2024年中考数学一轮复习考点精讲 学案 第24讲 与圆有关的位置关系

第24讲与圆有关的位置关系

【课标解读】1.理解点和圆的位置关系，掌握三角形外心的概念及性质2理解直线和圆的位置

关系，掌握切线的判定和性质，能运用其证明或计算.3.了解切线长定理，掌握三角形内心的

概念及性质.

【深圳卷近年命题分析】

命题点20232022202120202019

点与圆的位

置关系

直线与圆的

位置关系

切线的性质

题2U,8分题10,3分题2。,8分题23(1),3分

和判定

三角形的外

接圆与外心

三角形的内

切圆与内心

知识梳理

一、点与圆的位置关系

圆心到点A的距离

点与圆的位置关系图形

d与半径r的关系

0

点在圆外d>r

点在圆上0七「

点在圆内0d<r

对点练中考题+教材改编题

1.若。A的半径为5,圆心A与点P的距离是2小，则点尸与。A的位置关系是（）

A.尸在。A上B.P在。A外

C.尸在（DA内D.不确定

答案C

解析・・・AP=R5V5,

，点尸在。A内部.

二、直线与圆的位置关系

直线与圆的公共点圆心到直线的距离

公共点的个数直线名称

位置关系的名称d与/半~径r的关系

相交2交占割线

1d<r

相切1切点(0切线

1

相离0——

对点练中考题+教材改编题

2.（2023•深圳福田区模拟）在平面直角坐标系中，以点（4,3）为圆心，4为半径的圆（）

A.与％轴和y轴都相交

B.与x轴和），轴都相切

C.与x轴相交，与y轴相切

D.与％轴相切，与y轴相交

答案C

解析・・,点（4,3）到工轴的距离是3,到y轴的距离是4,・••以4为半径的圆一定与y轴相切,

与x轴相交.

三、切线的性质与判定

切线的性质圆的切线垂直于过切点的半径

切线的判定判定方法1：圆心到直线的距离d等于圆的按C时，这条直线是圆

的切线

判定方法2：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

对点练中考题+教材改编题

3.（2023•深圳罗湖区模拟）如图，为△ABC的外接圆，8。与€）0相切于点8,连接CO并

延长，交5。于点。.若NO=40。，则NB4c等于（）

A.50°B.60°C.55°D.65°

答案D

解析连接0见如图,

•••8。与（DO相切于点8,

：,NOB力=90。,

JNBOD=90°—ZD=90°-40°=50°,

■:N80C=180°—ZBOD=180°-50°=130°,

:.NB4C=；N8OC=；X130°=65°.

4.如图，已知NAOB=30。，“为。8边上任意一点，以M为圆心，3cm为半径作。M.当OM

=cm时，（DM与OA相切.

答案6

解析设。M与。A相切于N,

连接MN,如图,

NA

•••MN_L4O,/AOB=30。，半径为3cm,

・•・OM=2MN=2X3=6(cm).

・••当0M=6cm时，(DM与04相切.

四、切线长及切线长定理

经过圆外一点的圆的切线上，这点和切息之间线段的长，叫做这点到

切线长

圆的切线长

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等,这一点和圆心

切线长定理

的连线壬分两条切线的夹角

对点练中考题+教材改编题

5.如图，PA,PB与。O分别相切于点A,B,%=2,NP=60。，则AB等于()

A#B.2

C.2小D.3

答案B

解析•・•必，尸B与。0分别相切于点A,B,

：.PA=PB,VZP=60°,

•••△以8是等边三角形，

：.AB=AP=2.

五、三角形的外心与内心

名称确定方法图形性质

(\)OA=OB=OC：

三角形的外心：外三角形三条边的垂直

(2)外心不一定在三角形

接圆的圆心平分线的交点

的内部

e(1)到三边的距离相等；

A

三角形的内心：内三角形三条角平分线(2)AO,BO,CO分别平

切圆的圆心的交点分N8AC,ZABC,

,A4ACB

对点练中考题+教材改编题

6.下列说法正确的个数是()

①任意一个三角形都有且只有一个外接圆;

②任意一个圆都有且只有一个外切三角形；

③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；

④三角形的内心可能在三角形内部也可能在三角形外部；

⑤三角形任意两边垂直平分线的交点是三角形的外心；

⑥若三角形的外心与内心重合，则这个三角形一定是等边三角形.

