k．令f＇－(0)=f＇+(0)，得k=－即当k=－时，f(x)在x=0处可导．知识点解析：暂无解析某工厂生产Q个单位产品的总成本C为产量Q的函数C=C(Q)=1100+Q2求：9、生产900个单位产品时的总成本和平均成本;标准答案：生产900个单位产品时的总成本为C=C(900)=1100+×9002=1775．平均成本为≈1．97．知识点解析：暂无解析10、生产900个单位产品时的边际成本．标准答案：生产900个单位产品时的边际成本为C＇(900)=(1100+==1.5.知识点解析：暂无解析三、计算题（二）(本题共3题，每题1.0分，共3分。)11、计算标准答案：知识点解析：暂无解析12、求函数f(x)，使+C标准答案：因为=(x2+3x+1)lnx+－1=(x2+3x+1)lnx，所以f(x)=f(x)dx=(x2+3x+1)lnx．知识点解析：暂无解析13、设y=arctan求y＂．标准答案：y＇知识点解析：暂无解析四、应用题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)设平面图形由曲线y=1－x2(x≥0)及两坐标轴围成．14、求该平面图形绕x轴旋转所形成的旋转体的体积；标准答案：V=π(1－x2)2dx=知识点解析：暂无解析15、求常数a的值，使直线y=a将该平面图形分成面积相等的两部分．标准答案：由题意得,由此得—1=—，解得a=1－知识点解析：暂无解析全国自考（高等数学一）模拟试卷第3套一、单选题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、设f(x)是定义在实数域上的一个函数，且f(x—1)=x2+x+1，则A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：f(x—1)=(x—1)2+3(x—1)+3，∴f(x)=x2+3x+3，2、=3，则k=A、—3B、2C、3D、—2标准答案：A知识点解析：∴k=—3．3、A、0B、C、D、∞标准答案：C知识点解析：当x→0时，1—cosx～x2，从而，4、已知函数则f(x)在x=0处A、间断B、导数不存在C、导数f’(0)=—1D、导数f’(0)=1标准答案：C知识点解析：由条件，f(0)=1，∫—’(0)=(—e—x)=—1，故f’(0)=一1．5、已知f(x)=sin(2x)+，那么f(x)的微分df(x)=A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：用复合函数求导法则求导，∵f’(x)=cos(2x)．2+．2x，∴df(x)=f’(x)dx=[2cos(2x)+]dx．6、函数y=sinx—x在区间[0，π]上的最大值是A、B、0C、—πD、π标准答案：B知识点解析：因为y’=cosx—1在(0，π)内小于零，故y在[0，π]上严格单凋下降，所以函数在x=0处取得最大值，y=0．7、A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：8、微分方程y’+的通解是A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：由通解公式，通解9、A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：10、设D是由直线y=x，y=0，x=1所围成的平面区域，则dxdy=A、∫01dx∫0xdyB、∫01dx∫x0dyC、∫01dy∫xydxD、∫01dx∫0ydy标准答案：A知识点解析：根据二重积分与二次积分的转换，∵D={(x，y)|0≤y≤x，0≤x≤1}，如右图所示，∴dxdy=∫01dx∫0xdy．二、计算题（一）(本题共5题，每题1.0分，共5分。)11、标准答案：知识点解析：暂无解析12、设y=arcsin，求y’．标准答案：知识点解析：暂无解析13、标准答案：知识点解析：暂无解析14、求微分方程的通解．标准答案：知识点解析：暂无解析15、计算二次积分：标准答案：该二次积分的积分域D为圆心在原点(0，0)，半径为a的圆位于第一象限的部分，其图形如下图所示，化为极坐标得知识点解析：暂无解析三、计算题（二）(本题共5题，每题1.0分，共5分。)