2025新高考数学一轮复习计数原理专项课件教案练习题

板块四概率与统计

微专题14计数原理

高考定位1.主要考查两个计数原理、排列、组合的简单应用，时常与概率相结

合，以选择题、填空题为主；

2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，有时也与函数、不等式、

数列交汇考查.

【真题体验】

1.（2023.全国乙卷）甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选

读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（）

A.30种B.60种

C.120种D.240种

答案C

解析甲、乙二人先选1种相同的课外读物，有&=6（种）情况，再从剩下的5

种课外读物中各自选I种不同的读物，有c；d=20（种）情况，由分步乘法计数原

理可得共有6X20=120（种）选法.

2.（2023•全国甲卷）现有5名志愿者参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日

两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不

同安排方式共有（）

A.120种B.60种

C.30种D.20种

答案B

解析先从5人中选择1人两天均参加公益活动，有c!种方式；

再从余下的4人中选择2人分别安排到星期六、星期日，有A：种安排方式.

所以不同的安排方式共有C；・A：=60（种）.故选B.

3.(2022-浙江卷)已知多项式(x+2)-(x_1F=ao+或%2+al+«4X4+asx5,则

42—,41+42+々3+。4+45=.

答案8-2

解析由多项式的展开式可知，«2=2d(-l)2+d(-l)3=12-4=8.

令彳=0可得670=2,

令X=1可得4()+。|+。2+。3+以+〃5=0,

所以41+〃2+〃3+〃4+45=-2.

4.(2022・新高考I卷)(1一次+月8的展开式中X2/的系数为.(用数字作

答)

答案一28

解析(x+y)8展开式的通项7>+i=C既8y,

r=0,1,•••,7,8.

令r=6,得7^+i=CsA^y6;

令r—5,得Ts+i—Csx^y5)

所以(1—§a+y)8的展开式中46的系数为ct-ci=-28.

【热点突破】

热点一两个计数原理

I核心归纳

⑴利用分类加法计数原理时注意根据题目特点选择一个恰当的分类标准,分类

时注意完成这件事的任何一种方法必须属于某一类.

(2)利用分步乘法计数原理时，注意将这件事划分成几个步骤来完成，各步股之

间有一定的连续性，只有当各步骤都完成了，这件事才能完成.

例1(1)(2023・川大附中二模)为了备战下一届排球世锦赛，中国国家队甲、乙、

丙、丁四人练习传球，第1次由甲传给乙、丙、丁三人中的任意一人，第2次由

持球者传给另外三人中的任意一人，往后依次类推，经过4次传球，球仍回到甲

手中，则传法总数为()

A.30B.24

C.21D.12

⑵（2023♦临汾模拟）如图，现要对某公园的4个区域进行绿化，有5种不同颜色的

花卉可供选择，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色的花卉，共有

种不同的绿化方案（用数字作答）.

答案（1）C（2）180

解析（1）法一由题意，四人练习传球，

第1次由甲传给乙、丙、丁三人中的任意一人，第2次由持球者传给另外三人中

的任意一人，往后依次类推，经过4次传球，球仍回到甲手中，可分两种情况：

①当第2次球传到甲手中，则经过4次传球，球仍回到甲手中，共有3X1X3X1

=9（种）不同的传法；

②当第2次球不传到甲手中，则经过4次传球，球仍回到甲手中，共有3X2X2X1

=12（种）不同的传法，综合①②可得经过4次传球，球仍回到甲手中，传法总数

为9+12=21（种）.

法二由题意第3次传球后球一定不在甲手中，而第4次传球只能传给甲，

若第2次传球后球在甲手中，则不同的传法有3X1X3X1=9（种）；

若第2次传球后球不在甲手中，则不同传法有3X2X2X1=12（种），

综上，第4次仍传回到甲的方法共有9+12=21（种）.

（2）如图:

B

AD

C

从A开始摆放花卉，A有5种颜色花卉摆放方法，

8有4种颜色花卉摆放方法，C有3种颜色花卉摆放方法；

由。区与瓜。区花卉颜色不一样，与A区花卉颜色可以同色也可以不同色，

则。有3种颜色花卉摆放方法.

故共有5X4X3X3=180种不同的绿化方案.

