经济数学基础（第六版）（上册）课件 顾静相 第12讲3.3函数的单调性-第24讲5.5定积分的应用

经济数学基础辅导第12讲3.3函数的单调性教学要求

掌握利用导数判断函数的单调性方法．函数的单调性

从几何直观上分析，容易看到，下图中的曲线是上升的，其上每一点处的切线与

x轴正向的夹角都是锐角，切线的斜率大于零，即f(x)

在相应点处的导数大于零；函数的单调性相反地，下图中的曲线是下降的，其上每一点处的切线与

x轴正向的夹角都是钝角，切线的斜率小于零，即

f(x)在相应点处的导数小于零．函数单调性的判别定理

定理3.4设函数

y=f(x)

在区间

(a,b)

内可导．

（1）如果在区间

(a,b)

内，f

(x)>0，则函数

f(x)在

(a,b)

内单调增加；

（2）如果在区间

(a,b)

内，f

(x)<0，则函数

f(x)在

(a,b)

内单调减少．函数单调性的判别定理

定理3.4设函数

y=f(x)

在区间

(a,b)

内可导．

（1）如果在区间

(a,b)

内，f

(x)>0，则函数

f(x)在

(a,b)

内单调增加；

（2）如果在区间

(a,b)

内，f

(x)<0，则函数

f(x)在

(a,b)

内单调减少．

如果将定理中的开区间换成其它各种区间（包括无限区间），定理的结论仍成立．

保持

f

(x)不变号的区间，就是函数

y=f(x)

的单调区间．函数单调性的判别例1求函数

的单调区间．函数单调性的判别例1求函数

的单调区间．解

函数的定义域为(-∞,+∞)；因为

，令

，得

x1=1，x2=2；

函数单调性的判别例1求函数

的单调区间．解

函数的定义域为(-∞,+∞)；因为

，令

，得

x1=1，x2=2；

以点

x1=1，x2=2为分点，将函数定义域分为三个子区间：(-∞,1)，(1,2)，(2,+∞)；当

x∈(-∞,1)时，f

(x)>0；当

x∈(1,2)时，f

(x)<0；当

x∈(2,+∞)时，f

(x)>0；函数单调性的判别当

x∈(-∞,1)时，f

(x)>0；当

x∈(1,2)时，f

(x)<0；当

x∈(2,+∞)时，f

(x)>0；所以该函数的单调增加区间为(-∞,1)

和

(2,+∞)，单调减少区间为(1,2)．函数单调性的判别例2求函数

的单调区间．函数单调性的判别例2求函数

的单调区间．解

函数的定义域为(-∞,-1)∪(-1,+∞)；因为

，

(x

≠

-1)；所以函数在

(-∞,-1)∪(-1,+∞)内单调增加．函数单调性的判别例3

试证当

x>0

时，

．函数单调性的判别例3

试证当

x>0

时，

．证

只需证明当

x>0

时，有

．因为

f(x)在

[0,+∞)连续，在

(0,+∞)

