苏科版2024-2025学年九年级数学上册2.8 确定圆的条件（专项练习）（含答案）

专题2.8确定圆的条件（专项练习）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为．B的坐标为．则该圆弧所在圆的圆心坐标是（

）A． B． C． D．2．（23-24九年级上·浙江温州·期中）如果三角形的外心在三角形的外部，那么这个三角形一定是（

）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形3．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）已知中，，则外接圆的半径为（）A．3 B．4 C．5 D．不确定4．（13-14九年级上·全国·课后作业）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（

）A．第①块 B．第②块 C．第③块 D．第④块5．（19-20九年级·浙江杭州·期末）如图，分别为的垂心、外心，，若外接圆的半径为2，则（

）

A． B． C．4 D．6．（18-19九年级·重庆綦江·期中）如图，O是的外心，则A． B． C． D．7．（2023·江苏无锡·一模）如图，是的直径，点C在上，，垂足为D，，点E是上的动点（不与C重合），点F为的中点，若在E运动过程中的最大值为4，则的值为（

）A． B． C． D．8．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）小颖同学在手工制作中，把一个边长为6cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（

）A．cm B．cm C．cm D．cm9．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知是的外心，分别是、的中点，连接、交于点，若，，，则的面积为（

）A． B． C． D．10．（2024·宁夏固原·模拟预测）如图，在已知的中，按以下步骤作图：①分别以为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于两点；②作直线交于点，连接．若，，则下列结论中错误的是(

)A． B．C． D．点是的外心二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．已知的两条直角边长为a和b，且a，b是方程的两根，则的外接圆面积为．12．（2019·福建泉州·一模）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD＝5，D是AB的中点，则外接圆的直径R＝．13．（2022·北京·一模）如图所示，一圆弧过方格的格点，试在方格中建立平面直角坐标系，使点的坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标是；

14．（2024九年级·全国·竞赛）已知为的外接圆，且圆心O在的内部，分别过点O作，垂足分别为点，若，则．15．（2023九年级上·全国·专题练习）若点O是等腰的外心，且，底边，则的面积为．16．（2024·浙江嘉兴·二模）如图，锐角三角形内接于于点D，连结并延长交线段于点E（点E不与点B，D重合），设（m，n为正数），则m关于n的函数表达式为17．（20-21九年级·全国·课后作业）如图，在中，为的外接圆，如果，那么的半径为．18．（2024·吉林长春·三模）将边长为2的小正方形ABCD和边长为4的大正方形EFGH如图摆放，使得C、E两点刚好重合，且B、C、H三点共线，此时经过A、F、G三点作一个圆，则该圆的半径为．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（2024·河南商丘·二模）如图，在中，．（1）尺规作图：作出经过，，三点的．（不写作法，保留作图痕迹）（2）连接并延长，交于点，连接，．求证：20．（8分）（17-18九年级上·江苏·课后作业）如图，是的高，为的中点．试说明点在以点为圆心的同一个圆上．21．（10分）（2021·浙江宁波·一模）如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆，交于点，交于点，连接．

（1）若，求的度数；（2）若，求的长．22．（10分）（20-21九年级上·浙江·期末）如图，已知锐角三角形内接于圆O，交于点D，，连接（1）若，①求证：；②当时，求面积的最大值．（2）点E在线段上，，连接，设（m,n是正数），若，求证：．23．（10分）（23-24九年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，，，直线经过点．设，于点，将射线绕点按逆时针方向旋转，与直线交于点．

