第7章计数原理（考点串讲）高二数学下学期期末考点大串讲（2019选择性）

苏教版（2019）选择性必修第二册第7章计数原理考点大串讲串讲02第7章计数原理

010203目

录押题预测题型剖析考点透视5大常考点：知识梳理、思维导图17个题型典例剖析+技巧点拨精选12道期末真题对应考点练考点透视01考点1.两个基本计数原理

(1)分类计数原理：完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝

种不同的方法.(2)分步计数原理：完成一件事，需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，那么完成这件事共有N＝_________

种不同的方法.m1＋m2＋…＋mnm1×m2×…×mn考点2.排列与组合的概念排列数与组合数2.排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照

排成一列组合并成一组一定的顺序3.排列数与组合数(1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有

的个数，用符号

表示.(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有

的个数，用符号

表示.排列组合考点3.排列数、组合数的公式及性质4.排列数、组合数的公式及性质公式(1)＝

＝

(n，m∈N*，且m≤n).(2)＝

＝

(n，m∈N*，且m≤n)性质(1)0！＝

；

＝

.(2)＝__________n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)1n！考点4.二项式定理

提醒

（1）项数为n＋1；（2）各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n；（3）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.an－kbk

k＋1

考点4.二项式定理二项式定理(a＋b)n＝

(n∈N*)二项展开式的通项Tr＋1＝

，它表示展开式的第

项二项式系数

(r＝0,1，…，n)k＋1考点5.二项式系数的性质2.(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数

.(2)增减性与最大值：相等增大减小②当n是偶数时，中间的一项

取得最大值；当n是奇数时，中间的两项

与

相等，且同时取得最大值.(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和为

＝

.2n题型剖析02题型1.两个基本计数原理【例题1】用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有A.144个

B.120个

C.96个

D.72个√①当万位数字为5，个位数字为0时，有4×3×2＝24(个)；②当万位数字为5，个位数字为2时，有4×3×2＝24(个)；③当万位数字为5，个位数字为4时，有4×3×2＝24(个)；④当万位数字为4，个位数字为0时，有4×3×2＝24(个)；⑤当万位数字为4，个位数字为2时，有4×3×2＝24(个).由分类计数原理，得共有24＋24＋24＋24＋24＝120(个).题型2.排列组合问题【例题2】为了强化学校的体育教育教学工作，提高学生身体素质，加强学生之间的沟通，凝聚班级集体的力量，激发学生对体育的热情，某中学举办田径运动会.某班从甲、乙等6名学生中选4名学生代表班级参加学校4×100米接力赛，其中甲只能跑第一棒或第二棒，乙只能跑第二棒或第四棒，那么甲、乙都参加的不同棒次安排方案种数为A.48

B.36

C.24

D.12√故甲、乙都参加的不同棒次安排方案种数为24＋12＝36.题型3.相邻、相间问题【例题3】甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有A.12种

B.24种

C.36种

D.48种√题型4.分组、分配问题【例题4】某高校计划在今年暑假安排编号为A，B，C，D，E，F的6名教师，到4个不同的学校进行宣讲，每个学校至少安排1人，其中B，D必须安排在同一个学校.则不同的安排方法共有A.96种

B.144种C.240种

D.384种√题型5.排列问题【例5】

已知7位同学站成一排.（1）甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？

（2）甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？（3）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？

（4）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？

（5）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？（6）甲总在乙的前面的排法共有多少种？

｜解题技法｜求解排列问题的四种常用方法题型6.组合问题【例6】

按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；

（2）甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；

（3）平均分成三份，每份2本；

（4）平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本.