可导，且

，函数单调性的判别当

x>0

时，

，f(x)单调增加，且

f(0)=0．所以，当

x>0

时，f(x)>0，即

．函数的单调性谢谢大家！

经济数学基础辅导第13讲3.4

函数的极值教学要求

理解函数极值的概念；

掌握求函数极值的方法．函数极值的定义

定义3.1设函数

y=f(x)在点

x0的某个邻域内有定义．(1)如果对该邻域内任意的

x(x

x0)，总有

f(x)<f(x0)，则称

f(x0)为函数

f(x)的极大值，并且称点x0为

f(x)的极大值点；函数极值的定义

定义3.1设函数

y=f(x)在点

x0的某个邻域内有定义．(1)如果对该邻域内任意的

x(x

x0)，总有

f(x)<f(x0)，则称

f(x0)为函数

f(x)的极大值，并且称点x0为

f(x)的极大值点；(2)如果对该邻域内任意的

x(x

x0)，总有

f(x)>f(x0)，则称

f(x0)为函数

f(x)的极小值，并且称

点x0为

f(x)的极小值点．

函数的极大值与极小值统称为函数的极值，极大值点与极小值点统称为极值点．函数极值的概念

函数

f(x)在

x1，x4两点处取得极大值，而在x2，x5两点处取得极小值，其中极大值

f(x1)小于极小值

f(x5)．o

a

x1x2x3

x4

x5

by=f(x)yx函数极值的概念

函数

f(x)在

x1，x4两点处取得极大值，而在x2，x5两点处取得极小值，其中极大值

f(x1)小于极小值

f(x5)．o

a

x1x2x3

x4

x5

by=f(x)yx

在函数的极值点处，曲线或者有水平切线，如

f

(x1)=0,f

(x5)=0，或者切线不存在，如在点x2,x4处

f

(x)不存在．但是，有水平切线的点不一定是极值点，如点

x3．由此可知，极值点应该在导数为

0或导数不存在的点中寻找．极值点的必要条件

定理3.5如果

f(x)在点

x0处取得极值且在

x0处可导，则

f

(x0)=0

．极值点的必要条件

定理3.5如果

f(x)在点

x0处取得极值且在

x0处可导，则

f

(x0)=0

．

几何意义：如果函数

y=f(x)在点

x0处具有极值，且曲线

y=f(x)在点

(x0,f(x0))处有不垂直于

x轴的切线，则该切线平行于

x轴．

使

f

(x0)=0的点，称为函数

f(x)的驻点．极值点的必要条件注意：1.可导函数

f

(x0)=0是点

x0为极值点的必要条件，但不是充分条件．也就是说，使

f

(x0)=0成立的点（驻点）并不一定是极值点，例如

f(x)=x3的驻点

x0=0不是它的极值点．极值点的必要条件注意：1.可导函数

f

(x0)=0是点

x0为极值点的必要条件，但不是充分条件．也就是说，使f

(x0)=0成立的点（驻点）并不一定是极值点，例如

f(x)=x3的驻点

x0=0不是它的极值点．2.使

f

(x)不存在的点

x0可能是函数

f(x)

的极值点，也可能不是极值点，如,

，显然

f

(0)不存在，但在

x0=0处却取得极小值

f(0)=0．极值点的第一判别法

定理3.6设函数

f(x)在点

x0的邻域内连续且可导

(允许

f

(x0)不存在)，当x由小增大经过x0点时，若

(1)f

(x)由正变负，则x0是极大值点；(2)f

(x)由负变正，则x0是极小值点；(3)f

(x)不改变符号，则x0不是极值点.极值点的第一判别法

定理3.6设函数

f(x)在点

x0的邻域内连续且可导

(允许

f

(x0)不存在)，当x由小增大经过x0点时，若

(1)f

(x)由正变负，则x0是极大值点；(2)f

(x)由负变正，则x0是极小值点；(3)f

(x)不改变符号，则x0不是极值点.