（1）判断：__________；（2）若，求的长；（3）若的外心在三角形内部（不包括边上），直接写出的取值范围．24．（12分）（23-24九年级上·陕西渭南·期末）【问题提出】（1）如图1，是边长为4的等边三角形，点D为边上的动点，连接，则的最小值为__________；【问题探究】（2）如图2，四边形是边长为的正方形，点E为的中点，点F为线段（含端点）上的一个动点，以为底边向上作等腰直角，以顶点O为圆心，为半径作，延长交于点P，求的最小值；【问题解决】（3）如图3，在平面直角坐标系中，等腰直角是一块花圃的平面示意图，经测量，底边米，现欲对该花圃进行扩建，在底边上取点C，作的外接圆，点D为与y轴的另一个交点，沿铺设一条观赏通道，为了节省铺设成本，要求观赏通道的长度尽可能小，问的长度是否存在最小值？若存在，求出长度的最小值；若不存在，请说明理由．参考答案：1．B【分析】本题主要考查了垂径定理的应用．如图以图中每个小方格的边长为单位1，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，B的坐标为，分别连接，分别作线段的垂直平分线，两条直线交于点D，则点D是所给圆弧所在圆的圆心，即可求解．【详解】解：如图以图中每个小方格的边长为单位1，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，B的坐标为，分别连接，分别作线段的垂直平分线，两条直线交于点D，则点D是所给圆弧所在圆的圆心，由图得点D的坐标为．故该圆弧所在圆的圆心坐标是．故选：B．2．A【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，掌握外心的形成和性质是本题突破的关键，根据外心的形成和性质直接判断即可．【详解】解：三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点，外心的性质是到三角形三个顶点的距离相等，如果一个三角形的外心在三角形的外部，说明有一个圆周角大于，那么这个三角形一定是钝角三角形，故选：C．3．C【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，在中，利用勾股定理求出的长，然后根据直角三角形外接圆的直径等于斜边的长即可解答．【详解】解：在中，，∴，∴外接圆的半径，故选：C．4．B【分析】根据不在一条直线上三点确定一个圆即可解得．本题考查的是垂径定理的推论的应用，确定圆的条件，掌握确定圆的的条件是解题的关键．【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．只要有一段弧，即可确定圆心和半径．所以小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是第②块．故选：B．5．B【分析】连接BO并延长交于点D，连接HC，CD，DA，由圆周角定理的推论，可得DC⊥BC，DA⊥AB，由三角形的垂心的定义得AH⊥BC，CH⊥AB，从而得四边形AHCD是平行四边形，结合，外接圆的半径为2，即可求解．【详解】连接BO并延长交于点D，连接HC，CD，DA．∵点O是的外心，∴BD是的直径，∴DC⊥BC，DA⊥AB，又∵点H是的垂心，∴AH⊥BC，CH⊥AB，∴AH∥DC，CH∥DA，∴四边形AHCD是平行四边形，∴AH=DC，∵，外接圆的半径为2，∴∠BDC=∠BAC=45°，BD=4，∴AH=DC=BD÷=4÷=．故选B．

【点拨】本题主要考查三角形外心与垂心的定义，圆周角定理及其推论，平行四边形的判定和性质定理，掌握三角形外心与垂心的定义，添加合适的辅助线，构造平行四边形和等腰直角三角形，是解题的关键．6．C【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理计算即可．【详解】如图，，，同理，，，，，故选C．【点拨】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握三角形的外接圆的概念，三角形内角和定理是解题的关键．7．A【分析】先判断出点，，，四点共圆，判断出的最大值为，再求出，然后根据勾股定理即可求出答案．【详解】解：如图，连接，，点是的中点，，，，，，点，，，在以为直径的圆上，，∵，在中，，，根据勾股定理得，故选A．【点拨】此题主要考查了垂径定理，四点共圆，勾股定理，作出辅助线判断出点，，，四点共圆是解本题的关键．8．A【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，勾股定理解三角形的应用．依题意画出图形，连接，，过点作于点，利用等边三角形的性质和垂径定理得到，，在中，利用勾股定理即可求得的长．【详解】解：由题意画图如下，则为等边三角形，且内接于，

，．过点作于点，则，连接，，则，，．，，∴，在中，，，∴，．故选：A．9．B【分析】本题考查了三角形的外接圆和外心，三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，考查了直角三角形的性质和勾股定理的逆定理，三角形的面积，连接，，由题意得出，，可证得，根据三角形的面积公式可得出答案，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】连接，，如图，∵是的外心，、分别是、的中点，∴，，∴，，∵，，∴，，∵，∴，∴是直角三角形，，∵，∴，故选：．10．B【分析】本题考查的是作图基本作图，线段垂直平分线的作法，等边对等角，三角形内角和定理的应用，三角形的外心的定义；由题意可知直线是线段的垂直平分线，故，，故可得出的度数，根据可知，故可得出的度数，进而可得出结论．【详解】解：由题意可知直线是线段的垂直平分线，，，，，．，，A正确，C错误；，，，点为的外心，故D正确；，，，故B正确．故选：B．11．【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，直角三角形的外接圆，完全平方公式的变形求值，先根据两直角边a、b分别是一元二次方程的两根，得出，，根据，求出，再求出的外接圆面积即可．【详解】解：∵两直角边a、b分别是一元二次方程的两根，∴，，，∴斜边∴圆的半径，的外接圆的面积为．故答案为：．12．10【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可计算的AB的长度，再根据直角三角形的外接圆的中点在斜边的中点上，即可求出外接圆的直径.【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD＝5，D是AB的中点，∴AB＝2CD＝10，∵直角三角形的外心在斜边中点，∴斜边AB即是△ABC外接圆的直径，∴R＝10．故答案为10．【点拨】本题主要考查三角形的外接圆,关键在于直角三角形的外接圆的圆心和斜边的中点重合.13．【分析】先根据点A的坐标建立坐标系，再根据圆心一定是线段和线段垂直平分线的交点进行画图求解即可．【详解】解：如图所示，建立坐标系，由图可知该圆弧所在圆的圆心坐标是，故答案为：．