16、设g(x)=x2—4，求f[g(x)]．标准答案：当x2—4≤0，即—2≤x≤2时，f[g(x)]=f(x2—4)=(x2—4+1)2=(x2—3)2；当x2—4＞0，即x＞2或x＜一2时，f[g(x)]=f(x2—4)=x2—4+4=x2，故f[g(x)]=知识点解析：暂无解析17、y=xnsin，求y’．标准答案：知识点解析：暂无解析18、讨论需求曲线D=4b3—3bP2+P3(b＞0)的单调性、凹凸性和拐点．标准答案：(1)D’=一6bP+3P2=0，P=2b．P＜2b时，D’＜0，函数递减，P＞2b时，D’＞0，函数递增．(2)D"=6P—6b=0，P=b．P＜b时，D"＜0，曲线是凸的，P＞b时，D"＞0，曲线是凹的．(3)当P=b时，D(b)=4b3—3b3+b3=2b3，拐点为(6，2b3)．知识点解析：暂无解析19、设求∫02f(x—1)dx．标准答案：设x—1=t，则dx=dt，x=0时，t=一1；x=2时，t=1，所以∫01f(x一1)dx=∫—11f(t)dt=∫—10+∫01sinxdx=—ln(2—x)|01—cosx|01=—(ln2—ln3)—cos1+1=1—cos1—ln2+ln3．知识点解析：暂无解析20、计算二重积分dxdy，其中D是由抛物线y2=和直线x+2y=4围成的平面区域．标准答案：求交点得(8，一2)，(2，1)．=∫—21(4—4y—3y2+2y3+y4)dy知识点解析：暂无解析四、应用题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)21、设某商品的平均成本为AC=a0+a1Q3—a2Q2(a0，a1，a2均为大于0的常数，Q为产量)．(1)求平均成本的极小值；(2)求总成本曲线的拐点．标准答案：(1)AC’(Q)=3a1Q2—2a2Q，令AC’(Q)=0，得到Q1=Q2=0(舍去)．因为AC"(Q1)=2a2＞0，所以AC(Q1)为极小值，极小值AC(Q1)=a0—(2)总成本曲线方程为TC=AC．Q=a0Q+a1Q4一a2Q3，TC’=a0+4a1Q3—3a2Q2，TC"=12a1Q2—6a2Q．令TC"=0，得到Q1=，Q2=0(舍去)．曲线拐点为知识点解析：暂无解析22、某商品的价格P作为需求量Q的函数为P=5—求：(1)总收益函数、平均收益函数和边际收益函数；(2)当Q=10个单位时的总收益、平均收益和边际收益．标准答案：(1)总收益函数R=QP=平均收益函数边际收益函数为：R’=5一(2)R(10)=R’(10)=5—.10=3．知识点解析：暂无解析23、设由曲线y=x2+ax(a≥0)，y=0，x=1所围成的有界区域绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为，求a．标准答案：本题为定积分的应用．y=x2+ax与x轴(y=0)的交点为x1=—a，x2=0，因为x1=—a小于0，故所围区域在[0，1]上，所以Vx=∫01π(x2+ax)2dx=π∫01(x4+2ax3+a2x2)dx解得a=0，(舍去)．知识点解析：暂无解析24、从斜边之长为L的一切直角三角形中求有最大周长的直角三角形．标准答案：设直角三角形的二直角边长分别为x和y，则有周长P：P=L+x+y(0＜x＜L，0＜y＜L)，条件函数为L2=x2+y2，令F(x，y，λ)=L+x+y+λ(x2+y2一L2)，x=y，代入x2+y2=L2中，得x=y=合理驻点只有一个，根据实际意义，一定存在最大周长，所以x=y=时，即斜边长不变时，等腰直角三角形的周长最大．知识点解析：暂无解析全国自考（高等数学一）模拟试卷第4套一、单选题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、函数y=的定义域是A、(－2，3]B、[－3，3]C、(－2，－1)和(－1，3]D、(－3，－2)和(－2，3)标准答案：C知识点解析：根据定义域原则中的分式分母不得为零，偶次根式被开方式大于或等于零，对数的真数大于零等，有－22、A、1B、∞C、－1D、0标准答案：D知识点解析：=0．