极值点第一判别法通常叫做极值存在的充分条件．求函数极值的步骤（1）确定函数

f(x)的定义域，并求其导数f

(x)；（2）解方程

f

(x)=0，求出

f(x)在其定义域内的所有驻点；

（3）找出

f(x)的连续但导数不存在的所有点；（4）讨论

f

(x)在驻点和不可导点的左、右两侧附近符号变化的情况，确定函数的极值点；（5）求出极值点所对应的函数值（极大值和极小值）．用第一判别法求函数极值例1求函数

的极值．用第一判别法求函数极值例1求函数

的极值．解（1）函数

f(x)的定义域为(-∞,+∞)，且

；（2）令

f

(x)=0，得驻点

x1=0，x2=1；（3）该函数没有导数不存在的点；（4）驻点将定义域分成三个子区间

(-∞,0),

(0,1),(1,+∞)．用第一判别法求函数极值解……

驻点将定义域分成三个子区间

(-∞,0),

(0,1),(1,+∞)．

当x

(-∞,0)时，f

(x)>0；

当x

(0,1)时，f

(x)<0；所以

x1=0是

f(x)的极大值点，极大值是f(0)=2；

又当

x

(0,1)时，f

(x)<0；

当

x

(1,+∞)时，f

(x)<0；所以

x2=1不是

f(x)的极值点．用第一判别法求函数极值例2求函数

的极值．用第一判别法求函数极值例2求函数

的极值．解（1）函数

f(x)的定义域为(-∞,+∞)，且

；（2）令

f

(x)=0，得驻点

x1=8；（3）f

(x)在点

x2=0处不存在；（4）导数不存在点

x2=0和驻点

x1=8，将定义域分成三个子区间

(-∞,0),(0,8),(8,+∞)．用第一判别法求函数极值解……

导数不存在点

x2=0和驻点

x1=8，将定义域分成三个子区间

(-∞,0),(0,8),(8,+∞)．

当

x

(-∞,0)时，f

(x)<0；

当

x

(0,8)时，f

(x)>0；所以

x2=0是函数

f(x)的极小值点，极小值是

f(0)=0．

又当

x

(0,8)时，f

(x)>0；

当

x

(8,+∞)时，f

(x)<0；所以

x1=8是

f(x)的极大值点，极大值是

f(8)=4.极值点的第二判别法

定理3.7设函数

f(x)在点

x0处具有二阶导数，且

f

(x0)=0，

（1）若

f

(x0)<0，则函数

f(x)在点

x0处取得极大值；

（2）若

f

(x0)>0，则函数

f(x)在点

x0处取得极小值

（2）若

f

(x0)=0，则不能判断

f(x0)是否是极值．极值点的第二判别法

极值点第二判别法也是极值存在的充分条件，它表明在函数

f(x)的驻点

x0处，若二阶导数

f

(x0)

0，那么该驻点一定是极值点，可以用

f

(x0)的符号判定

f(x0)是极大值还是极小值.

若二阶导数

f

(x0)=0，那么该驻点是否为极值点还要用第一判别法进行判别．用第二判别法求函数极值例3求函数

的极值．用第二判别法求函数极值例3求函数

的极值．解

函数

f(x)的定义域为(-∞,+∞)，且

；令

f

(x)=0，得驻点

x1=1，

，x3=-1；该函数没有导数不存在的点．用第二判别法求函数极值例3求函数

的极值．解……因为

，，所以

x1=1是

f(x)的极小值点，极小值是

f(1)=0；

是

f(x)的极大值点，极大值是

．用第二判别法求函数极值解……

由于

，不能用第二判别法判别

x3=-1是否为极值点．改用第一判别法，

当

x

(-∞,-1)时，f

(x)>0；

而当

时，f

(x)>0；故由第一判别法可知，x3=-1不是

f(x)的极值点．最大值、最小值及其求法

因此，求连续函数

f(x)在闭区间

[a,b]上的最大值和最小值，只需分别求出

f(x)在其驻点、导数不存在的点以及端点

a,b处的函数值．这些函数值中的最大者就是函数在

[a,b]上的最大值，最小者就是函数在

[a,b]上的最小值．最大值、最小值及其求法

当

x0

[a,b]是

f(x)的最大值点或最小值点时，那么对任意的

x

[a,b]，都有

f(x0)≥

f(x)，或

f(x0)≤

f(x)．

也就是说，最大值、最小值是对整个区间而言的，它可能在区间的内点取得（则它必是极值点），也可能在区间的端点取得．最大值、最小值及其求法例4求函数

在区间[-4,4]上的最大值和最小值．最大值、最小值及其求法例4求函数

在区间[-4,4]上的最大值和最小值．解

因为

，令

f

(x)=0，得驻点

x1=-1，x2=3．计算

f(x)在区间端点及驻点x1，x2处的函数值，得f(-4)=-71，f(4)=-15，f(-1)=10，f(3)=-22比较各函数值得，f(x)在区间[-4,4]上的最大值为

f(-1)=10，最小值为

f(-4)=-71．最大值、最小值及其求法例5求函数

在区间

[-2,2]上的最大值和最小值．最大值、最小值及其求法解

因为

，令

f

(x)=0，得驻点

，且导数在点

x2=1处不存在．计算

f(x)在区间端点及点

x1，x2处的函数值，得

例5求函数

在区间

[-2,2]上的最大值和最小值．最大值、最小值及其求法解……

比较各函数值得，f(x)在区间[-2,2]上的最大值为

f(-2)=2.88，最小值为

．函数的极值谢谢大家！

经济数学基础辅导第14讲3.5利用导数研究函数教学要求

掌握判断函数图形的凹凸性及拐点方法．函数的凹凸与拐点

在研究函数图像的变化状况时，了解它上升和下降的规律是有用的，但上升和下降不能完全反映图像的变化．如图所示的函数图像在区间内始终是上升的，但却有不同的弯曲状况.