【点拨】本题主要考查了坐标与图形，确定圆心的位置，熟知圆心一定在圆中弦的垂直平分线上是解题的关键．14．16【分析】本题考查了三角形外心的性质，三角形的中位线等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键；由点是的外心，，得到是的中位线，根据三角形中位线定理即可求得．【详解】解：如图，是的外心，，，，，为的中位线，．故答案为：1615．或【分析】分两种情形讨论：①当圆心O在内部时．②当点O在外时．分别求解即可．本题考查三角形的外接圆与外心、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考常考题型．【详解】解：①当圆心O在内部时，作于E．∵，∴是等边三角形，∴，∴，∴，②当点O在外时，连接交于E．，故答案为：或16．【分析】设，得到，，根据三角形的内角和定理得到，根据平角的定义即可得到结论．本题考查了三角形的外接圆与外心，三角形内角和公式，正确地作出辅助线是解题的关键．【详解】解：连接，设，，，，，，，，，，故答案为：．17．【分析】连接、，作，利用圆心角与圆周角的关系得出，再利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理解答即可．【详解】解：连接、，作，，，又∵OB＝OC，，，，∴在中，，故答案为：．【点拨】此题考查三角形的外接圆与外心，关键是利用圆心角与圆周角的关系得出．18．【分析】本题考查确定圆的圆心，由题意可知，，，取的中点，连接，，，由勾股定理可得，可知点为、、三点所作圆的圆心，进而可得答案．【详解】解：由题意可知，，，取的中点，则，，连接，，，由勾股定理可得：，，∴，即：点为、、三点所作圆的圆心，则该圆的半径为，故答案为：．19．(1)作图见解析(2)证明见解析【分析】本题考查了作三角形的外接圆；圆的性质，平行四边形的性质与判定；全等三角形的性质与判定；（1）作的垂直平分线交于点，以为圆心，以为半径作，就是所求作的圆；（2）根据题意可得，，则四边形为平行四边形，得出，，进而根据证明，即可．【详解】（1）解：如图，作的垂直平分线交于点，以为圆心，以为半径作，就是所求作的圆；（2）证明：如图，，，四边形为平行四边形，，，在和中，，．20．见解析【分析】先连接，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，即可证结论．【详解】证明：连接，．分别是的高，为的中点，，∴点在以点为圆心的同一圆上．【点拨】本题主要考查了直角三角形和圆的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质是关键．21．(1)(2)【分析】本题主要考等腰三角形，勾股定理的综合，掌握等腰三角形的判定和性质，勾股定理，等面积法求高等知识是解题的关键．（1）如图所示，连接，可得是等腰三角形，根据直角三角形可求出的度数，根据等腰三角形的性质可求出的度数，由此即可求解；（2）如图所示，过点作与点，根据等面积法可求出的值，根据勾股定理，等腰三角形的性质即可求解．【详解】（1）解：如图所示，连接，

∵点在圆上，∴，即是等腰三角形，∵在中，，，∴，∴，∴，∴，∴，∴的度数为．（2）解：如图所示，过点作与点，

∵，，∴在中，，∵，∴，∵，是等腰三角形，∴，在中，，∴，即．22．（1）①见解析；②；（2）见解析【分析】（1）①连接OB、OC，则∠BOD=∠BOC=∠BAC=60°，即可求解；②BC长度为定值，△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，即可求解；（2）∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-mx-nx=∠BOC=∠DOC，而∠AOD=∠COD+∠AOC=180°-mx-nx+2mx=180°+mx-nx，即可求解．【详解】解：（1）①连接、，则，，；②∵BC长度为定值，面积的最大值，要求BC边上的高最大，∵OA=OB=2，，∴BC=2BD=，当AD过点O时，AD最大，即：，面积的最大值；（2）如图2，连接OC，设，则，，则，，，，，即：，化简得：．【点拨】本题为圆的综合运用题，涉及到解直角三角形、三角形内角和公式，其中（2），是本题容易忽视的地方，本题难度适中．23．(1)(2)(3)【分析】（1）由题意得，在四边形中，根据四边形内角和求解即可；（2）由旋转的性质可知，利用互余关系可得，再由，，可得，进而可证明，可得，再利用勾股定理求解即可；（3）分三种情况：当时，当时，当时，分别判断的形状即可求解．