3、设f(x)为可导函数，且=1，则f＇(x0)=A、1B、0C、2D、1/2标准答案：C知识点解析：由导数定义可知f＇(x0)=，而=1，所以f’(x0)==2．4、曲线y=xe-x的拐点是A、(1，e-1)B、(2，2e-2)C、(3，3e-3)D、(4，4e-4)标准答案：B知识点解析：因为y=xe-x，所以y＇=e-x－xe-xy＂=－e-x－(e-x－xe-x)=(－1－1+x)e-x=(x－2)e-x．令y＂=(x－2)e-x=0解得x=2.又因为当x>2时，y＂>0，曲线是凹的，当x<2时，y＂<0，曲线是凸的，则曲线Y=xe-x的拐点是(2，2e-2)5、设某商品的市场需求函数为Q=1－，p为商品价格，则需求弹性函数为A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：因为需求弹性函数为，又因为Q=1－，Q’(p)=－则所求为6、微分方程(xlnx)y＇=y的通解是A、y=ClnxB、y=ClnC、y=Cln(x+1)D、y=Cln标准答案：A知识点解析：该方程可变形为两边积分得lny=ln(1nx)+C1，所以y=Clnx．7、定积分∣x－1∣dx的值是A、2/5B、1/3C、5/2D、3标准答案：C知识点解析：暂无解析8、=A、2B、3C、1/3D、1/2标准答案：D知识点解析：暂无解析9、设z=，则A、－2xysin(2xy2)B、2xysin(2xy2)C、2xy2sin(2xy2)D、－2xy2sin(2xy2)标准答案：A知识点解析：?(－sin2xy2)y＇=－?sinxy2?(sinxy2)y’=－?sinxy2?cosxy2?(xy2)y＇=－sin(2xy2)?2xy=－2xysin(2xy2)10、设积分区域D是2≤x2+y2≤4，则dxdy=A、8πB、4πC、2πD、π标准答案：C知识点解析：当被积函数是l时，二重积分的值是被积区域的面积；即dxdy=π×22－π×(√2)2=2π．二、计算题（一）(本题共5题，每题1.0分，共5分。)11、求极限的值．标准答案：知识点解析：暂无解析12、设y=(arctanx)2－xarctanx+ln(1+x2)，求dy．标准答案：y＇=x(arctanx)2+?2?arctanx?—arctanx—=x(arctanx)2,所以dy=x(arctanx)2dx．知识点解析：暂无解析13、求极限的值．标准答案：=3．知识点解析：暂无解析14、求定积分的值．标准答案：设=t，则dx=2tdt，当x=0时，t=1；当x=2时，t=√3．则原式知识点解析：暂无解析15、设由方程x2+y2+2x－2yz=ex确定的z=z(x，y)，求标准答案：设F(x，y，z)=x2+y2+2x－2yz—ez，则F＇x=2x+2，F＇y=2y－2z，F＇z=－2y—ez．所以知识点解析：暂无解析三、计算题（二）(本题共5题，每题1.0分，共5分。)16、设y=，∣x∣<1，求y＇．标准答案：y＇=[1n(1－x)－ln(1+x)]＇知识点解析：暂无解析17、设函数y=y(x)由方程y－xey=1所确定，求的值．标准答案：将x=0代入原方程得：y(0)=1，对原方程求导得：y＇－ey－xeyy＇=0，对上式求导并将x=0、y=1代入，解得：=2e2．知识点解析：暂无解析18、已知y=f(x)过坐标原点，并且在原点处的切线平行于直线2x+y－3=0，若f＇(x)=3ax2+b，且f(x)在x=1处取得极值，试确定a、b的值，并求出y=f(x)的表达式.标准答案：在原点处的切线平行于直线2x+y－3=0即=－2，即b=－2．又由f(x)在x=1处取得极值，得f＇(1)=0，即3a+b=0，得a=－，故f＇(x)=2x2－2，两边积分得f(x)=x3—2x+C，又因曲线y=f(x)过原点，所以C=0，所以y=f(x)=x3—2x．知识点解析：暂无解析19、求的值．标准答案：令x－2=u3，则有dx=2udu．知识点解析：暂无解析20、设f(x－y,)=x2－y2，求f(x，y).