规律方法利用两个计数原理解题时的三个注意点

（1）当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件

事.

(2)分类时，标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图.

(3)对于复杂问题，一般是先分类再分步.

训练1(1)(2023・贵阳模拟)“一笔画”游戏是指要求经过所有路线且节点可以多

次经过，但连接节点间的路线不能重复画的游戏，下图是某一局“一笔画”游戏

的图形，其中A,B,C为节点，若研究发现本局游戏只能以A为起点C为终点

或者以C为起点A为终点完成，那么完成该图“一笔画”的方法数为()

A.6种B.12种

C.24种D.30种

(2)(2023•宁波质检)十二生肖是中国特有的文化符号，有着丰富的内涵，它们有时

是成对出现的，分别为鼠和牛、虎和兔、龙和蛇、马和羊、猴和鸡、狗和猪六对.

每对生肖相辅相成，构成一种完美人格.现有十二生肖的吉祥物各一个，按照上

面的配对分成六组.甲、乙、丙三位同学依次选一组作为礼物，甲同学喜欢龙和

马，乙同学喜欢牛、羊和猴，丙同学喜欢兔、马和狗.若甲、乙、丙三位同学选

取的礼物中均包含自己喜欢的生肖，则不同的选法种数为.

答案(1)C(2)12

解析(1)以A为起点时，三条路线依次连接即可到达8点，共有3X2=6种选

择；

自8连接到。时，在C右侧可顺时针连接或逆时针连接，共有2种选择，

・••以A为起点，C为终点时，

共有6X2=12种方法；

同理可知，以C为起点，A为终点时，

共有12种方法；

・••完成该图“一笔画”的方法数为12+12=24种.

(2)根据题意，按甲的选择不同分成甲选龙和蛇一组或马和羊一组两种情况：

当甲选择龙和蛇一组时，若乙选择马和羊一组，此时丙有2种选法，

若乙不选择马和羊一组，则乙有2种选法，此时丙有3种选法，则共有2X3=

6(种)选法,

当甲选择马和羊一组时，乙有2种选法，此时丙也有2种选法，则共有2X2=

4（种）选法，

综上，共有2+6+4=12（种）选法.

热点二排列与组合

I核心归纳

解决排列、组合问题的一般步骤

（1）认真审题弄清楚要做什么事情；

（2）要做的事情是分步还是分类，还是分步分类同时进行，确定分多少步及多少

类；

（3）确定每一步或每一类是排列（有序）问题还是组合（无序）问题，元素总数是多少

及取出多少元素.

例2（1）（2023•广州二模）现有甲、乙、丙、丁在内的6名同学在比赛后合影留念,

若甲、乙二人必须相邻，且丙、丁二人不能相邻，则符合要求的排列方法共有

种.（用数字作答）

（2）（2023,郑州二模）某数学兴趣小组的5名学生负责讲述“宋元数学四大

家”一秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰的故事，每名学生只讲一个数学家的故事,

每个数学家的故事都有学生讲述，则不同的分配方案有种.（用数字作答）

答案（1）144（2）240

解析（1）根据题意，分2步进行：

第一步，将甲乙看成一个整体，与甲、乙、丙、丁之外的两人全排列，有A5A1=

12种情况，

第二步，排好后，有4个空位，在其中任选2个，安排丙、丁，有A：=12种情

况，

则有12X12=144（种）排法.

（2）先把5名学生分成人数为2,1,1,1的四组，共有05c种分法,再安排

A3

四组学生讲四个故事，则有A：=24种分法,

所以分配方案有在Y&XAi=10><A2=10X24=240（种）.

规律方法排列、组合问题的求解方法与技巧

（1）合理分类与准确分步；（2）排列、组合混合问题要先选后排；（3）特殊元素优先

安排；（4）相邻问题捆绑处理；（5）不相邻问题插空处理；（6）定序问题除法处理；

（7）“小集团”排列问题先整体后局部；（8）正难则反，等价转化.