1.组合问题的两类常见题型（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取；（2）“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解，用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.2.有限制条件的组合问题的解题思路从限制条件入手.组合问题只是从整体中选出部分即可，相对来说较简单.常见情况有：（1）某些元素必选；（2）某些元素不选；（3）把元素分组，根据在各组中分别选多少分类.题型7.排列与组合的综合问题【例7】

（2022·新高考Ⅱ卷）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有

（

）A.12种B.24种C.36种D.48种

答案

B

｜解题技法｜解排列、组合问题要遵循的2个原则（1）按元素（位置）的性质进行分类；（2）按事情发生的过程进行分步.具体地说，解排列、组合问题常以元素（位置）为主体，即先满足特殊元素（位置），再考虑其他元素（位置）.⁠题型8.二项式中的特定项及系数问题

A.153B.－153C.17D.－17

答案

C

｜解题技法｜求二项展开式中特定项的步骤题型9.二项展开式中的系数和问题

A.二项式系数和为64B.各项系数和为64C.常数项为－135D.常数项为135

答案

ABD｜解题技法｜赋值法的应用（1）对形如（ax＋b）n，（ax2＋bx＋c）m（a，b，c∈R，m，n∈N*）的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可；（2）对（ax＋by）n（a，b∈R，n∈N*）的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可；

题型10.二项式系数的最值问题

A.－126B.－70C.－56D.－28

答案

C

题型11.几个多项式和展开式中特定项（系数）问题【例11】

在1＋（1＋x）＋（1＋x）2＋（1＋x）3＋（1＋x）4＋（1＋x）5＋（1＋x）6的展开式中，含x3项的系数是

（

）A.25B.30C.35D.40

答案

C｜解题技法｜

对于几个二项式和的展开式中的特定项（系数）问题，只需依据二项展开式的通项，从每一个二项式中分别得到特定的项，再求和即可.也可以先对二项式求和，化简后再依据通项公式确定特定项（系数）.题型12.几个多项式积展开式中特定项（系数）问题

答案

－28｜解题技法｜求几个多项式积展开式中特定项（系数）的方法题型13.

三项式展开式中特定项（系数）问题

｜解题技法｜求三项展开式中特定项（系数）的方法题型14.系数与二项式系数的最值【例题14】

已知

的二项展开式中二项式系数之和为64，则下列结论正确的是A.二项展开式中各项系数之和为37B.二项展开式中二项式系数最大的项为C.二项展开式中无常数项D.二项展开式中系数最大的项为240x3√题型14.系数与二项式系数的最值所以2n＝64，则n＝6，令x＝1，可得二项展开式中各项系数之和为36，故A错误；题型14.系数与二项式系数的最值第4项的二项式系数最大，此时r＝3，则二项展开式中二项式系数最大的项为T4＝

＝

，故B错误；所以二项展开式中的常数项为

＝60，故C错误；题型14.系数与二项式系数的最值因为k∈N，所以r＝2.－28题型15.形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式题型16.二项式系数和与系数和【例题16】已知

的展开式中第二项与第三项的系数的绝对值之比为1∶8，则A.n＝4B.展开式中所有项的系数和为1C.展开式中二项式系数和为24D.展开式中不含常数项√√题型16.二项式系数和与系数和则所有项的系数之和为－1，故B错误；【例题17】(x－2y)8的展开式中x6y2的系数为______(用数字作答).112所以(x－2y)8的展开式中x6y2的系数为112.题型17.形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式押题预测031.某生产过程中有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6名工人中选出4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两名工人中安排1人，第四道工序只能从甲、丙两名工人中安排1人，则不同的安排方案共有A.24种

B.36种

C.48种

D.72种√分两类：①第一道工序安排甲时有1×1×4×3＝12(种)；②第一道工序不安排甲时有1×2×4×3＝24(种).所以共有12＋24＝36(种).2.为了支援山区教育，现在安排5名大学生到3个学校进行支教活动，每个学校至少安排1人，其中甲校至少要安排2名大学生，则不同的安排方法共有A.50种

B.60种

C.80种

D.100种√综上所述，共有80种安排方法.3.利用二项式定理计算0.996，则其结果精确到0.001的近似值是A.0.940 C.0.942 √＝1－0.06＋0.0015－0.00002＋…＋0.016≈