标准答案：令,得代入方程得f(t，s)=故f(x，y)=知识点解析：暂无解析四、应用题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)21、设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内有二阶导数，且有f(a)=f(b)=0，f(c)>0(a标准答案：f(x)在[a，c]、[c，b]上连续，在(a，c)、(c，b)内可导，由拉格朗日中值定理，分别至少有－点ξ1∈(a，c)、ξ2∈(c，b)，使得f＇(ξ2)=＜0，f＇(ξ1)=＞0；又f＇(x)在[ξ1，ξ2]上连续，在(ξ1，ξ2)内可导，从而至少有－点ξ∈(ξ1，ξ2)，使得f＂(ξ)=＜0．知识点解析：暂无解析22、设f(x)的导数f＇(x)的图像为过原点和点(2，0)的抛物线，开口向下，且f(x)的极小值为2，极大值为6，求f(x)．标准答案：设f＇(x)=ax2+bx+c(a＜0)，由f＇(0)=0→c=0．由f＇(2)=0→4a+2b=0→b=－2a所以f＇(x)=ax2－2ax，令f＇(x)=0→驻点x1=0，x2=2．又f＂(x)=2ax－2a，因为f＂(0)=－2a>0，所以x=0为极小值点，且f(0)=2．因为f＂(2)=2a<0，所以x=2为极大值点，且f(2)=6．而f(x)由所以f(x)=－x3+3x2+2．知识点解析：暂无解析23、求抛物线y=－x2+4x－3及其在(0，－3)和(3，0)处的切线所围成图形的面积．标准答案：y＇=－2x+4，则抛物线在点(0,－3)和(3，0)处的切线斜率分别为4，－2.所以切线方程分别为y=4x－3和y=－2x+6其交点坐标是(，3)，所以S=(4x－3)dx+(－2x+6)dx－(－x2+4x－3)dx=知识点解析：暂无解析24、求函数z=ln(x2+y2)的全微分．标准答案：,dz=知识点解析：暂无解析全国自考（高等数学一）模拟试卷第5套一、单选题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、下列选项中极限计算正确的是A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：暂无解析2、设f(x)为可导函数，且=1，则f＇(x0)=A、1B、0C、2D、1/2标准答案：C知识点解析：由导数定义可知f＇(x0)=，而=1，所以f’(x0)==2．3、若=2，则=A、3B、1/3C、2D、1/2标准答案：B知识点解析：4、设函数f(x)在x=a处可导，且=1，则f’(a)=A、B、5C、2D、标准答案：A知识点解析：5、A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：二、计算题（一）(本题共5题，每题1.0分，共5分。)6、判断函数f(x)=的奇偶性．标准答案：f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]，则∣x+2∣－2=x，f(x)=而f(－x)=－f(x)，故f(x)=为奇函数．知识点解析：暂无解析7、求极限的值．标准答案：知识点解析：暂无解析8、设z=x2f()，且f可微，求dz．标准答案：因为=2xf()－yf＇()所以dz知识点解析：暂无解析某工厂生产Q个单位产品的总成本C为产量Q的函数C=C(Q)=1100+Q2求：9、生产900个单位产品时的总成本和平均成本;标准答案：生产900个单位产品时的总成本为C=C(900)=1100+×9002=1775．平均成本为≈1．97．知识点解析：暂无解析10、生产900个单位产品时的边际成本．标准答案：生产900个单位产品时的边际成本为C＇(900)=(1100+==1.5.知识点解析：暂无解析三、计算题（二）(本题共3题，每题1.0分，共3分。)11、计算定积分x2cos2xdx的值．标准答案：原式=x2dsin2x=(x2sin2xxsin2xdx)=－xsin2xdx=xdcos2x=(xcos2xcos2xdx)=cos2xd2x=知识点解析：暂无解析12、函数G(x)=t2etdt，求G’(x)．标准答案：G(x)=t2etdt，积分上限变量为x3．是x的函数，G(x)可以看成是由函数F(u)=t2etdt与u=x3复合而得的复合函数，由复合函数的求导法则和积分上限函数的性质，得到G’(x)==u2eu3x2=3x8．