它从左端点开始，曲线先向上弯曲，通过点P后变为向下弯曲了．因此，研究函数图像时，考察它的弯曲方向以及改变弯曲方向的点是完全必要的．yxOabPy=f(x)曲线凹凸的定义

定义3.2如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的上方，则称曲线在这个区间内是凹的，如图14-1；

如果在某区间内，曲线弧位于其上任意一点的切线的下方，则称曲线在这个区间内是凸的，如图14-2．图14-1图14-2曲线凹凸的几何意义

由图14-1发现，对于凹曲线，当

x逐渐增加时，其上每一点切线的斜率是逐渐增加的，即导函数

f

(x)是单调增加函数；而图12-2中的凸曲线，其上每一点切线的斜率是逐渐减少的，从而

f

(x)是单调减少函数．图14-1图14-2曲线凹凸的判别定理

定理3.8设函数

f(x)在区间(a,b)内二阶导数存在，(1)若a<x<b

时，恒有

f

(x)>0，则曲线

y=f(x)在(a,b)内是凹的；(2)若a<x<b

时，恒有

f

(x)<0，则曲线

y=f(x)在(a,b)内是凸的．曲线拐点的概念

定义3.3曲线凹与凸的分界点称为曲线的拐点.

拐点既然是凹与凸的分界点，那么在拐点的左、右邻近

f

(x)