A.2B.3C.4D.5

答案C

解析①任意一个三角形都有且只有一个外接圆，正确；

②任意一个圆都有无数个外切三角形，故错误；

③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，正确；

④三角形的内心一定在三角形内部，故错误；

⑤三角形任意两边垂直平分线的交点是三角形的外心，正确；

⑥若三角形的外心与内心重合，则这个三角形一定是等边三角形，正确.

六、反证法

1.反证法：从假设命题的结论不成立出发,由此推理出矛盾的结果,从而判断原假设不成立,

得到原命题成立的方法叫做反证法.

2.反证法的证明步骤：

(1)假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；

(2)从这个命题出发，经过推理姻得出与己知或基本事实或定理等矛盾；

(3)由矛盾判断假设不成立,从而肯定命题的结论正确.

对点练中考题+教材改编题

7.用反证法证明”若。。的半径为，，点尸到圆心的距离d大于,，则点尸在。。外”，首

先应假设()

A.dWr

B.点P在。。外

C.点P在。。上

D.点尸在00上或点尸在。0内

答案D

解析命题“若。。的半径为厂，点P到圆心的距离4大于r,则点P在。0外”的结论为点

尸在。0外，

若用反证法证明该命题，则首先应假设命题的结论不成立，

即点尸在。0上或点P在。0内.

考点突破

考点1点与圆的位置关系

例1(2023•深圳龙岗区模拟)如图，点4,8的坐标分别为4(2,0),3。,2),点。为坐标平面

内一点，BC=l,点M为线段AC的中点，连接OM,则OM的最大值为.

点拨根据同圆的半径相等可知，点C在半径为1的。8上，取。。=。4=2,连接CO,点

。为OB与。8的交点时，OM最小，在OB的延长线上时，0M最大,根据三角形的中位线

定理可得结论.

答案6+T

解析如图，

•・•点C为坐标平面内一点，BC=\t

・••点C在。8上，且半径为1,

取OD=OA=2t连接CD,

•・・AM=CM,OD=OAt

・・・0M是△ACO的中位线，

：.OM=^CD,

当0M最大时，即CO最大，此时。，B,C三点共线，故当点C在08的延长线上时，OM

最大，

•・•OB=OO=2,Z500=90°,

：.DB=2yj2,

・・・。。=26+1,

OM=^CD=yf2+^t即0M的最大值为，5+2

反思感悟圆外一点到圆上各点的距离最值：

(1)最短距离=圆外一点与圆心的距离一半径.

(2)最长距离=圆外一点与圆心的距离+半径.

跟踪训练1（1）（2023・广州越秀区模拟）已知OO的半径是8,点P到圆心O的距离d为方程

炉一4%—5=0的一个根，则点「在（）

A.。。的内部

B.。。的外部

C.。0上或（DO的内部

D.。。上或。。的外部

答案A

解析解方程4%—5=0可得汨=5,%2=-1,

•・•点P到圆心O的距离d为方程3一4工-5=0的一个根，

At/=5<8,，点P在。。的内部.

（2）（2021•广东中考）在△ABC中，/ABC=90。，48=2,8C=3.O为平面上一个动点，ZADB

=45。，则线段8长度的最小值为.

答案小一啦

解析如图所示，

VZADB=45°,AB=2,作△4BZ）的外接圆0（因求CD最小值，故圆心。在AB的右侧）,

连接。C,OA,OB,作OEJ_BC干点上，

当O,。，C三点共线时，C。的值最小.

•・・NAOB=45°,・・・NAO8=90°,

为等腰直角三角形，

：.AO=BO=\[2.