知识点解析：暂无解析13、设F(u，v)可微，且F＇u≠F＇v，z(x，y)是由方程F(ax+bz，ay－bz)=0(b≠0)所确定的隐函数，求标准答案：Fy＇=aFv＇，Fz＇=bFu＇－bFv＇=b(Fu＇－Fv＇)，知识点解析：暂无解析四、应用题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)设平面图形由曲线y=1－x2(x≥0)及两坐标轴围成．14、求该平面图形绕x轴旋转所形成的旋转体的体积；标准答案：V=π(1－x2)2dx=知识点解析：暂无解析15、求常数a的值，使直线y=a将该平面图形分成面积相等的两部分．标准答案：由题意得,由此得—1=—，解得a=1－知识点解析：暂无解析全国自考（高等数学一）模拟试卷第6套一、单选题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、设y=f(x)在区间[0，1]上有定义，则的定义域是A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由条件0≤x+≤1且0≤x一≤1，取交集，其定义域为2、设f(x)=cosx2，φ(x)=x2+1，则f[φ(x)]=A、cos(x2+1)2B、cos2(x2+1)C、cos(x2+1)D、cos2x2+1标准答案：A知识点解析：∵f(x)=cosx2，φ(x)=x2+1∴f[φ(x)]=cos[(φ2(1)]=cos(x2+1)2．3、A、e2B、e—2C、eD、e—1标准答案：B知识点解析：=e—2．4、设函数在x=0点连续，则k=A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：当f(0)=即k=时f(x)在x=0处连续．5、已知函数f(x)=则f(x)在点x=0处A、连续但导数不存在B、间断C、导数f’(0)=一1D、导数f’(0)=1标准答案：B知识点解析：(2—x)=2．∴f(x)在点x=0处间断，6、函数f(x)=x3在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的条件，适合定理结论的ξ=A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：由题知f’(1)=f(0)=f(ξ)(1—0)∴f’(ξ)=1即7、点(1，2)是f(x)=(x—a)3+b对应图形的拐点，则A、a=0，b=1B、a=2，b=3C、a=1，b=2D、a=—1，b=—6标准答案：C知识点解析：f(x)=(x—a)3+b，f"(x)=6(x—a)=0，解得x=a，当x=a时，f(x)=b，∴f(x)的拐点是(a，b)，又∵(1，2)是f(x)的拐点，∴a=1，b=2．8、A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：9、A、0B、1C、eD、不存在标准答案：C知识点解析：型未定式，用洛必达法则，再用变上限积分求导公式求出分子的导数，而10、若函数z=z(x，y)的全微分dz=sinydx+xcosydy，则二阶偏导数A、sinxB、sinyC、cosxD、cosy标准答案：D知识点解析：二、计算题（一）(本题共5题，每题1.0分，共5分。)11、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析12、设f(x)=x．|x|，求f’(x)．标准答案：f’+(0)=f—’(0)，所以f’(0)=0，因此知识点解析：暂无解析13、标准答案：知识点解析：暂无解析14、求不定积分∫xln(x—1)dx．标准答案：利用分部积分公式．知识点解析：暂无解析15、设由x2+y2+2x—2yz=ez确定z=z(x，y)，求标准答案：设F(x，y，z)=x2+y2+2x—2yz—ez，Fx’=2x+2，Fy’=2y—2z，Fz’=—2y—ez，知识点解析：暂无解析三、计算题（二）(本题共5题，每题1.0分，共5分。)16、求极限标准答案：所以原极限=e2．知识点解析：暂无解析17、讨论函数在x=0处的可导性．