专题05 利用轴对称的特性解决问题压轴题四种模型全攻略（原卷版）

专题05利用轴对称的特性解决问题压轴题四种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【类型一几何图形中的最小值问题】 1【类型二实际问题中的最短路径问题】 9【类型三一次函数中线段和最小值问题】 15【类型三一次函数中线段差最大值问题】 24【典型例题】【类型一几何图形中的最小值问题】例题：（2023秋·重庆南川·八年级统考期末）如图，是等腰三角形，底边的长为6，面积是30，腰的垂直平分线分别交、于点E、F．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值是（

）A．11 B．13 C．18 D．24【变式训练】1．（2022春·七年级单元测试）如图，中，，，，点在上，且，点在的平分线上运动，则的长度最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2023秋·甘肃·八年级统考期末）如图，，M是边上的一个定点，且，N，P分别是边上的动点，则的最小值是．3．（2023春·福建漳州·七年级福建省漳州第一中学校考期末）如图，在等边三角形中，，垂足是D，且，点E，F分别是线段，上的动点，则的最小值是.

4．（2023春·广东揭阳·七年级惠来县第一中学校考期末）如图，在等腰中，，，作于点D，，点E为边上的中点，点P为上一动点，则的最小值为．

5．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，等边（三边相等，三个内角都是的三角形）的边长为，动点D和动点E同时出发，分别以每秒的速度由A向B和由C向A运动，其中一个动点到终点时，另一个也停止运动，设运动时间为t，，和交于点F．

(1)在运动过程中，与始终相等吗？请说明理由；(2)连接，求t为何值时，；(3)若于点M，点P为上的点，且使最短．当时，的最小值为多少？请直接写出这个最小值，无需说明理由．6．（2023春·广东佛山·八年级校考期中）如图，已知≌，将沿所在的直线折叠至的位置，点B的对应点为，连结．

(1)直接填空：与的位置关系是__________；(2)点P、Q分别是线段、上的两个动点（不与点A、B、C重合），已知的面积为36，，求的最小值；(3)试探索：的内角满足什么条件时，是直角三角形？【类型二实际问题中的最短路径问题】例题：（2023春·广东广州·八年级华南师大附中校考期中）如图，A、B两个村子在笔直河岸的同侧，A、B两村到河岸的距离分别为，，，现在要在河岸上建一水厂E向A、B两村输送自来水，要求水厂E到A、B两村的距离之和最短．(1)在图中作出水厂E的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；(2)求水厂E到A、B两村的距离之和的最小值．【变式训练】1．（2023春·八年级课时练习）如图，A，B两个村庄在河CD的同侧，两村庄的距离为a千米，，它们到河CD的距离分别是1千米和3千米．为了解决这两个村庄的饮水问题，乡政府决定在河CD边上修建一水厂向A，B两村输送水．(1)在图上作出向A，B两村铺设水管所用材料最省时的水厂位置M．（只需作图，不需要证明）(2)经预算，修建水厂需20万元，铺设水管的所有费用平均每千米为3万元，其他费用需5万元，求完成这项工程乡政府投入的资金至少为多少万元．2．（2021秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，小区A与公路l的距离AC＝200米，小区B与公路l的距离BD＝400米，已知CD＝800米，(1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求CQ的长；(2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求PA+PB的最小值，并求CP的长度．3．（2023春·全国·七年级专题练习）问题情境：老师在黑板上出了这样一道题：直线同旁有两个定点A，B，在直线上是否存在点，使得的值最小？小明的解法如下：如图，作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为．问题提出：(1)如图，等腰的直角边长为4，E是斜边的中点，是边上的一动点，求的最小值．问题解决：(2)如图，为了解决A，B两村的村民饮用水问题，A，B两村计划在一水渠上建造一个蓄水池，从蓄水池处向A，B两村引水，A，B两村到河边的距离分别为千米，千米，千米．若蓄水池往两村铺设水管的工程费用为每千米15000元，请你在水渠上选择蓄水池的位置，使铺设水管的费用最少，并求出最少的铺设水管的费用．【类型三一次函数中线段和最小值问题】例题：（2023春·山东德州·八年级校考阶段练习）如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段为边在第二象限内作等腰．（可能用到的公式：若，①中点坐标为；②(1)求线段的长；(2)过B、C两点的直线对应的函数表达式．(3)点D是中点，在直线上是否存在一点P，使得有最小值？若存在，则求出此最小值；若不存在，则说明理由．【变式训练】1．（2023春·河北石家庄·八年级石家庄市第四十一中学校考期中）一次函数的图像经过两点，．点在这个函数图像上(1)求这个一次函数表达式；(2)求的值；(3)点C为的中点，点P为上一动点，求的最小值．2．（2023春·湖南长沙·八年级校联考期中）如图，直线经过点，与直线：交于点．

(1)求的值和直线的解析式；(2)直线与轴交于点，求的面积；(3)在轴上是否存在点，使得的值最小，若存在，请求出的最小值，若不存在，请说明理由．3．（2023春·重庆万州·九年级重庆市万州第一中学校联考期中）如图1，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线与x轴，y轴分别交于C，D两点，两直线相交于点P，已知点C的坐标为，点P的横坐标为．(1)直接写出点A、P的坐标，并求出直线的函数表达式；(2)如图2，过点A作x轴的垂线，交直线于点M，点Q是线段上的一动点，连接，当的周长最小时，求点Q的坐标和周长的最小值．(3)在第（2）问的条件下，若点N是直线上的一个动点，以D，Q，N三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出此时点N的坐标．【类型三一次函数中线段差最大值问题】例题：（2023秋·四川成都·八年级统考期末）如图所示，直线与轴交于点，直线与轴交于点，直线与交于点．(1)求点的坐标；(2)点在直线上运动，求出满足条件且异于点的点的坐标；(3)点为轴上一定点，当点在直线上运动时，请直接写出的最大值．【变式训练】1．（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期中）如图1所示，在平面直角坐标系中，点，点B在x轴负半轴