•・・/OB4=45。，/4BC=90。，

JNO8E=45。，

•••△03E为等腰直角三角形，

；・OE=BE=\,：.CE=BC-BE=3-1=2,

在RtAOFC中,

ocZoo+c^K1+4=让.

当o,。，c三点共线时，

CO长度的最小值即CD=oc-0D=4一小.

考点2直线与圆的位置关系

例2(2023•深圳南山区质检)已知在直角坐标系中，以点A(0,3)为圆心，以3为半径作。A,

则直线y=h+2仕W0)与。A的位置关系是()

A.相切B.相交

C.相离D.与k值有关

点拨要判断直线.y=H+2(AW0)与04的位置关系，只需求得直线和y轴的交点与圆心的距

离，再根据点到直线的所有线段中，垂线段最短，进行分析.

答案B

解析因为直线丁=去+2与)，轴的交点是8(0,2),所以A8=l.

则圆心到直线的距离一定小于1,所以直线和。A一定相交.

反思感悟判断直线与圆位置关系的两种方法：

(1)用直线与圆交点的个数来判断.

(2)用圆心到直线的距离与半径的大小来判断.

跟踪训练2(1)(2023•深圳龙湾区质检)已知。。的直径等于8cm,圆心。到直线/上一点的

距离为4cm,则直线/与。。的公共点的个数为()

A.0B.1C.2D.1或2

答案D

解析:。。的直径等于8cm,圆心O到直线/上一点的距离为4cm,

・・・。0的半径等于4(：111,圆心O到直线/的距离W4cm,

即圆心。到直线/的距离W圆的半径，

・••直线/和。。相切或相交，

・••直线/与。。有1个或2个公共点.

(2)(2023•汕头金平区模拟)在平面直角坐标系中，的圆心坐标为(3,6),半径为方程小一公

-15=0的一个根，那么OA与x轴的位置关系是.

答案相离

解析解方程x2—2x—15=0得%i=5,xi=-3,

••・。4的半径为5,

VOA的圆心坐标为(3,6),

，点A到x轴的距离为6,

・・・。4的半径＜圆心A到x轴的距离，

・・.0A与x轴的位置关系是相离.

考点3切线的判定和性质

例3(2023•深圳中考)如图，在单位长度为1的网格中，点O,A,8均在格点上，OA=3,

AB=2,以。为圆心，OA为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题：

①过点A作切线AC,且4C=4(点C在A的上方)；

②连接。C,交。。于点O；

③连接80,与AC交于点E

(1)求证：3。为。。的切线；

⑵求AE的长度.

点拨(1)运用三角形全等得到NOO8=NOAC=90。，根据''经过半径的外端，垂直于半径

的直线是圆的切线”得到结论；

(2)根据三角形相似的性质求解.

⑴证明・・加。是圆的切线，

・・・NO4C=90。，

・•・"=732+42=5,

由题意得。。=OA=3,OB=OC=3,/AOC=NDOB,

：.△AOCdOOB(SAS),

・・・NOOB=NOAC=90°,

•・・OO是圆的半径,

・・・BD为。。的切线.

⑵解VZEDC=ZOAC=90°,ZC=ZC,

•••△COES/XCAO,

・CDCE

•，CA=CO,

即2

解得CE=2.5,

：,AE=AC~CE=4-2.5=1.5.

反思感悟圆的切线有关的三种辅助线：

(1)见切点，连半径，得垂直：若已知条件中出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，

得出垂直关系.

(2)无公共点，作垂线段，证长等于半径，得切线：在判定一条直线为圆的切线时，当已知条

件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等

于半径.

(3)有公共点，连半径，证垂直，得切线：当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连

接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，进而得到圆的切战.

跟踪训练3(1)(2020.深圳中考)如图，A8为。。的直径，点。在。。上，AO与过点C的切

线互相垂直，垂足为D连接BC并延长，交A。的延长线于点E

①求证：AE=AB；

②若A5=10,3c=6,求C。的长.