标准答案：f(x)是个分段函数，指定点x=0是其分界点，由于函数在点x=0的两侧的表达式不同．所以要分别讨论f(x)在点x=0处的左、右导数．f+’(0)≠f—’(0)，所以所给函数在点x=0处不可导．知识点解析：暂无解析18、讨论函数在x=0处的可导性．标准答案：因为f—’(0)==0，可见f—’(0)≠f+’+(0)，故f(x)在点x=0处不可导．知识点解析：暂无解析19、计算不定积分标准答案：=4∫sinxdx—∫csc2xdx=—4cosx+cotx+C．知识点解析：暂无解析20、计算标准答案：知识点解析：暂无解析四、应用题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)21、某商品的需求函数为Q=180—10P，企业生产该商品的成本函数为C=3Q+0．1Q2．试求：(1)该商品的总收益函数、平均收益函数；(2)该商品的平均成本函数；(3)该商品的总利润函数；(4)当产量为30时的利润．标准答案：(1)总收益函数为R=QP(Q)．因为Q=180—10P，∴P=18—，从而总收益为R=Q．P=Q(18一Q2，平均收益函数为(2)已知成本函数为C=3Q+0．1Q2，所以平均函数为=3+0．1Q．(3)总利润=总收益一总成本，所以总利润函数为L=R—C=18Q—Q2—3Q—0．1Q2=15Q—Q2．(4)产量为30时，利润为L(30)=15×30—．302=270．知识点解析：暂无解析22、某工厂生产某种产品，每批至少生产5(百台)，最多生产20(百台)，如生产x(百台)的成本C(x)=x3—6x2+29x+15，可得收入R(x)=20x—x2(万元)，问每批生产多少时，可使工厂获得最大利润？标准答案：总利润函数为L(x)=R(x)—C(x)=(20x—x2)—(x3—6x2+29x+15)=x3+5x2—9x—15，5≤x≤20．令L’(x)=一x2+10x—9=一(x—1)(x—9)=0，得驻点x=9，x=1(舍去)．由L"(x)=—2x+10，L"(9)=一8＜0，故知当每批生产9百台时利润最大．知识点解析：暂无解析23、求曲线y=x3—3x+2与它的右极值点处的切线所围成的图形的面积．标准答案：y’=3x2—3，y"=6x．令y’=0，得x=1，x=一1；y"(1)=6＞0，y"(—1)=—6＜0，所以x=一1，x=1是它的极值点，且x=1为右极值点．这时y’(1)=0，y(1)=1—3+2=0，故y=0为该曲线在右极值点x=1处的切线方程．又当y=0时，x=1，x=一2．因此S=∫—21(x3—3x+2)dx=知识点解析：暂无解析24、若边际消费倾向是收入y的函数C’(y)=，且收入为零时的总消费支出C0=70．求：(1)消费函数C(y)；(2)收入由100增到196时消费支出的增量．标准答案：(1)C(y)一C’(y)dy=又∵C(0)=70，∴C(y)=+70．(2)由∫100196|100196=21264，故收入由100增加到196时，消费支出增加21264．知识点解析：暂无解析全国自考（高等数学一）模拟试卷第7套一、单选题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、函数z=的定义域是A、x+y>0B、1n(x+y)≠0C、x+y>1D、x+y≠1标准答案：C知识点解析：暂无解析2、函数f(x)=xsin在点x=0处A、有定义但无极限B、无定义但有极限值0C、无定义但有极限值1D、既无定义又无极限值标准答案：B知识点解析：无定义是显然的，因为极限=0(无穷小乘以有界量仍是无穷小)，所以选B.3、设函数f(x)=在点x=0处连续，则k=A、0B、1C、2D、3标准答案：C知识点解析：=2．(3x2－2x+k)=k．欲f(x)在x=0处连续，需=f(0)，故k=2．4、若f(x)在x=a处可导，则=A、mf＇(a)B、nf＇(a)C、(m+n)f＇(a)D、标准答案：C知识点解析：=(n+m)f＇(a)．5、曲线y=x3－1在点(－2，－9)处的切线方程为A、y=12x+15B、y=12x+33C、y=－12x+15D、y=2x+9标准答案：A知识点解析：k=y＇∣x=-2=(3x2)∣x=-2=3×(－2)2=12，所以在点(－2，－9)处的切线方程为：y+9=12(x+2)，即y=12x+15．