必然异号，因而在拐点处有

f

(x)=0或

f

(x)不存在．

与驻点的情形类似，使

f

(x)=0的点只是可能的拐点．究竟它是否为拐点，还要根据

f

(x)在该点的左、右邻近是否异号来确定.曲线的凹凸与拐点

求拐点的一般步骤：

（1）求函数的二阶导数

f

(x)；

（2）令

f

(x)=0，解出全部根，并求出所有二阶导数不存在的点；

（3）对步骤（2）求出的每一个点，检查其左、右区间中

f

(x)的符号，如果异号则该点为曲线的拐点；如果同号则该点不是曲线的拐点．曲线的凹凸与拐点例1 求曲线

y=x4

-2x3+1的凹凸区间和拐点．曲线的凹凸与拐点例1 求曲线

y=x4

-2x3+1的凹凸区间和拐点．解

因为

y

=4x3

-6x2，y

=12x2

-12x=12x(x-1)，令

y

=0，解

x=0,x=1．函数没有二阶导数不存在的点．曲线的凹凸与拐点例1 求曲线

y=x4

-2x3+1的凹凸区间和拐点．解

因为

y

=4x3

-6x2，y

=12x2

-12x=12x(x-1)，令

y

=0，解

x=0,x=1．函数没有二阶导数不存在的点．当x

(-∞,0)时，f

(x)>0，区间(-

,0)为曲线的凹区间；当

x

(0,1)时，f

(x)<0，区间(0,1)为曲线的凸区间；曲线的凹凸与拐点解

因为

y

=4x3

-6x2，y

=12x2

-12x=12x(x-1)，令

y

=0，解

x=0,x=1．函数没有二阶导数不存在的点．当x

(-∞,0)时，f

(x)>0，区间(-

,0)为曲线的凹区间；当

x

(0,1)时，f

(x)<0，区间(0,1)为曲线的凸区间；当

x

(1,+∞)时，f

(x)>0，区间(1,+

)为曲线的凹区间；所以，曲线的拐点为(0,1)和(1,0)．曲线的凹凸与拐点例2 求曲线

y=(2x-1)4+1的凹凸区间和拐点．曲线的凹凸与拐点例2 求曲线

y=(2x-1)4+1的凹凸区间和拐点．解

因为

y

=8(2x

-1)3，y

=48(2x

-1)2，令

y

=0，解得

x=0.5．函数没有二阶导数不存在的点．曲线的凹凸与拐点例2 求曲线

y=(2x-1)4+1的凹凸区间和拐点．解

因为

y

=8(2x

-1)3，y

=48(2x

-1)2，令

y

=0，解得

x=0.5．函数没有二阶导数不存在的点．当

x

(-∞,0.5)时，f

(x)>0，区间

(-

,0.5)为曲线的凹区间；当x

(0.5,+∞)时，f

(x)>0，区间(0.5,+

)为曲线的凹区间；所以，曲线的凹区间为

(-

,+

)，没有凸区间，也没有拐点．曲线的凹凸与拐点例3 求曲线

的凹凸区间和拐点．曲线的凹凸与拐点例3 求曲线

的凹凸区间和拐点．解

因为

，

；当

x=4时，y

不存在，且

y

在(-

,+

)内没有使

y

=0的点．曲线的凹凸与拐点例3 求曲线

的凹凸区间和拐点．解

因为

，

；当

x=4时，y

不存在，且

y

在(-

,+

)内没有使

y

=0的点．当

x

(-∞,4)时，f

(x)>0，区间

(-∞,4)为曲线的凹区间；当x

(4,+∞)时，f

(x)<0，区间(4,+

)为曲线的凸区间；所以，曲线的拐点为(4,2)．曲线的渐近线

有些函数的定义域或值域是无穷区间，其图形向无穷远延伸，如双曲线、抛物线等．有这样特性的、且在向无穷远延伸时曲线将接近某一条直线，这样的直线叫做曲线的渐近线．曲线的渐近线定义

定义3.4如果曲线上的一点沿着曲线趋于无穷时，该点与某条直线的距离趋于零，则称此直线为曲线的渐近线．曲线的渐近线1．水平渐近线

设曲线y=f(x)，如果

，则称直线

y=c为曲线

y=f(x)的水平渐近线．

如果极限

不存在，那么曲线无水平渐近线．曲线的渐近线2．铅垂渐近线

如果曲线

y=f(x)在点

x0

处间断，且

，则称直线

x=x0

为曲线

y=f(x)的铅垂渐近线．

曲线的渐近线例4求曲线

的水平渐近线和铅垂渐近线．

曲线的渐近线例4求曲线

的水平渐近线和铅垂渐近线．

解

因为

，所以直线

y=1是曲线的水平渐进线．

又因为

2是

的间断点，且

，所以直线

x=2是曲线的铅垂渐近线．

曲线的渐近线3．斜渐近线

设曲线y=f(x)，如果有=0成立，则称直线

y=ax+b为曲线

y=f(x)的斜渐近线．其中

，

．曲线的渐近线例5求曲线

的渐近线．

曲线的渐近线例5求曲线

的渐近线．

解

因为

不存在，所以曲线无水平渐近线.

因为

x=-1是

的间断点，且

，所以直线

x=-1是曲线的铅垂渐近线．

曲线的渐近线又因为

，

所以直线

y=x

-1

是曲线的斜渐近线．，

函数作图

利用一、二阶导数可以获得函数的单调区间和极值点、凹凸区间和拐点等，利用极限可以获得函数的渐近线．这样就可以较准确地绘出函数的图形，看出因变量

y是如何依赖于自变量

x的变化而变化的状况．

函数作图

利用导数和极限描绘函数

y=f(x)的图形，一般包括下列几步：

（1）确定函数的定义域，讨论函数的周期性、有界性、对称性（奇或偶）等；函数作图

利用导数和极限描绘函数

y=f(x)的图形，一般包括下列几步：

（1）确定函数的定义域，讨论函数的周期性、有界性、对称性（奇或偶）等；

（2）通过一阶导数获得函数图形的单调区间和极值点，通过二阶导数获得函数图形的凹凸区间和拐点；

（3）通过求渐近线获得动点沿曲线趋于无穷远时的性态；

函数作图

（3）通过求渐近线获得动点沿曲线趋于无穷远时的性态；

（4）适当补充一些点，如曲线与坐标轴的交点；

（5）根据上述结果描出函数的图形.