训练2⑴（2023•福州模拟）如图，在两行三列的网格中放入标有数字1,2,3,4,

5,6的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为5”的

不同的排法有（）

A.96种B.64种

C.32种D.16种

（2）小小的火柴棒可以拼成几何图形，也可以拼成数字.如图所示，我们可以用火

柴棒拼出1至9这9个数字如下表所示：

匚

火柴数字15E1H

所需火

255456376

柴根数

比如：力”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒.若用8根火柴棒以适当的方式全

部放入右面的表格中

（没有放入火柴棒的空位表示数字“0”）,那么最多可以表示无重复数字的三位数的

个数为（）

A.8B.12

C.16D.20

答案（1）B（2）D

解析（1）首先将1,4或2,3放到中间一列有A；A；（种），

再将剩下的4张卡片放入其他的4个网格有A才种.

根据分步乘法计数原理，共有A氛以：=96种.

若1,4与2,3中一组放中间一列，一组放左边（或右边）一列，则排法有

A1A2A2A2=16种，

所以，只有中间一列两个数字之和为5的不同排法有96—2X16=64（种）.

（2）由题意可得，用2根火柴棒表示数字1,3根火柴棒表示数字7,4根火柴棒

表示数字4,5根火柴棒表示数字2,3或5,6根火柴棒表示数字6或9,7根火

柴棒表示数字8,

数字不重复，因此8根火柴棒只能分成两类：2和6,3和5,组成两个数字，还

有一个数字只能为0,

这样组成的无重复数字的三位数个数为C；dA；+C；C；A1=20.故选D.

热点三二项式定理

I核心归纳

1.求3+份”的展开式中的特定项一般要应用通项公式n+i=C历厂%气左=0,1,

2,…，n）.

2.求两个因式积的特定项，一般对某个因式用通项公式，再结合因式相乘，分类

讨论求解.

3.求三项展开式的特定项，一般转化为二项式求解或用定义法.

4.求解系数和问题应用赋值法.

例3⑴（多选）（2023•青岛模拟）在（2工一3的展开式中，下列说法正确的是（）

A.常数项是1120

B.第四项和第六项的系数相等

C.各项的二项式系数之和为256

D.各项的系数之和为256

⑵（2023•永州二模）QT+2『的展开式中x2的系数是.

（3）已知x4+x8=ao+〃l（x—1）+°2。一1产+…+〃8（X—1）8,则40=,41+

43++。7=.

答案（1）AC（2）40（3）2136

解析⑴根据二项式定理，（〃一，8的通项为7U尸$28飞一1）星也，

常数项为C；24（-1）4=1120,故A正确;

第四项的系数为C828-3(-l)3=-l792,

第六项的系数为CQ15(-1)5=-448,故B错误；

因为九=8,所以各项的二项式系数之和为28=256,故C正确；

令x=l,各项的系数之和为1,故D错误.

rr

(2)(工一5+2)展开式通项为C(x~^~-2t

又Q-0’丁展开式通项为

d/f(—]=(一,(±#「飞

令5—r一2/=2,则r+2"=3,

・••当r=l,k=\时，对应的项为

2C5X(-l)clr=-40x2；

当r=3,k=0时，对应的项为

23dxe以/=80『；

・・・/一;+2)5展开式中f的系数为80-40=40.

(3)在等式d+f=ao+ai(x—l)+〃2(x—1产+…+々8(上一中,

令x=l可得如=2,

令x=0,可得40—41+42-43+04-45+。6—。7+。8=0,①

令彳=2,可得。0+。|+。2+。3+〃4+。5+。6+。7+。8=272,②

②一①可得a\+43+45+47=136.

易错提醒1.二项式3+份〃的展开式的通项公式4+1=(2历”"及e=0,1,2,…,

九)表示的是二项展开式的第2+1项，而不是第％项.

2.要区分某项的二项式系数和系数.

训练3⑴(2023•葫芦岛模拟)Q+y)(x—2y,的展开式中d),3的系数为()

A.-80B.-100

C.100D.80

(2)若(1—X)8=QO+〃I(1+x)+〃2(l---F〃8(1+X)8,则“6等于()

A.-448B.-112

C.112D.448

(3)(2023・武汉调研)(2x+y)8的展开式中各项系数的最大值为()

A.112B.448

C.896D.1792

答案(1)B(2)C(3)D

解析(1)由(x—2)，)6中含xV的项为cQ(-2y)3,(x-2y,中含xV的项为Cox4(一

2y%

故(x+y)(%—2y)6=x(x-2y)6+y(x-2y)6的展开式中d)，3的项为正如(一2»+乂戈

短(-2y>=-23cleV+22cMy3=_1+60xy=一]00yy,

故系数为-100,故选B.