①证明连接AC,OC,如图，

••,co为切线，

/.OC1CD,

VCDliAD,

：,OC//AD,

:・NOCB=NE,

•：OB=OC,

：・NOCB=NB,

AZB=ZE,

：.AE=AB.

②解YAB为直径,

，NAC8=90°,

・・・4C=、102—62=8,

*：AB=AE=\O,ACA-BE,

:,CE=BC=6,

V|CDAE=|ACCE,

.…8X624

・・CD=10=y.

(2)(2023•惠州惠城区模拟)如图，点O在NM/W的平分线上，。。与P。相交于点C.与尸。的

延长线相交于点。，与PM相切于点4

①求证：直线PN是。。的切线；

②若以=4,PC=2,求。。的半径；

③G是AC上一点，过点G作。O的切线分别交PM,PN于点、E,F,若的周长是。O

半径的3倍，求tanNEP尸的值.

①证明如图1,连接04,过。作08_LPN于点B,

•・・。0与PM相切于点4,

；・OALPM,

•・•点。在NMPN的平分线上，

・・・O8=OA,

・•・直线PN是。。的切线.

②解设。。的半径是X,

则(%+2)2=r+42,

解得x=3,

・・・。0的半径为3.

③解如图2,延长BO交?M于点H,

N

B

图2

M

设。。的半径为，，

PB,E尸是。。的切线，

:.BF=FG,AE=EG,

PA=PB,

:.APEF的周长=PF+EF+PE

=PF+BF+PE+AE

=FA+PB

=2RA=3rt

M3

--

T2

设以=3a,r=2a,

■:/PBH=NOAH=90。,

N8P"+NBHP=/0H4+NAO”,

，ZAOH=ZBPH,

・•・tanNAO〃=tanNEP尸，

.AHBHAH2。+0/7

,,赤=丽，即an云

3A"-4〃

\OH=-2-

222

：OF/=OA+AHi

•("4•)=(2a)2+AH2,解得人”=看4,

纹

tanZEPF=tanZAOH=TJ7=4-=_71.

OA2d5

考点4三角形的外接圆与外心

例4（2023•深圳龙岗区模拟）如图，△BCO内接于。O,ZD=70°,0A_L3C交。。于点A,

连接AC,则NOAC等于（）

a

A.40°B.55°C.70°D.110°

点拨连接O&OC,根据圆周角定理得到/BOC=2NO=140。，根据垂径定理得到/COA

=gN3OC=70。，根据等腰三角形的性质即可得到结论.

答案B

解析连接OB,03如图,

ZD=70°,

・・・N8OC=2N£>=140。，

•・・O4J_BC,

・•・NCOA=，8OC=70。,

*：OA=OCt

JNOAC=NOCA=1x（180°-70°）=55°.

反思感悟三角形的外心有关的解题技巧：三角形的外心是三边垂直平分线的交点，连接外

心与三角形各顶点，可得等腰三角形.

跟踪训练4⑴（2023•珠海香洲区模拟）有一题目：“已知点。为△A8C的外心，NBOC=

140°,求NA.”小明的解答为：画△ABC以及它的外接圆O,连接08,OC.如图，由NBOC

=2NA=140。，得/A=70。.而小刚说：“小明考虑的不周全，NA还应有另一个不同的值.”

下列判断正确的是（）

A.小刚说的不对，A4只能为70。

B.小刚说的对，且NA的另一个值是110。

C.小明求的结果不对，N4应得40。

D.两人都不对，NA应有3个不同值

答案B

解析如图所示，NA还应有另一个不同的值，且NA'与NA互补,

故NA'=180°-70°=110°.

4

（2）（2023•深圳南山区模拟）如图，在△4BC的外接圆。。中，AB=2,sinNACB=§,点、E为

48的中点，则。。的直径为

答案I

解析连接。A,0B,如图，则Q4=0B,

•・•点七为A3的中点,

：.AE=BE=\,NAOE=NBOE=NACB,

4

・sinNAC8=g,

..//__!__4

-SinZAOE=OA=OA=y

=',

・・・。0的直径为|.

