苏科版2024-2025学年九年级数学上册1.5解一元二次方程(公式法与因式分解法)(知识梳理与考点分类讲解)(学生版+解析)（含答案解析）

专题1.5解一元二次方程（公式法与因式分解法）（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式

2.一元二次方程根的判别式

用公式法解一元二次方程的步骤

用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：

①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值（要注意符号）；③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.

【知识点二】因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤

（1）将方程右边化为0；

（2）将方程左边分解为两个一次式的积；

（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；

（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.

2.常用的因式分解法

提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】用公式法解一元二次方程【例1】（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）解下列一元二次方程（公式法）(2)（公式法）【变式1】（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程：(1)；(2)；(3).【变式2】（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程：(1)；(2)；(3)．【题型2】公式法解一元二次方程的应用【例2】（2024·辽宁抚顺·二模）在中，，，且．将沿方向平移得，连接．当时，平移的距离为．【变式1】（22-23九年级上·黑龙江鸡西·期中）三角形两边长分别为2和3，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（）A． B．10 C． D．或10【变式2】如图，将图1的正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则（

）A． B． C． D．【题型3】用因式分解法解一元二次方程【例3】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用因式分解法解方程:(1)；(2)【变式1】（23-24八年级下·全国·假期作业）用因式分解法解下列方程：(1)；(2)．【变式2】（23-24八年级下·全国·假期作业）用因式分解法解下列方程：(1)；(2)．【题型4】因式分解法解一元二次方程的应用【例4】（23-24八年级下·四川成都·期中）关于x的方程无解，则．【变式1】（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，当时，x的值为（

）

A．1 B．2 C．1或3 D．2或4【变式2】（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程（m是常数），若一个等腰三角形的一边长为6，另两边长是该方程的两个实数根，则该三角形的周长为（）A．17或19 B．15或17 C．13或15 D．17【题型5】用适当的方法解一元二次方程【例5】（2024八年级下·浙江·专题练习）选择适当方法解下列方程：(1)；(2)．【变式1】选择适当方法解方程：(1)．(2)．【变式2】（23-24八年级下·安徽宣城·期末）用适当方法解方程：(1)；(2)．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2023·内蒙古赤峰·中考真题）方程的解为．【例2】（2024·四川凉山·中考真题）已知，则的值为．2、拓展延伸【例1】（2024·广西河池·一模）解方程：．【例2】（2024八年级下·安徽·专题练习）．专题1.5解一元二次方程（公式法与因式分解法）（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式

2.一元二次方程根的判别式

用公式法解一元二次方程的步骤

用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：

①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值（要注意符号）；③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.

【知识点二】因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤

（1）将方程右边化为0；

（2）将方程左边分解为两个一次式的积；

（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；

（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.

2.常用的因式分解法

提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】用公式法解一元二次方程【例1】（23-24九年级上·辽宁鞍山·期中）解下列一元二次方程（公式法）(2)（公式法）【答案】(1)，；(2)，．【分析】（）先确定的值，求出的值，确定能否用公式法计算，若，即代入求根公式计算即可；（）先确定的值，求出的值，确定能否用公式法计算，若，即代入求根公式计算即可；本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程的步骤．解：（1），，，，∴，∴，；（2），，，，∴，∴，．【变式1】（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程：(1)；(2)；(3).【答案】(1)，(2)，.(3)解：（1）∵，，，∴，∴，即，.（2）移项，得，∴，，，∴，∴，即，.（3）∵，，，∴，∴，即.【变式2】（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)，(3)方程无解【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用公式法求解方程是解题的关键；（1）由题意易得，然后根据公式法可进行求解；（2）由题意易得，然后根据公式法可进行求解；（3）由题意易得，然后根据公式法可进行求解．（1）解：∴，∴，∴，∴；（2）解：∴，∴，∴，∴；（3）解：∴，∴，∴原方程无解．【题型2】公式法解一元二次方程的应用【例2】（2024·辽宁抚顺·二模）在中，，，且．将沿方向平移得，连接．当时，平移的距离为．【答案】【分析】本题考查勾股定理、平移的性质，解一元二次方程，根据平移的性质和平行线的性质，可以得到，再根据勾股定理，即可求得平移的距离．解：由题意可得，，，，，设，则，，，，，，，，解得舍去，故答案为：．【变式1】（22-23九年级上·黑龙江鸡西·期中）三角形两边长分别为2和3，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（）A． B．10 C． D．或10【答案】A【分析】直接利用公式法解方程，再利用三角形三边关系即可得出答案.解：，，∴，解得：，，∵，∴2，3，5无法构成三角形，∴这个三角形的三边长为：2，3，，其周长为：.故选A.【点拨】本题考查了三角形三边关系以及公式法解方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键.【变式2】如图，将图1的正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据左图可以知道图形是一个正方形，边长为，右图是一个长方形，长宽分别为、，并且它们的面积相等，由此即可列出等式，解方程即可求出．解：依题意得，整理得：，则，方程两边同时除以，，（负值已经舍去），故选：C．【点拨】此题主要考查了图形的剪拼，此题是一个信息题目，首先正确理解题目的意思，然后会根据题目隐含条件找到数量关系，然后利用数量关系列出方程解决问题．【题型3】用因式分解法解一元二次方程【例3】（23-24九年级上·海南省直辖县级单位·期末）用因式分解法解方程:(1)；(2)【答案】(1)，(2)，【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的方法是解题的关键；（1）先移项然后提公因式，根据因式分解法解一元二次方程；（2）先移项然后提公因式，根据因式分解法解一元二次方程，即可求解．（1）解：移项，得：，因式分解，得：于是，得：或，∴，．（2）移项，得，即，因式分解，得：，整理，得：，于是，得或，∴，．【变式1】（23-24八年级下·全国·假期作业）用因式分解法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【解析】（1）方程左右两边都有因式，先移项，然后利用提公因式法将等式的左边因式分解；（2）直接利用平方差公式将方程的左边因式分解．解：（1）移项，得，∴，即，∴或，∴，．（2）因式分解，得．化简，得，∴或，∴，．【变式2】（23-24八年级下·全国·假期作业）用因式分解法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，解：（1），或，，．（2）原方程可化为，，或，，．【题型4】因式分解法解一元二次方程的应用【例4】（23-24八年级下·四川成都·期中）关于x的方程无解，则．【答案】0或6/6或0【分析】本题考查分式方程无解求参数的值，将分式方程转化为整式方程后，根据分式方程无解分两种情况：整式方程无解和分式方程有增根，两种情况进行讨论求解即可．解：方程去分母，得：，整理，得：，∵方程无解，∴，∴或，当时，，当时，；故答案为：0或6．【变式1】（23-24九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点，当时，x的值为（

