2.4.2圆的一般方程课件高二上学期数学人教A版选择性32

圆的一般方程

(3)求圆的方程,应根据条件特点选择合适的方程形式:若条件与圆心、半径有关,则宜用标准方程;若条件主要是圆所经过的点的坐标,则宜用一般方程.(4)要画出圆,必须要知道圆心坐标和半径,因此应掌握利用配方法将圆的一般方程化为标准方程的方法.探究点一

圆的一般方程的理解

例1若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,求:(1)实数m的取值范围;(2)圆心坐标和半径.变式

下列方程各表示什么图形?若表示圆,求出其圆心坐标和半径.(1)x2+y2-4x=0;(2)2x2+2y2-3x+4y+6=0;(3)x2+y2+2ax=0.

[素养小结]二元二次方程与圆的关系:(1)形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程,判定其是否表示圆时可有如下两种方法:①由圆的一般方程的定义判断D2+E2-4F是否为正,若D2+E2-4F>0,则方程表示圆,否则不表示圆.②将方程配方变形成“标准”形式后,根据圆的标准方程的特征,观察是否可以表示圆.

探究点二

求圆的一般方程例2(1)经过三点A(1,-1),B(1,4),C(4,-2)的圆的方程为 (

)A.x2+y2+7x-3y+2=0B.x2+y2-7x-3y-2=0C.x2+y2-7x+3y+2=0D.x2+y2-7x-3y+2=0

D

D

[素养小结]求圆的方程主要有两种方法:(1)定义法;(2)待定系数法.定义法是根据题目利用定义判断曲线为圆,求出圆心坐标和半径长;待定系数法是列出关于D,E,F的方程组,求出D,E,F,从而求得圆的一般方程.探究点三

与圆有关的轨迹方程

例3已知直角三角形ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0),求:(1)直角顶点C的轨迹方程;(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.

例3已知直角三角形ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0),求:(1)直角顶点C的轨迹方程;(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.变式

已知点P在圆C:x2+y2-8x-6y+21=0上运动,则线段OP(O为坐标原点)的中点M的轨迹方程为

.

[素养小结]求与圆有关的轨迹方程的常用方法:(1)直接法:根据题目的条件,建立适当的平面直角坐标系,设出动点坐标,并找出动点坐标所满足的关系式.(2)定义法:当列出的关系式符合圆的定义时,可利用定义写出动点的轨迹方程.(3)代入法:若动点P(x,y)随着圆上的另一动点Q(x1,y1)的运动而运动,且x1,y1可用x,y表示,则可将Q点的坐标代入已知圆的方程,即得动点P的轨迹方程.探究点四

与圆有关的最大(小)值问题

例4已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,求x2+y2的最大值和最小值.

1.用待定系数法求圆的方程时,一般方程和标准方程的选择:(1)由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题,一般采用圆的标准方程,再用待定系数法求出a,b,r.(2)已知条件和圆心或半径都无直接关系,一般采用圆的一般方程,再用待定系数法求出参数D,E,F.例1求过三点A(1,12),B(7,10),C(-9,2)的圆的方程.

例1求过三点A(1,12),B(7,10),C(-9,2)的圆的方程.

2.求轨迹方程的常用方法:直接法、代入法(相关点法).在确定轨迹范围时,应注意以下五个方面:①要准确理解题意,挖掘隐含条件;②列式不改变题意,并且要全面考虑各种情形;③推理要严密,方程化简要等价;④消参时要保持范围的等价性;⑤数形结合,查“漏”补“缺”.例2点A(2,0)是圆x2+y2=4上的定点,点B(1,1)是圆内一点,P,Q为圆上的动点.(1)求线段AP的中点M的轨迹方程;(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ的中点N的轨迹方程.解:(1)设线段AP的中点为M(x,y),由中点坐标公式得点P的坐标为(2x-2,2y).因为点P在圆x2+y2=4上,所以(2x-2)2+(2y)2=4,故线段AP的中点M的轨迹方程为(x-1)2+y2=1.例2点A(2,0)是圆x2+y2=4上的定点,点B(1,1)是圆内一点,P,Q为圆上的动点.(1)求线段AP的中点M的轨迹方程;(2)若∠PBQ=90°,求线段PQ的中点N的轨迹方程.(2)设线段PQ的中点为N(x,y),连接BN,在Rt△PBQ中,|PN|=|BN|.设O为坐标原点,连接ON,OP(图略),则ON⊥PQ,所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2,所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4,故线段PQ的中点N的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0.

例3设P是圆(x-3)2+(y+1)2=4上的动点,Q是直线x=-3上的动点,则|PQ|的最小值为 (

)

A.6 B.4C.3 D.2[解析]画出已知圆,利用数形结合思想求解.如图,圆心M(3,-1)到定直线x=-3的距离为|MQ|=3-(-3)=6.因为圆的半径为2,所以所求最小值为6-2=4.B1.方程x2+y2-2x+4y+5=0表示的图形是 (

)

A.一个点 B.一个圆C.一条直线 D.不存在[解析]方程x2+y2-2x+4y+5=0可化为(x-1)2+(y+2)2=0,所以方程x2+y2-2x+4y+5=0表示点(1,-2).A

B

C4.与圆x2+y2-4x+6y+3=0同圆心,且过点(1,-1)的圆的方程是 (

)A.x2+y2-4x+6y-8=0B.x2+y2-4x+6y+8=0C.x2+y2+4x-6y-8=0D.x2+y2+4x-6y+8=0[解析]设所求圆的方程为x2+y2-4x+6y+m=0,由该圆过点(1,-1),得m=8,所以所求圆的方程为