考点5三角形的内切圆与内心

例5（2023•揭阳模拟）如图，在△ABC中，AB=AC,ZA=40°,延长AC到点。，使CO=

8C,点P是△ABO的内心，则NBPC等于（）

A

点拨连接4P并延长交BC于点E,先利用等腰三角形的性质和三角杉内角和计算出NABC

=NAC8=70。，再利用等腰三角形性质和三角形外角性质可计算出NC8O的度数，求出

NA8。的度数，利用三角形内心的性质得AP平分NB4C,B尸平分NA8。，根据等腰三角形

性质可判定4E垂直平分8C,利用角平分线的定义计笄出NP8O的度数，进而求出NPBC

的度数，然后利用尸8=尸。得到NPBC=NPC8的度数，最后根据三角形内角和计算N8PC

的度数.

答案D

解析如图，连接AP并延长交BC于点反

•••AB=AC,

ZABC=ZAC5=1(180°-NA)=/180°-40°)=70°,

,:CD=CB,

：.4D=NCBD,

•：/ACB=/D-\-/CBD.

:.ZCTD=|ZACB=35°,

/.NA8O=350+70°=105°,

•・•点P是△ABO的内心，

，A尸平分N8AC,BP平分NABD,

：.AE垂直平分BC,/PBO=；NABO=52.5。，

・•・ZPBC=52.5°-35°=17.5°,

「PE垂直平分8C,

:・PB=PC,

：・/PBC=NPCB=175。,

/./BPC=180°-17.5°-17.5°=145°.

反思感悟三角形的内心有关的解题技巧：三角形的内心是三条角平分线的交点，连接内心

与三角形顶点的连线平分这个内角.

跟踪训练5（1）（2023•深圳南山区模拟）如图，点/为△ABC的内心，A8=8,AC=6,8C=4,

将ZACB平移使其顶点与/重合，则图中阴影部分的周长为（）

A.9B.8C.6D.4

答案B

解析连接A/,BI,如图，

丁点，为△ABC的内心，

平分NCA5,

：.4CAI=4BAI,

由平移得4C〃。/,

，NC4/=ZAID,

：.ZBAI=ZAID,

：.AD=Dh

同理可得5E=£7,

•••△O/E的周长=£>£：+Q/+E7=OE+4O+5E=AB=8,

即图中阴影部分的周长为8.

（2）（2023•广州越秀区模拟）如图，在RtZXABC中，NC=90。，N4,ZB,NC的对边分别为a,

b,c,a=10,。。内切于RlZXABC,且半径为4,则a+8+c=.

答案60

解析设切点分别是。，E,尸，迂接O。，OE,OF,如图,

A

CEB

则ODA.AC,OELBC,OFLABf

VZC=90°,

・•・四边形OECO是正方形，

；・CE=CD=r=4,

：,AD=b~4,BE=10—4=6,

根据切线长定理可得4/=AO=b—4,BF=BE=6,

AB=c=力-4+6=b+2,

在Rt/MBC中，AG+BC23"，

••・〃+102=S+2)2,

解得力=24,c=b+2=26,

・•・〃+方+c=10+24+26=60.

■随堂演练

L基础过关

1.（2023•广州花都区期末）已知。。的半径为6cm,尸是00内的一点，则线段O0的长度可

能为（）

A.5cmB.6cmC.9cmD.12cm

答案A

解析•・•点P在。。内，。。的半径为6cm,

/.OP<6cm,

5cm<6cm,故A选项正确；

6cm=6cm,此时P在圆上，故B选项错误；

9cm>6cm,此时尸在圆外，故C选项错误；

12cm>6cm,此时尸在圆外，故D选项错误.

2.（2023•深圳南山区模拟）如图，PA,PB分别切。。于点4,8,点。是。。上一点，且NP

=32。，则NACB等于（）

A

A.58°B.74°C.116°D.148°

答案

解析如图，连接OA,OB,

VM,PB分别切00于点4,B,