函数作图例6作出函数

的图形．

函数作图例6作出函数

的图形．

解

（1）定义域为(-

,-1)∪(-1,+

)；

（2）

由

，

解得驻点

x=1；

由

，

解得

x=2．当x

(-

,-1)时，y

<0，y

(x)<0，故(-

,-1)是函数的单调减少、凸区间；当

x

(-1,1)时，y

>0，y

(x)<0，故(-1,1)是函数的单调增加、凸区间；

函数作图当

x

(1,2)时，y

<0，y

(x)<0，故

(1,2)是函数的单调减少、凸区间，且

x=1是函数

y(x)的极大值点，极大值是

；函数作图当

x

(1,2)时，y

<0，y

(x)<0，故

(1,2)是函数的单调减少、凸区间，且

x=1是函数

y(x)的极大值点，极大值是

；当x

(2,+

)时，f

(x)<0，y

(x)>0，故(2,+

)是函数的单调减少、凹区间，且

是函数

y(x)的拐点．函数作图当

x

(1,2)时，y

<0，y

(x)<0，故

(1,2)是函数的单调减少、凸区间，且

x=1是函数

y(x)的极大值点，极大值是

；当x

(2,+

)时，f

(x)<0，y

(x)<0，故(2,+

)是函数的单调减少、凹区间，且

是函数

y(x)的拐点．

（3）因为

，所以直线

y=0为水平渐进线；

函数作图

（3）因为

，所以直线

y=0为水平渐进线；

又因为

，所以直线

x=-1为垂直渐进线；函数作图

（3）因为

，所以直线

y=0为水平渐进线；

又因为

，所以直线

x=-1为垂直渐进线；

（4）当

x=-2时

y=-2，当

x=0时

y=0，所以曲线过点

(-2,-2)，(0,0)；

（5）描点(-2,-2)，(0,0)，(1,)，(2,)，再根据上述结果作出函数的图形．

函数作图利用导数研究函数谢谢大家！

经济数学基础辅导第15讲4.1不定积分的概念教学要求

理解原函数与不定积分的概念.原函数

对每一个可微函数

F(x)都对应一个导函数f(x)，使得F

(x)=f(x)．那么，如果已知一个函数

f(x)，能否找到一个函数

F(x)，使它的导数为

f(x)呢？如果函数

F(x)能够找到，我们称它是

f(x)的一个原函数．原函数定义

定义4.1设

f(x)是定义在区间(a,b)

内的已知函数．如果存在函数

F(x)，使对于任意的x

(a,b)，都有

F

(x)=f(x)或

dF(x)=f(x)dx

则称

F(x)是

f(x)在(a,b)

上的一个原函数．原函数

2x

的一个原函数是

x2，这是因为(x2)

=2x．而且x2+2，x2－

等也都是2x

的原函数，甚至对任意常数

C，x2+C还是2x

的原函数，因为它们的导数都是2x．因此，我们可以说2x

的所有原函数由

x2+C给出．原函数

如果F(x)是f(x)的一个原函数，则(C

为任意常数)．所以

F(x)+C也是

f(x)的原函数．原函数

另一方面，如果

F(x)和

G(x)都是

f(x)的原函数，即F

(x)

=G

(x)

=f(x)，则由中值定理的推论可知，F(x)和

G(x)

仅差一常数，即存在常数

C0

，使得F(x)

=G(x)

=

C0．

不定积分的定义定义4.2函数

f(x)的全部原函数，称为

f(x)的不定积分，记作其中：“

”称为积分号，x

称为积分变量，f(x)称为被积函数，

f(x)dx

称为积分表达式．不定积分

如果F(x)是f(x)的一个原函数，则(C

为任意常数)．C

称为积分常数．

因此，求函数f(x)的不定积分，只需求出f(x)的一个原函数再加上积分常数C．不定积分例1求函数

f(x)=sinx

的不定积分．不定积分例1求函数

f(x)=sinx

的不定积分．解因为(－cosx)