6、设y=f(x)是满足微分方程，y＂+y＇－esinx=0的解，且f＇(x0)=0，则f(x)在A、x0的某个邻域单调增加B、x0的某个邻域单调减少C、x0处取得极小值D、x0处取得极大值标准答案：C知识点解析：由f＇(x0)=0有y＂(x0)=esinxo—y＇(x0)=esinx＞0，所以f(x)在x0处取得极小值．7、已知某商品的成本函数为C(Q)=2Q+30√Q+500，则当产量Q=l00时的边际成本为A、5B、3C、3．5D、1．5标准答案：C知识点解析：C＇(Q)=2+，所以C＇(100)=3．5．8、设f(x)的导函数连续，且是f(x)的－个原函数，则xf＇(x)dx=A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：因为是f(x)的－个原函数，所以有f(x)=所以xf＇(x)dx=xdf(x)=xf(x)—f(x)dx=x－+C．9、=A、1B、0C、－1D、∞标准答案：A知识点解析：暂无解析10、设二重积分的积分区域D是1≤x2+y2≤4，则2dxdy=A、3πB、4πC、6πD、30π标准答案：C知识点解析：2dxdy=dxdy=2(π?22－π?12)=6π．二、计算题（一）(本题共5题，每题1.0分，共5分。)11、求极限标准答案：知识点解析：暂无解析12、设f(x)=当a取什么值时函数f(x)在其定义域内连续?标准答案：f(x)在区间(－∞，0)∪(0，+∞)上是连续函数，因此f(x)只要在x=0处连续，就在其定义域内连续．因为(x－a)=－a,=1．f(0)=－a，所以只要a=－1，f(x)就在其定义域内连续．知识点解析：暂无解析13、设函数f(x)=(x－a)ψ(x)，ψ(x)在x=a处连续，求f＇(a)．标准答案：f(x)=(x－a)ψ(x)，又ψ(x)在x=a处连续，f＇(a)=ψ(a)．知识点解析：暂无解析14、某工厂生产－批产品的固定成本为2000元，每增产－吨产品成本增加50元，设该产品的市场需求规律为Q=1100—10p(p为价格)，产销平衡，试求产量为100吨时的边际利润．标准答案：由于p=110－,故总收入为R=pQ=110Q－总成本为C=2000+50Q，故总利润为L=R－C=60Q－—2000，边际利润为L＇=60－当产量为100吨时，边际利润为L＇(100)=60－=40(元)．知识点解析：暂无解析15、求不定积分xcsc2xdx．标准答案：原式=－xd(cotx)=—xcotx+cotxdx=－xcotx+ln∣sinx∣+C．知识点解析：暂无解析三、计算题（二）(本题共5题，每题1.0分，共5分。)16、设b>a>e，试判断ab与ba的大小．标准答案：令f(x)=xlna－alnx，则f(x)在[a，b]上连续．因为f＇(x)=1na－>0，x∈[a,b]，所以f(x)在[a，b]上单调增加，即f(b)>f(a)，得blna—alnb>alna－alna=0．所以blna＞alnb→lnab＞1nba，即ab＞ba．知识点解析：暂无解析17、设f＇(sin2x)=cos2x+tan2x，当0标准答案：由题意知，f＇(sin2x)=cos2x+tan2x=1—2sin2x+所以f＇(x)=1—2x+=—2x—0=－x2－ln∣x－1∣+C=－x2－ln(1－x)+C．知识点解析：暂无解析18、求微分方程(xy2+x)dx+(y—x2y)dy=0的解．标准答案：变量分离得，两边积分得，ln(y2+1)=1n(x2－1)+lnC.从而通解为y2+1=C(x2－1)．知识点解析：暂无解析19、设z=f(xy，y)，其中f具有二阶连续偏导数，求标准答案：=yf＇1,=f＇1+y(xf＂11十f＂12)．知识点解析：暂无解析20、计算xydxdy，其中D是由抛物线y2=x及直线y=x－2所围成的闭区域．标准答案：知识点解析：暂无解析四、应用题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)21、求函数y=(x－1)的单调区间和极值，并求该函数图形的水平渐近线和铅直渐近线．