(2)(1一x)8=(X-1)8=[(1+x)—2]8

=如+。1(1+x)+〃2(l+x>+…+〃8(1+x))

d6=dx(-2)2=112.

(3)该二项式的通项为

7；+i=C6(2r)8-V=C§・28Ff-r.y,

fa-28-r^a+,-27'r,

由tc§・28"C「・29丁可得2WW.

因为CQ6=&.25,

所以展开式中各项系数的最大值为d0=1792.

【精准强化练】

一、基本技能练

1.3个人要坐在一排的8个空座位上，若每个人左右都有空座位，则不同的坐法

总数为()

A.24B.48

C.12D.96

答案A

解析五个座位中间有4个空，再把3人插入到5个空位所成的4个间隔中，不

包含两端，故有CA：=24(种)不同的坐法.

2.（2023•湛江模拟）小明在设置银行卡的数字密码时，计划将自己身份证号的后6

个数字0,5,0,9,1,9进行某种排列得到密碍.如果排列时要求两个9相邻，

两个0也相邻，则小明可以设置多少个不同的密码（）

A.16B.24

C.166D.180

答案B

解析将两个0视为一个元素，将两个9也视为一个元素，与1,5这4个元素

全排列，

所以共有A：=24（种）不同的结果，故选B.

3.（2023・泰安模拟）若（x—fj的二项展开式中x6的系数是一16,则实数a的值是

（）

A.-2B.-1

C.lD.2

答案D

解析卜一彳）8的二项展开式的通项为—

令8—2r=6,得到r=l,

由3的系数是一16,

得到d（-a）=-16,

解得。=2,故选D.

4.（2023・昭通模拟）某传统体育学校计划举行夏季运动会，本次运动会径赛项目有

50米、100米、…、3000米共8个项目.为确保径赛项目顺利举办，需要招募一

批志愿者，甲、乙两名同学申请报名时，计划在8个项目的服务岗位中各随机选

取3项，则两人恰好选中相同2项的不同报名情况有（）

A.420种B.441种

C.735种D.840种

答案D

解析根据题意可知，该事件可分三步考虑：

第一步，在8项中选取2项，共有C；种不同的情况；

第二步，甲在剩下6项中选取1项，共有C；种不同的情况；

第三步，乙在剩下5项中选取1项，共有c!种不同的情况.

根据分步乘法计数原理可知，两人恰好选中相同2项的不同扳名情况有

C&C；=840（种）.

5.（2023・沈阳模拟）甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站

在中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有（）

A.24种B.48种

C.72种D.96种

答案C

解析先安排甲，可从中间两个位置中任选一个安排有C；种方法，而甲站好后

一侧有2个位置，另一侧有3个位置，再安排乙、丙2人，因乙、丙2人相邻，

可分为两类：

安排在甲有2个位置的一侧有A1种方法；

安排在甲有3个位置的一侧有2Al种方法，

最后安排其余3人有A：种方法，

综上，不同的排队方法有

Io23

C2-（A2+2A2>A3=72（种）.

6.（2023•石家庄质检）（1+2x）（1+x"的展开式中x2的系数为（）

A.4B.6

C.9D.10

答案C

解析•.,（1+2x）（1+x）3=（l+x）3+2x（l+x）3,展开式中含x2的项为cQ+ZxCkl

・*的系数为C：+2C；=3+2X3=9.

7.（2023・淄博模拟）某公园有如图所示A至“共8个座位，现有2个男孩2个女孩

要坐下休息，要求相同性别的孩子不坐在同一行也不坐在同一列，则不同的坐法

总数为（）

ACD

EFGH

A.168B.336

C.338D.84

答案B

解析第一步：排男孩，第一个男孩在第一行有四个位置可选，第二个男孩在第

二行有三个位置可选，由于两名男孩可以互换，故男孩的排法有4X3X2=

24（种）,

第二步：排女孩，若男孩选人凡则女孩有BE,BG,BH,CE,CH,DE,DG

共7种选择，

由于女孩可以互换，故女孩的排法有

2X7=14（种），

根据分步乘法计数原理，共有24X14=336（种），

故选B.