=sinx，所以

(C为任意常数)．

不定积分例2求函数

f(x)=xα

的不定积分，其中α

≠－1为常数．不定积分例2求函数

f(x)=xα

的不定积分，其中α

≠－1为常数．解因为

，所以

（

C为任意常数）．不定积分例3求函数

f(x)=的不定积分．不定积分例3求函数

f(x)=的不定积分．解当

x>0时，有

，所以当

x<0时，有

，所以合并以上两式，有(x

0)．原函数的一个结论

若函数

f(x)在某区间上连续，那么在此区间上

f(x)一定有原函数．

由于初等函数在其定义区间内必连续，所以初等函数在其定义区间内都有原函数．不定积分的几何意义如果F(x)是f(x)一个原函数，那么f(x)的不定积分为

．对于每一给定的常数

C，F(x)+C表示坐标平面上的一条确定的曲线，这条曲线称为

f(x)的一条积分曲线．不定积分的几何意义如果F(x)是f(x)一个原函数，那么f(x)的不定积分为

．对于每一给定的常数

C，F(x)+C表示坐标平面上的一条确定的曲线，这条曲线称为

f(x)的一条积分曲线．

由于

C可以取任意值，因此不定积分

表示

f(x)的一族积分曲线．而其中任意一条积分曲线都可以由曲线

y=F(x)沿

y

轴方向上、下平移得到．不定积分的几何意义或者说，在每一条积分曲线上横坐标相同的点处所作曲线都是互相平行的，如下图所示．原函数与不定积分谢谢大家！

经济数学基础辅导第16讲4.2不定积分的性质和基本积分公式教学要求

了解不定积分的性质，掌握不定积分的基本积分公式.不定积分的性质性质1不定积分与求导数或微分互为逆运算．

(1),或．(2)

,或．即不定积分的导数（或微分）等于被积函数（或被积表达式），一个函数的导数（或微分）的不定积分与这个函数相差一个常数．不定积分的性质性质2

被积表达式中的非零常数因子可以移到积分号前．

(k0，常数)．性质3

两个函数代数和的不定积分，等于两个函数积分的代数和．

．不定积分的性质性质3

可以推广到任意有限多个函数的代数和的情形，即

=

．

不定积分

由于不定积分是求导（或微分）的逆运算，所以根据导数基本公式就能得到对应的积分公式．教材140页中以列表形式给出了基本积分公式，希望大家熟记并灵活应用．

利用基本积分公式和不定积分的性质，可以直接计算一些较简单的不定积分，这种方法一般称之为直接积分法．

直接定积法例1

求不定积分

．

直接定积法例1

求不定积分

．

解

．

注：在计算分项积分时，不必分别加任意常数，只要将各项常数合并成一个任意常数即可．

直接定积法例2

求不定积分

．

直接定积法例2

求不定积分

．

解

．

直接定积法例3

求不定积分

．

直接定积法例3

求不定积分

．

解本题不能直接应用基本积分公式，但我们可以先把被积函数化简，再用基本积分公式，即

直接定积法例4

求不定积分

．

直接定积法例4

求不定积分

．

解本题不能直接应用基本积分公式，利用三角函数的性质化简，再用基本积分公式，即

直接定积法注：当不定积分不能直接应用基本积分公式和不定积分的性质进行计算时，需先将被积函数化简或变形再进行计算．计算的结果是否正确，只需对结果求导，看其导数是否等于被积函数．

不定积分的性质和基本积分公式谢谢大家！

经济应用数学辅导第17讲4.3换元积分法教学要求

掌握计算不定积分的换元积分法．第一换元积分法

本讲介绍的换元积分法是把复合函数求导法则反过来用于不定积分，通过适当的变量替换(换元)，将某些不定积分化为基本积分表中所列的形式，再计算出最终结果．第一换元积分法

例

因为

，所以不定积分

．在教材中的基本积分表中没有“

”形式的公式，要计算这个积分必须另寻途径．第一换元积分法

例

因为

，所以不定积分

．在教材中的基本积分表中没有“

”形式的公式，要计算这个积分必须另寻途径．

因为

，所以

．第一换元积分法

一般地，若积分

不能直接用基本积分表中的公式计算，而被积表达式

可以表示成：

则通过变换

u=

(x)