）

A．1 B．2 C．1或3 D．2或4【答案】C【分析】本题考查了两直线交点问题，一元二次方程的求解，将交点代入正比例函数求出n的值，再代入一次函数求出m的值，得出，进行求解即可．解：将点代入正比例函数，得：，代入一次函数，得，解得：，，，，解得：或3，故选：C．【变式2】（23-24八年级下·安徽亳州·阶段练习）已知关于x的一元二次方程（m是常数），若一个等腰三角形的一边长为6，另两边长是该方程的两个实数根，则该三角形的周长为（）A．17或19 B．15或17 C．13或15 D．17【答案】A【分析】本题考查一元二次方程的判别式与根的个数的关系，以及一元二次方程与几何的综合应用．熟练掌握一元二次方程的判别式与根的个数的关系，一元二次方程的解的定义，是解题的关键．根据方程有两个实数根，得到6是等腰三角形的腰长，是方程的一个根，进行求解即可．解：∵一元二次方程有两个实数根，，；不管m去何值，方程都有两个不相等的实数根，一个等腰三角形的一边长为6，另两边长是该方程的两个实数根，∴6是腰长，是方程的一个根，∴，整理，得：，解得：或，当时，，解得，此时等腰三角形的三边长：，周长；当时，，解得，此时等腰三角形的三边长：，周长．故选：A．【题型5】用适当的方法解一元二次方程【例5】（2024八年级下·浙江·专题练习）选择适当方法解下列方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，．【分析】本题考查了解一元二次方程中的公式法和直接开平方法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．（1）利用直接开平方法求解即可；（2）利用公式法求解即可．（1）解：，∴，∴，∴，；（2）解：，∴，，，则，∴，即，．【变式1】选择适当方法解方程：(1)．(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解题的关键．（1）方程两边都除以2，再开方，求出方程的解即可；（2）先利用提取公因式法把方程的左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．（1）解：，方程两边同除以2，得：，开方，得：，解得：，；（2）解：，，，或，解得：，．【变式2】（23-24八年级下·安徽宣城·期末）用适当方法解方程：(1)；(2)．【答案】(1)，(2)，【分析】本题考查解一元二次方程．根据方程的特征选择恰当方法求解是解题的关键．（1）用配方法求解即可；（2）用因式分解法求解即可．（1）解：∵，∴，即，∴，∴，∴，．（2）解：∵，∴，∴或，∴，．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2023·内蒙古赤峰·中考真题）方程的解为．【答案】【分析】依据题意将分式方程化为整式方程，再按照因式分解即可求出的值．解：，方程两边同时乘以得，，，，，或．经检验时，，故舍去．原方程的解为：．故答案为：．【点拨】本题考查的是解分式方程，解题的关键在于注意分式方程必须检验根的情况．【例2】（2024·四川凉山·中考真题）已知，则的值为．【答案】【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．将代入，转化为解一元二次方程，，要进行舍解．解：∵，∴，将代入得，，即：，，∴或，∵，∴舍，∴，故答案为：