8.（2023・邯郸模拟）某校大一新生A,B,C,。欲加入该校的文学社、书法社、羽

毛球社.已知这4名大一新生每人只加入了1个社团，则这4名大一新生恰好加

入其中2个社团的不同情况有（）

A.21种B.30种

C.42种D.60种

答案C

解析4名大一新生分成2个组，一组1人另一组3人或2个组各2人，

有c：+冬种方案，

Az

3个社团选择2个社团，有C：种方案,

把2个组分配给2个社团，有A次中方案,

由题意可得这4名大一新生恰好加入其中2个社团的不同情况有C；+

=42（种）.

9.（多选）3个人坐在一排5个座位上，则下列说法正确的是（）

A.共有60种不同的坐法

B.空位不相邻的坐法有72种

C.空位相邻的坐法有24种

D.两端不是空位的坐法有18种

答案ACD

解析对于A,共有A；=5X4X3=60（种）不同的坐法，故A正确;

对于B,先排好这3个人有A；种排法，

然后把2个空位插入3个人形成的4个空隙中，

有d种插法，故共有C汰;=36（种）坐法，故B错误；

对于C,把2个空位先捆绑好，再插入3人形成的4个空隙中，故共有C；A]=

24（种）坐法，故C正确；

对于D,先从3人中抽取2人排好后放在两端，第三个人在中间的3个空位中任

取一个，故有CHC；=18（种）坐法，故D正确.

10.（多选）（2023•南京、盐城调斫）己知g+心）〃（〃£N*）展开式中共有7项，则该

展开式中（）

A.所有项的二项式系数和为64

B.所有项的系数和为1

C.一项式系数最大项为第4项

D.有理项共有4项

答案ACD

解析由题设知〃=6,展开式的通项为

所有项的二项式系数和为26=64,A正确；

令x=l,有（1+3）=住）/1，B错误；

由二项式系数的性质知，第4项的二项式系数最大，C正确；

对于D,有理项只需6—

又r=0,1,2,3,4,5,6,

所以当〃=0,2,4,6时为有理项，共有4项，D正确.

七一2）的展开式中常数项为.

答案一20

解析法一由卜及+七一2）的展开式可知：

常数项为&（—2）d•（古）&+&•（—2下=—20.

法二（『H卡学,

qY_

则。+尸cur%，-1）''r=（-i）wr3»

\7

3-r

令一=0,则r=3,

故常数项为74=（-l）3C2=-20.

12.（2023・邵阳模拟）在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数

e、2.71828.小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2,

7,1,8,2,8进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个2相邻，两个8不相

邻，那么小明可以设置的不同密码共有个.

答案36

解析如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，

两个2捆绑看作一个元素与7,1全排列，排好后有4个空位，再将两个8插入

其中的2个空位中，

那么小明可以设置的不同密码共有AR3=36（个）.

二、创新拓展练

13.（多选）（2023•晋中模拟若m=

-6069,则下列结论正确的有（）

A.a=3

B.ao+ai+s+…+〃2023=-22023

^a\.ai..42023i

C?+?------H^2O23=-1

D.(l+依的展开式中第1012项的系数最大

答案BC

解析。1=CJ023a=2023a

=—6069,可得。=一3,故A错误；

0232223

因为(1—3x)2=fl!04-i7|x+6r2XH-----\-a2023-X0,

令X=l,则如+〃1+。2+…+。2023

=(1-3)2023=-22023,故B正确；

令x=0,则0=1,

人1„.a\.ai..。2023

令x=§,则可+孕---^秀^

=(1—3X,2O23_q0=_ao=_],故C正确；

由展开式知，。2〃>0,a2n-l<0,

故第1012项的系数mou<O,不会是展开式中系数最大的项，故D错误.

14.(2023・重庆二模)在8张奖券中有一等奖2张，二、三等奖各1张，其余4张

无奖，将这8张奖券分配给4个人，每人2张，则不同的获奖情况数为()

A120B.96

C.148