将不定积分化为

，且

容易计算．第一换元积分法不妨设

，即

(17.1)u=

(x)利用公式(17.1)来计算不定积分，就是第一换元法，亦称为凑微分法．第一换元积分法例1求不定积分

．第一换元积分法例1求不定积分

．解被积函数可以写成

，设

u=3-2x，则du=-2dx，即

．因此

再将u=3-2x

代入，得

．

第一换元积分法

由例1还可以看出：一般，对于不定积分

，总可以把dx凑为

，于是

，实际上，所做的变换是

u=ax+b，只是不写出这一步而已．第一换元积分法例2求不定积分

．第一换元积分法例2求不定积分

．解方法1

第一换元积分法例2求不定积分

．解方法1

方法2

第一换元积分法

方法1和方法2所得结果一样吗？由倍角公式其中

C1仍是任意常数．第一换元积分法

方法1和方法2所得结果一样吗？由倍角公式其中

C1仍是任意常数．

在求不定积分时，有时会遇到用不同方法求出的原函数是不同的结果，大家可以通过求导来验证所求结果是否正确．第一换元积分法例3求不定积分

．第一换元积分法例3求不定积分

．解

第一换元积分法例4求不定积分

．第一换元积分法例4求不定积分

．解

．第一换元积分法例4求不定积分

．解

类似地，有

．

．第一换元积分法例5求不定积分

．第一换元积分法例5求不定积分

．解

(利用例4的结果)

第一换元积分法例5求不定积分

．解

(利用例4的结果)

类似地，有

．第一换元积分法

为了熟练地掌握求积分的第一换元积分法，大家应该把教材146页中给出的用第一换元积分法时常用的凑微分方法记熟，并通过练习熟练掌握这些方法．第二换元积分法

用第一换元积分法能够求出许多不定积分，但如不定积分

却不能用第一换元积分法求解．因此，我们引入另一种积分法——第二换元积分法．第二换元积分法

用第一换元积分法能够求出许多不定积分，但如不定积分

却不能用第一换元积分法求解．因此，我们引入另一种积分法——第二换元积分法．

第一换元积分法是用中间变量

u

替代可微函数

(x)，而第二换元积分法是引入新变量

t，并选择代换

x

=

(t)，从而简化计算求出不定积分．第二换元积分法例如，设

x

=2sint，则

dx

=2costdt，于是有第二换元积分法例如，设

x

=2sint，则

dx

=2costdt，于是有再将

t

还原成

x

的函数，由

，sin2t=

，得．第二换元积分法

一般地，当不定积分

不易计算时，可设

x

=

(t)，则原积分化为

第二换元积分法

一般地，当不定积分

不易计算时，可设

x

=

(t)，则原积分化为

假如

(t)，

(t)都是连续函数，且

(t)

0，x

=

(t)的反函数

t=

-1(x)

存在且可导，并且有

则

．

(17.2)这类求不定积分的方法，称为第二换元法．第二换元积分法

被积函数含有二次根式

、

或其他根式形式的积分问题，常用第二换元积分法．第二换元积分法例6

求不定积分

(a>0)．第二换元积分法例6

求不定积分

(a>0)．解设

x=asint，则

dx

=acostdt，且

，于是有

．第二换元积分法例6

求不定积分

(a>0)．解……，

为了还原积分变量

x，由

x=asint

作直角三角形(见右图)，可知

，代入上式，得第二换元积分法例7

求不定积分

(a>0)．第二换元积分法例7

求不定积分

(a>0)．解设

x=asect，则

，且

，第二换元积分法例7

求不定积分

(a>0)．解设

x=asect，则

，且

，于是有

．第二换元积分法例7

求不定积分

(a>0)．解……，

为了还原积分变量

x，由

x=asect

作直角三角形如右图，可知

，代入上式，得第二换元积分法例8

求不定积分

(a>0)．第二换元积分法例8

求不定积分

(a>0)．解设

x=atant，则

，且

，第二换元积分法例8

求不定积分

(a>0)．解设

x=atant，则

，且

，于是有

(由15讲例5得)

第二换元积分法例8

求不定积分

(a>0)．解……于是有

(由15讲例5得)

第二换元积分法例8

求不定积分

(a>0)．解……，

为了还原积分变量

x，由x=atant

作直角三角形如右图，可知

，

，代入上式，得第二换元积分法例9

求不定积分

．第二换元积分法例9

求不定积分

．解设

x=t6，则dx=6t5dt，且,

，于是有

第二换元积分法

用第二换元积分法求不定积分，要注意被积函数的特点，常用的变量替换见教材148-149