标准答案：y＇=,令y＇=0，得驻点x1=－1，x2=0，列表如下：单调递增区间为(－∞，－1)，(0，+∞)；单调递减区间为(－l，0)．极小值为f(0)=－极大值为f(－1)=－函数无间断点，故无铅直渐近线；不存在，故无水平渐近线．知识点解析：暂无解析22、设f(x)=求Φ(x)=f(t)dt在[0,2]上的表达式，并讨论Φ(x)在[0，2]上的连续性与可导性．标准答案：当0≤x<1时，Φ(x)=(t+1)dt=x2+x当1≤x≤2时，Φ(x)=(t+1)dt+t2dt=(x3－1)，在x=1处，Φ(1)=，所以Φ(x)在[0，2]上连续．但是在x=1处．Φ＇－(1)=1+1=2，Φ＇+(1)=，所以Φ(x)在x=1处不可导，而在[0，1)∪(1，2]内可导．知识点解析：暂无解析23、设函数z=z(x，y)由方程z=e2x－3z+2y确定，求的值．标准答案：在z=e2x－3z+2y的两边分别对x，y求偏导，z为x，y的函数．从而所以=2.知识点解析：暂无解析24、求二重积分dxdy的值，其中D是由直线y=x，y=－1及x=1围成的平面区域．标准答案：平面区域D可表示为D：则I=其中dx=0(被积函数是y的奇函数)，所以I=－知识点解析：暂无解析全国自考（高等数学一）模拟试卷第8套一、单选题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、点(1，2)是f(x)=(x—a)3+b对应图形的拐点，则A、a=0，b=1B、a=2，b=3C、a=1，b=2D、a=—1，b=—6标准答案：C知识点解析：f(x)=(x—a)3+b，f"(x)=6(x—a)=0，解得x=a，当x=a时，f(x)=b，∴f(x)的拐点是(a，b)，又∵(1，2)是f(x)的拐点，∴a=1，b=2．2、下列极限中可用洛必达法则计算的是A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：∵分子、分母的极限都为0，∴可用洛必达法则，3、设函数f(x)=则f(x)在点x=1处A、不连续B、连续但左、右导数不存在C、连续但不可导D、可导标准答案：C知识点解析：因为=2．(3x－1)=2，又f(1)=2，所以=f(1)，即f(x)在x=1处连续.又因为=4=f＇－(1)，=3=f＇+(1)．f(x)在x=1处左、右导数均存在但不相等，故不可导.4、设F(x)=，则F＇(x)=A、x2e-xB、－x2e-xC、x2exD、标准答案：B知识点解析：暂无解析5、设lnf(t)=cost，则=A、tcost－sint+CB、tsint—cost十CC、t(cost+sint)+CD、tsint+C标准答案：A知识点解析：tdlnf(t)=tlnf(t)—lnf(t)dt=tcost—costdt—tcost—sint+C二、计算题（一）(本题共5题，每题1.0分，共5分。)6、标准答案：知识点解析：暂无解析7、由方程x2+y2+z2=4z可确定z是x，y的隐函数，求标准答案：由2x+2zx’=4zx’，得由2y+2zy’=4zy’，得知识点解析：暂无解析某工厂生产Q个单位产品的总成本C为产量Q的函数C=C(Q)=1100+Q2求：8、生产900个单位产品时的总成本和平均成本;标准答案：生产900个单位产品时的总成本为C=C(900)=1100+×9002=1775．平均成本为≈1．97．知识点解析：暂无解析9、生产900个单位产品时的边际成本．标准答案：生产900个单位产品时的边际成本为C＇(900)=(1100+==1.5.知识点解析：暂无解析10、设f(x)=求f(f(x))的表达式．标准答案：f(f(x))知识点解析：暂无解析三、计算题（二）(本题共3题，每题1.0分，共3分。)11、设(1)求f’(0)；(2)确定f(x)的单调区间．标准答案：(1)f—’(0)=f+’(0)=∵ff—’(0)=f+’(0)=0，∴f’(0)=0．(2)当x＜0时，f’(x)=一3x2＜0，x＞0时，f’(x)=arctanx+＞0所以f(x)的单调增加区间为(0，+∞)，减少区间为(一∞，0)．知识点解析：暂无解析12、求极限.标准答案：原式知识点解析：暂无解析13、设f(2x+1)=xex，求∫35f(